KIRCHHOFFOV ZAKONI

Kliknite ali se dotaknite spodnjih vzorčnih vezij, da pokličete TINACloud in izberite način Interactive DC za analizo na spletu.
Pridobite poceni dostop do TINACloud, da uredite primere ali ustvarite lastna vezja

TEOREM SUPERPOSICIJE

MOŽNOST NODE

Številna vezja so preveč zapletena, da bi jih bilo mogoče rešiti z uporabo pravil za serijska ali vzporedna vezja ali tehnik pretvorbe v preprostejša vezja, opisana v prejšnjih poglavjih. Za ta vezja potrebujemo bolj splošne metode rešitve. Najbolj splošno metodo podajajo Kirchhoffovi zakoni, ki omogočajo izračunavanje vseh napetosti in tokov tokokrogov z rešitvijo sistema linearnih enačb.

Obstajata dve Kirchhoffovi zakoni, napetostni zakon in tok pravo. Ta dva zakona se lahko uporabljata za določitev vseh napetosti in tokov tokokrogov.

Kirchhoffov napetostni zakon (KVL) določa, da mora algebrska vsota napetosti naraščati in padati napetost okoli zanke na nič.

Zanka v zgornji definiciji pomeni zaprto pot v tokokrogu; to je pot, ki zapusti vozlišče v eni smeri in se vrne na to isto vozlišče iz druge smeri.

V naših primerih bomo uporabili smer v smeri urinega kazalca za zanke; vendar bodo enaki rezultati dobljeni, če se uporabi smer v nasprotni smeri urinega kazalca.

Za uporabo KVL brez napake moramo določiti tako imenovano referenčno smer. Referenčna smer neznanih napetosti kaže od + do - znaka predvidenih napetosti. Predstavljajte si, da uporabite voltmeter. Pozitivno sondo voltmetra (običajno rdečo) postavite na referenčni + komponentni del. Če je resnična napetost pozitivna, gre v isti smeri, kot smo predvidevali, in naša rešitev in voltmeter bosta pokazala pozitivno vrednost.

Pri izpeljavi algebrske vsote napetosti moramo dodeliti znak plus tistim napetostim, kjer se referenčna smer ujema s smerjo zanke, v nasprotnem primeru pa negativni znaki.

Drugi način navajanja Kirchhoffovega zakona o napetosti je: uporabljena napetost serijskega vezja je enaka vsoti padcev napetosti čez serijske elemente.

Naslednji kratki primer prikazuje uporabo Kirchhoffovega zakona o napetosti.

Poiščite napetost čez upor R_2, glede na to, da je vir napetosti, V_S = 100 V in da je napetost preko upora R₁je V₁ = 40 V.

Spodnjo sliko lahko ustvarite s TINA Pro različico 6 in višjo, v kateri so orodja za risanje na voljo v urejevalniku shem.

Rešitev z uporabo Kirchhoffovega zakona o napetosti: -V_S + V₁ + V₂= 0 ali V_S = V₁ + V₂

zato: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Upoštevajte, da napetosti uporov običajno ne poznamo (razen če jih izmerimo), zato moramo za rešitev uporabiti oba Kirchhoffova zakona.

Kirchhoffov trenutni zakon (KCL) pravi, da je algebrska vsota vseh tokov, ki vstopajo in zapustijo katero koli vozlišče v vezju, enaka nič.

V nadaljevanju tokovom, ki zapuščajo vozlišče, damo znak +, tokovom, ki vstopajo v vozlišče, pa znak -.

Tu je osnovni primer, ki prikazuje trenutni zakon Kirchhoffa.

Najdi trenutno I₂ če je vir tok I_S = 12 A, in jaz₁ = 8 A.

Uporaba Kirchhoffovega trenutnega zakona na krožnem vozlišču: -I_S + I₁ + I₂ = 0, torej: I₂= Jaz_S - JAZ₁ = 12 - 8 = 4 A, kot lahko preverite s TINA (naslednja slika).

V naslednjem primeru bomo uporabili oba Kirchhoffova zakona in Ohmov zakon za izračun toka in napetosti v uporih.

Na spodnji sliki boste zabeležili Napetostna puščica nad upori. To je nova komponenta, ki je na voljo v Različica 6 TINA in deluje kot voltmeter. Če ga povežete čez komponento, puščica določi referenčno smer (za primerjavo z voltmetrom, predstavljajte si, da postavite rdečo sondo na rep puščice in črno sondo na vrh). Ko zaženete enosmerno analizo, bo dejanska napetost na komponenti prikazana na puščici.

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Za začetek uporabe trenutnega zakona Kirchhoffa vidimo, da so tokovi skozi vse komponente enaki, zato tok označimo s I.

Po Kirchhoffovem zakonu o napetosti: V_S = V₁+V₂+V₃

Zdaj uporabljam Ohmov zakon: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

In od tod tok vezja:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃= 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Na koncu napetosti uporov:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Enak rezultat bo viden tudi na napetostnih puščicah, če preprosto izvedete TINA-ino interaktivno DC analizo.

V tem naslednjem, bolj zapletenem vezju uporabljamo tudi Kirchhoffove zakone in Ohmov zakon, vendar ugotovimo, da najbolj rešujemo linearni sistem enačb.

Skupno število neodvisnih aplikacij Kirchhoffovih zakonov v vezju je število vej vezja, medtem ko je skupno število neznank (tok in napetost vsake veje) dvakrat večje od tega. Vendar pa tudi z uporabo Ohmovega zakona pri vsakem uporu in preproste enačbe, ki definirajo uporabljene napetosti in tokove, dobimo sistem enačb, kjer je število neznank enako številu enačb.

Poiščite veje tokov I1, I2, I3 v spodnjem krogu.

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Sledi niz enačb:

Nodalna enačba za krožno vozlišče:

- I₁- I₂- JAZ₃ = 0

ali pomnožimo z -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Enačbe zanke (v smeri urinega kazalca) zanke L1, ki vsebuje V₁, R.₁ in R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

in za zanko L2, ki vsebuje V₂, R.₂ in R₃

I₃*R₃ - JAZ₂*R₂ +V₂ = 0

Zamenjava vrednosti komponent:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ –20 * I₂ + 16 = 0

Express I₁ z uporabo nodalne enačbe: I₁ = -I₂ - JAZ₃

nato jo nadomestimo z drugo enačbo:

-V₁- (JAZ₂ + I₃) * R₁ -JAZ₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Express I₂ in ga nadomestite v tretjo enačbo, iz katere lahko že izračunate I₃:

I₂ = - (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

In: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Zato I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A in I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

ali pa: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Zdaj razrešimo enake enačbe s TINA-ino tolmačem:

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
konec;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Rešitev Pythona
uvozite numpy kot np, sympy kot s
#Imamo linearni sistem
#enačbe, ki jih želimo rešiti:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
natisni (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.matrika ([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Končno preverimo rezultati z uporabo TINA:

Nato analiziramo še bolj zapleteno vezje in ugotovimo njegove veje tokov in napetosti.

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Označimo neznane napetosti in tokove z dodajanjem napetostnih in tokovnih puščic komponentam, prav tako pa pokažemo zanke (L1, L2, L3) in vozlišča (N1, N2), kjer bomo uporabili Kirchhoffove enačbe.

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Tukaj je niz Kirchhoffove enačbe za zanke (z uporabo smeri urinega kazalca) in vozlišč.

-I_L+ I_R1- JAZ_s= 0(za N1)

- JAZ_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (za L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (za L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (za L3)

Uporaba Ohmovega zakona:

V_L= Jaz_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = Jaz_R2*R₂

V_R3 = - I_L*R₃

To je 9 neznank in 9 enačb. Najlažji način za rešitev je uporaba TINA

tolmač. Če pa pritiskamo, da uporabimo ročne izračune, upoštevamo, da lahko ta niz enačb enostavno zmanjšamo na sistem 5 neznank, če zadnje štiri enačbe zamenjamo v enačbe zanke L4, L1, L2. Tudi z dodajanjem enačb (L3) in (L2), lahko odpravimo V_Is, zmanjšanje problema na sistem 4 enačb za neznane 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Ko smo našli te tokove, zlahka določimo V_L, V_R1, V_R2, in V_R3 z uporabo zadnjih štirih enačb (Ohmov zakon).

Namestitev V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- JAZ_s= 0(za N1)

- JAZ_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (za L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (Na L2)

- JAZ_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (za L3)

Dodajanje (L1) in (L2) dobimo

-I_L+ I_R1- JAZ_s= 0(za N1)

- JAZ_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- JAZ_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (za L3)

Po zamenjavi vrednosti komponent rešitev teh enačb pride takoj.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (za N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (za N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (za L₃)

od L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

od N₂ I_S3 - JAZ_R1 = - 5.25 (II)

od L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

in za N₁ I_R1 - JAZ_L = 2 (IV)

Pomnožite (IV) z –30 in dodajte (III) 140 I_L = -210 zato I_L = - 1.5 A

Namestnik I_L v (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

in jaz_R1 v (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

In napetosti: V_R1 = Jaz_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = Jaz_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - I_L*R₃= 135 V; V_L = Jaz_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Rešitev izvirnih enačb TINA's Interpreter}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-je + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
konec;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Rešitev Pythona
#Ax=b
uvozite numpy kot np, sympy kot s
#Simbolična rešitev z uporabo numpy.solve
#Enačbe:
#IL=-Je+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Reši za:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Je+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
natisni (sol)

#Druga metoda za reševanje z uporabo numpy.linalg
A=np.matrika(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Rešitev zmanjšanega niza enačb s pomočjo tolmača:

{Rešitev zmanjšanega nabora enačb s strani TINA-jevega tolmača}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
konec;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Vnesemo lahko tudi izraze za napetosti in jih TINA-in tolmač izračuna:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Rezultat lahko preverimo s TINA tako, da preprosto vklopimo TINA-in DC interaktivni način ali uporabimo Analizo / DC-analizo / Nodalne napetosti

TEOREM SUPERPOSICIJE

MOŽNOST NODE