KIRCHHOFFOVE PRÁVA V AKCÍCH

Kliknite alebo ťuknite na nižšie uvedené okruhy príkladov, aby ste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktívny DC na analýzu online.
Získajte lacný prístup k TINACloudu na úpravu príkladov alebo vytvorenie vlastných okruhov

THÉVENIN A SEVER EQUIVALENT CIRCUITS

NODE POTENCIÁL A MESH CURRENT SPÔSOB V AC CIRCUITS

Ako sme už videli, obvody so sínusovou excitáciou je možné vyriešiť pomocou komplexné impedancie pre prvky a. \ t komplexný vrchol or komplexné rms pre prúdy a napätia. Pomocou verzie Kirchhoffových zákonov so zložitými hodnotami možno na riešenie striedavých obvodov podobným spôsobom ako v prípade jednosmerných obvodov použiť techniky uzlovej a sieťovej analýzy. V tejto kapitole si to ukážeme na príkladoch Kirchhoffových zákonov.

Príklad 1

Nájdite amplitúdu a fázový uhol prúdu i_vs(T) if
v_S(t) = V_SM cos 2pft; i (t) = I_SM cos 2pft; V_SM = 10 V; ja_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 ohm; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Spolu máme 10 neznámych napätí a prúdov, konkrétne: i, i_C1sa_Rsa_Lsa_C2, v_C1, v_R, v_L, v_C2 a v_IS, (Ak použijeme zložité hodnoty píkov alebo efektívnych hodnôt napätia a prúdov, máme spolu 20 reálnych rovníc!)

Rovnice:

Rovnice slučiek alebo ok: pre M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_izmus = 0

Ohmove zákony V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

Nodálna rovnica pre N₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

pre sériové prvky I = I_C1M

Pri riešení systému rovníc nájdete neznámy prúd:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°)

Riešenie tak veľkej sústavy zložitých rovníc je veľmi komplikované, takže sme to neukázali podrobne. Každá zložitá rovnica vedie k dvom reálnym rovniciam, takže riešenie ukazujeme iba hodnotami vypočítanými pomocou tlmočníka TINA.

Riešenie pomocou tlmočníka TINA:

{Riešenie od tlmočníka TINA}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
V tvare: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{Ohmove pravidlá}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
IVS = Ic1
end;
IVS = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (IVS) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * oblúk (IVS) / PI
fiIvs = [79.9613]

#Riešenie od Pythonu
import sympy ako s
importovať cmath ako c
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
om = 20000 XNUMX x c.pi
Vs = 10
je = 1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
tlač (Ivs)
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

Riešenie pomocou TINA:

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Ak chcete tento problém vyriešiť ručne, pracujte so zložitými impedanciami. Napríklad R, L a C₂ sú zapojené paralelne, takže obvod môžete zjednodušiť výpočtom ich paralelného ekvivalentu. || znamená rovnobežný ekvivalent impedancií:

číselne:

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Zjednodušený obvod využívajúci impedanciu:

Rovnice v usporiadanom tvare: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Existujú štyri neznáme- I; I_Z; V_C1; V_Z - a máme štyri rovnice, takže riešenie je možné.

expresné I po nahradení ostatných neznámych z rovníc:

numericky

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Podľa výsledku tlmočníka TINA.

{Riešenie pomocou impedancie Z}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
V tvare: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys I
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (+ I))
end;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * oblúk (I) / pi = [79.9613]

#Riešenie od Pythonu
import sympy ako s
importovať cmath ako c
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om = 20000 XNUMX x c.pi
Vs = 10
je = 1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[komplex(Z) pre Z v n-tici(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=”,cp(I))
print(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.fáza(I)/c.pi=”,cp(180*c.fáza(I)/c.pi))

Časová funkcia prúdu je potom:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°)

Aktuálne pravidlo Kirchhoffa môžete skontrolovať pomocou fázorových diagramov. Obrázok nižšie bol vyvinutý kontrolou uzlovej rovnice v i_Z = i + i_G1tvoriť. Prvý diagram ukazuje fázory pridané pravítkom rovnobežníka, druhý ilustruje trojuholníkové pravidlo pridania fázorov.

Teraz si ukážeme KVR pomocou funkcie fázového diagramu TINA. Pretože zdrojové napätie je v rovnici záporné, pripojili sme voltmetr „dozadu“. Fázorový diagram ilustruje pôvodnú podobu Kirchhoffovho pravidla napätia.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Prvý fázorový diagram používa pravidlo rovnobežníka, zatiaľ čo druhý používa trojuholníkové pravidlo.

Na ilustráciu KVR vo forme V_C1 + V_Z - V_S = 0, znova sme pripojili voltmeter k zdroju napätia dozadu. Môžete vidieť, že fázorový trojuholník je zatvorený.

Všimnite si, že TINA vám umožňuje používať ako základnú funkciu sínus alebo kosínus. V závislosti na zvolenej funkcii sa komplexné amplitúdy pozorované vo fázorových diagramoch môžu líšiť o 90 °. Základnú funkciu môžete nastaviť v časti „Zobraziť“ „Možnosti“ „Základná funkcia pre AC“. V našich príkladoch sme ako základ vždy používali kosínusovú funkciu.

Príklad 2

Nájdite napätie a prúdy všetkých komponentov, ak:

v_S(t) = 10 cos wt V, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Nech sú neznáme komplexné špičkové hodnoty napätí a prúdov „pasívnych“ prvkov, ako aj prúd zdroja napätia (i_VS) a napätie zdroja prúdu (v_IS). Dohromady existuje dvanásť komplexných neznámych. Máme tri nezávislé uzly, štyri nezávislé slučky (označené ako M_I) a päť pasívnych prvkov, ktoré možno charakterizovať piatimi „Ohmovými zákonmi“ - dohromady existuje 3 + 4 + 5 = 12 rovníc:

Uzlové rovnice pre N₁ I_VSM = I_R1M + I_C2M

pre N₂ I_R1M = I_LM + I_C1M

pre N₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = I_R2M

Slučkové rovnice pre M₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

pre M₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

pre M₃ V_LM = V_C1M

pre M₄ V_R2M = V_izmus

Ohmove zákony V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

Nezabudnite, že akákoľvek zložitá rovnica môže viesť k dvom reálnym rovniciam, takže Kirchhoffova metóda vyžaduje veľa výpočtov. Je to oveľa jednoduchšie vyriešiť pre časové funkcie napätí a prúdov pomocou systému diferenciálnych rovníc (tu sa nehovorí). Najprv ukážeme výsledky vypočítané tlmočníkom TINA:

{Riešenie od tlmočníka TINA}
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
end;
abs (vr1) = [970.1563]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503]
abs (ic2) = [3.0503]
abs (vc1) = [39.0965]
abs (vc2) = [970.9437]
abs (II) = [3.1112]
abs (vL) = [39.0965]
abs (IVS) = [3.0697]
180 + radtodeg (ARC (IVS)) = [58.2734]
abs (VIS) = [10.8726]
radtodeg (oblúk (VIS)) = [- 2.3393]
radtodeg (oblúk (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (oblúk (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (oblúk (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (oblúk (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (oblúk (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (oblúk (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (oblúk (IL)) = [- 24.8908]
radtodeg (oblúk (VI)) = [65.1092]

#Riešenie od Pythonu
import sympy ako s
importovať matematiku ako m
importovať cmath ako c
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
f = 10000
Vs = 10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om = 2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vcl,Vs), #1
s.Eq(vL,vcl), #1
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(irl*Rl,vrl), #1
s.Eq(irl*Rl,vrl), #2
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+degrees(fáza(ivs))=”,cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“stupne(fáza(vis))=”,cp(m.stupne(c.fáza(vis))))
print(“stupne(fáza(vr1))=”,cp(m.stupne(c.fáza(vr1))))
print(“stupne(fáza(vr2))=”,cp(m.stupne(c.fáza(vr2))))
print(“stupne(fáza(ic1))=”,cp(m.stupne(c.fáza(ic1))))
print(“stupne(fáza(ic2))=”,cp(m.stupne(c.fáza(ic2))))
print(“stupne(fáza(vc2))=”,cp(m.stupne(c.fáza(vc2))))
print(“stupne(fáza(vc1))=”,cp(m.stupne(c.fáza(vc1))))
print(“stupne(fáza(iL))=”,cp(m.stupne(c.fáza(iL))))
print(“stupne(fáza(vL))=”,cp(m.stupne(c.fáza(vL))))

Teraz sa pokúste zjednodušiť rovnice ručne pomocou substitúcie. Prvá náhrada ekv. 9. do ekv. 5.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2a.)

potom eq.8 a eq.9. do eq 5.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b.)

potom eq 12., ekv. 10. a ja_Lz ekv. 2 do eq.6.

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (I_R1 - Ja_C1) = jwLI_R1 - jwL jwC₁ V_C1