ЗАКОНИ КИРЦХХОФФ-а

Кликните или додирните Пример кола испод да бисте позвали ТИНАЦлоуд и изаберите Интерактивни ДЦ режим да бисте их анализирали на мрежи.
Набавите јефтин приступ ТИНАЦлоуд-у да бисте уредили примере или креирали сопствена кола

ТЕОРЕМ СУПЕРПОЗИЦИЈЕ

ПОТЕНЦИЈАЛНИ МЕТОД НОДЕ

Многи склопови су превише сложени да би се могли решити коришћењем правила за серијска или паралелна кола или технике претварања у једноставније склопове описане у претходним поглављима. За ове склопове потребне су нам опште методе решења. Најопштија метода дата је Кирцххофф-овим законима, који омогућавају израчунавање свих напона и струја струјних кругова решењем система линеарних једначина.

Постоје два Кирцххофф-ови закони, напонски закон и струју закон. Ова два закона могу се користити за одређивање свих напона и струја струјних кругова.

Кирцххофф-ов закон о напону (КВЛ) каже да алгебарска сума напона расте и пад напона око петље мора бити једнак нули.

Петља у горњој дефиницији значи затворени пут у кругу; то јест стаза која напушта чвор у једном смјеру и враћа се на исти тај чвор из другог смјера.

У нашим примерима користићемо правац кретања у смеру казаљке на сату; међутим, исти ће се резултати добити ако се користи смјер супротном од казаљке на сату.

Да бисмо КВЛ примијенили без грешке, морамо дефинирати тзв. Референтни правац. Референтни смјер непознатих напона показује од + до - знака претпостављених напона. Замислите да користите волтметар. Ставите позитивну сонду волтметра (обично црвену) на референтни терминал компоненте. Ако је стварни напон позитиван, то је у истом смеру као што смо и претпоставили, а и наше решење и волтметар показаће позитивну вредност.

Када изводимо алгебарску суму напона, морамо доделити знак плус оним напонима где се референтни смер слаже са смером петље, а негативни знакови у супротном случају.

Други начин да се каже Кирцххоффов закон о напону је: примењени напон серијског круга једнак је збиру пада напона преко серијских елемената.

Следећи кратки пример приказује употребу Кирцххоффовог закона о напону.

Пронађите напон преко отпорника Р_2, с обзиром да је напон извора, В_S = 100 В и да је напон преко отпорника Р₁ис В₁ = КСНУМКС В.

Доња слика може се креирати помоћу ТИНА Про верзије 6 и новије, у којој су алати за цртање доступни у уређивачу шема.

Решење помоћу Кирцххоффовог закона о напону: -V_S + В₁ + В₂= 0 или В_S = В₁ + В₂

стога: V₂ = В_S - В₁ = КСНУМКС-КСНУМКС = КСНУМКСВ

Имајте на уму да обично не знамо напоне отпорника (осим ако их не измеримо), а за решење морамо да користимо оба Кирцххоффова закона.

Кирцххоффов тренутни закон (КЦЛ) каже да је алгебарска сума свих струја које улазе и излазе из било којег чвора у кругу једнаке нули.

У даљем тексту струјама које напуштају чвор дајемо знак + и знацима - струјама које улазе у чвор.

Ево основног примера који показује Кирцххоффов тренутни закон.

Пронађите тренутну И₂ ако је извор струје I_S = КСНУМКС А, и ја₁ = КСНУМКС А.

Коришћење Кирцххоффовог тренутног закона на кружном чвору: -I_S + И₁ + И₂ = КСНУМКС, отуда: I₂= И_S - Ја₁ = КСНУМКС - КСНУМКС = КСНУМКС А, као што можете проверити користећи ТИНА (следећа слика).

У следећем примеру користићемо оба Кирцххофф-ова закона плус Охмов закон за израчунавање струје и напона преко отпорника.

На доњој слици приметићете Напон стрелица изнад отпорника. Ово је нова компонента доступна у Верзија 6 ТИНА-е и дјелује попут волтметра. Ако га повежете преко неке компоненте, стрелица одређује референтни смер (за поређење са волтметром, замислите постављање црвене сонде на реп стрелице и црне сонде на врх). Када покренете ДЦ анализу, стварни напон на компоненти биће приказан на стрелици.

Кликните / додирните горњи круг да бисте анализирали он-лине или кликните на ову везу да бисте сачували под Виндовсом

За почетак употребе Кирцххофф-овог тренутног закона, видећемо да су струје кроз све компоненте исте, па ћемо означити ту струју са И.

Према Кирцххофф-овом закону о напону: V_S = В₁+V₂+V₃

Сада се користи Охмов закон: V_S= И * Р₁+ И * Р₂+ И * Р₃

А одатле струја кола:

И = В_S/ (Р₁+R₂+R₃) = КСНУМКС / (КСНУМКС + КСНУМКС + КСНУМКС) = КСНУМКС А

Коначно напони отпорника:

V₁= И * Р₁ = КСНУМКС * КСНУМКС = КСНУМКС В; V₂ = И * Р₂ = КСНУМКС * КСНУМКС = КСНУМКС В; V₃ = И * Р₃ = КСНУМКС * КСНУМКС = КСНУМКС В

Исти резултати ће се видети на стрелицама напона једноставним извођењем ТИНА-ове интерактивне једносмерне анализе.

У овом следећем, сложенијем кругу, такође користимо Кирцххофф-ове и Охмове законе, али налазимо да највише решимо линеарни систем једначина.

Укупан број независних апликација Кирцххоффових закона у једном колу је број грана кругова, док је укупан број непознаница (струја и напон сваке гране) двоструко већи. Међутим, употребом Охмовог закона на сваком отпорнику и једноставним једнаџбама које дефинишу примењене напоне и струје, добијамо систем једначења где је број непознаница исти као и број једначина.

Пронађите струје грана И1, И2, И3 у кругу испод.

Кликните / додирните горњи круг да бисте анализирали он-лине или кликните на ову везу да бисте сачували под Виндовсом

Слиједи низ једнаџби:

Једначина чвора за кружни чвор:

- I₁- I₂- Ја₃ = КСНУМКС

или множењем са -КСНУМКС

I₁+ I₂+ И₃ = КСНУМКС

Једнаџбе петље (користећи смјер казаљке на сату) за петљу Л1, која садржи В₁, Р₁ и Р₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = КСНУМКС

и за петљу ЛКСНУМКС, која садржи В₂, Р₂ и Р₃

I₃*R₃ - Ја₂*R₂ +V₂ = КСНУМКС

Замена вредности компоненте:

I₁+ И₂+ И₃ = КСНУМКС -КСНУМКС + КСНУМКС * И₁ - КСНУМКС * И₃ = КСНУМКС КСНУМКС * И₃ –КСНУМКС * И₂ + КСНУМКС = КСНУМКС

Екпресс И₁ користећи нодалну једначину: И₁ = -И₂ - Ја₃

затим га замените другом формулом:

-V₁- (ја₂ + И₃) * Р₁ –И₃*R₃ = КСНУМКС or –КСНУМКС- (И₂ + И₃* КСНУМКС - И₃* КСНУМКС = КСНУМКС

Екпресс И₂ и замените га у трећу једначину из које већ можете израчунати И₃:

I₂ = - (В.₁ + И₃* (Р₁+R₃)) / Р₁ or I₂ = - (КСНУМКС + И₃* КСНУМКС) / КСНУМКС

I₃*R₃ + Р₂* (В₁ + И₃* (Р₁+R₃)) / Р₁ +V₂ = КСНУМКС or I₃* КСНУМКС + КСНУМКС * (КСНУМКС + И₃* КСНУМКС) / КСНУМКС + КСНУМКС = КСНУМКС

И: I₃ = - (В.₂ + В₁*R₂/R₁) / (Р₃+ (Р₁+R₃) * Р₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Стога I₃ = - 0.25 А; I₂ = - (КСНУМКС-КСНУМКС * КСНУМКС) / КСНУМКС = КСНУМКС А I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 А.

Или: I₁ = -КСНУМКС мА; I₂ = КСНУМКС мА; I₃ = -КСНУМКС мА.

Сада ћемо решити исте једначине са ТИНА-овим тумачем:

{Решење ТИНА-овог тумача}
Сис ИКСНУМКС, ИКСНУМКС, ИКСНУМКС
ИКСНУМКС + ИКСНУМКС + ИКСНУМКС = КСНУМКС
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
енд;
ИКСНУМКС = [- КСНУМКСм]
ИКСНУМКС = [КСНУМКСм]
ИКСНУМКС = [- КСНУМКСм]

#Решење од Питхон-а
импорт нумпи као нп, симпи као с
#Имамо линеарни систем од
#једначине које желимо да решимо:
#И1+И2+И3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
сол = с.солве([
И1+И2+И3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
штампа (сол)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

б= нп.арраи([0,В1,-В2])

к=нп.линалг.солве(А,б)
#И1=к[0]
#И2=к[1]
#И3=к[2]
#И1
принт(“И1= %.3ф”%к[0])
#И2
принт(“И2= %.3ф”%к[1])
#И3
принт(“И3= %.3ф”%к[2])

Коначно ћемо проверити резултати помоћу ТИНА:

Затим анализирамо још сложенији круг и утврдимо његове гране струје и напона.

Кликните / додирните горњи круг да бисте анализирали он-лине или кликните на ову везу да бисте сачували под Виндовсом

Означимо непознате напоне и струје додавањем стрелица напона и струје компонентама, а такође ћемо показати петље (Л1, Л2, Л3) и чворове (Н1, Н2) где ћемо користити Кирцххоффове једначине.

Кликните / додирните горњи круг да бисте анализирали он-лине или кликните на ову везу да бисте сачували под Виндовсом

Ево скупа Кирцххофф-ове једнаџбе за петље (користећи смјеру казаљке на сату) и чворове.

-I_L+ И_R1- Ја_s= КСНУМКС(за НКСНУМКС)

- Ја_R1+ И_R2+ И_s3 = КСНУМКС (за НКСНУМКС)

-V_s1- В_R3+ В_Is+ В_L = КСНУМКС (за ЛКСНУМКС)

-V_Is+ В_s2 +V_R2+V_R1 = КСНУМКС (за ЛКСНУМКС)

-V_R2- В_s2+ В_s3 = КСНУМКС (за ЛКСНУМКС)

Примена Охмовог закона:

V_L= И_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = И_R2*R₂

V_R3 = - И_L*R₃

Ово је 9 непознаница и 9 једначина. Најлакши начин да се то реши је коришћење ТИНА-е

преводилац. Међутим, ако смо притиснути да користимо ручне прорачуне, приметимо да овај скуп једначина може лако да се своди на систем од 5 непознаница заменом последњих 4 једначина у једнаџби петље Л1, Л2, Л3. Такође, додавањем једначина (Л1) и (ЛКСНУМКС), можемо елиминисати В_Is, редукујући проблем на систем КСНУМКС једначина за КСНУМКС непознате (И_L,I_R1 I_{РКСНУМКС,}I_s3). Када пронађемо ове струје, лако можемо одредити В_Л, V_R1, В_{РКСНУМКС,} и В_R3 користећи последње четири једначине (Охмов закон).

Замјена В_L,V_{РКСНУМКС,}V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ И_R1- Ја_s= КСНУМКС(за НКСНУМКС)

- Ја_R1+ И_R2+ И_s3 = КСНУМКС (за НКСНУМКС)

-V_s1+ И_L*R₃+ В_Is+ И_L*R_L = КСНУМКС (за ЛКСНУМКС)

-V_Is+ В_s2 + И_R2*R₂+ И_R1*R₁ = КСНУМКС (За ЛКСНУМКС)

- Ја_R2*R₂- В_s2+ В_s3 = КСНУМКС (за ЛКСНУМКС)

Додавањем (ЛКСНУМКС) и (ЛКСНУМКС) добијамо

-I_L+ И_R1- Ја_s= КСНУМКС(за НКСНУМКС)

- Ја_R1+ И_R2+ И_s3 = КСНУМКС (за НКСНУМКС)

-V_s1+ И_L*R₃+ И_L*R_L + В_s2 + И_R2*R₂+ И_R1*R₁ = КСНУМКС (ЛКСНУМКС) + (ЛКСНУМКС)

- Ја_R2*R₂- В_s2+ В_s3 = КСНУМКС (за ЛКСНУМКС)

Након замјене компонентних вриједности, рјешење за ове једнаџбе долази лако.

-I_L+I_R1- КСНУМКС = КСНУМКС (за НКСНУМКС)

-I_R1 + И_R2 + И_S3 = КСНУМКС (за НКСНУМКС)

-120 - + И_L* КСНУМКС + И_L* КСНУМКС + КСНУМКС + И_R2* КСНУМКС + И_R1* 30 = 0 (Л₁) + (Л₂)

-I_R2* КСНУМКС - КСНУМКС + КСНУМКС = КСНУМКС (за Л₃)

фром Л₃ I_R2 = КСНУМКС / КСНУМКС = КСНУМКС А (И)

фром Н₂ I_S3 - Ја_R1 = - 5.25 (ИИ)

фром Л₁+L₂ КСНУМКС сам_L + КСНУМКС И_R1 = -КСНУМКС (ИИИ)

и за Н₁ I_R1 - Ја_L = КСНУМКС (ИВ)

Помножите (ИВ) са –КСНУМКС и додајте у (ИИИ) КСНУМКС сам_L = -КСНУМКС стога I_L = - 1.5 А

Субституте И_L у (ИВ) I_R1 = КСНУМКС + (-КСНУМКС) = КСНУМКС А

и ја_R1 у (ИИ) I_S3 = -КСНУМКС + И_R1 = -КСНУМКС А

И напони: V_R1 = И_R1*R₁ = КСНУМКС В; V_R2 = И_R2*R₂ = КСНУМКС В;

V_R3 = - И_L*R₃= КСНУМКС В; V_L = И_L*R_L = - 30 В; V_Is = В_S1+V_R3-V_L = КСНУМКС В

{Решење оригиналних једначина од стране ТИНА-овог тумача}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-ИЛ-Ис + ИРКСНУМКС = КСНУМКС
-ИРКСНУМКС + ИРКСНУМКС + ИсКСНУМКС = КСНУМКС
-ВсКСНУМКС + ВРКСНУМКС + Вис-ВЛ = КСНУМКС
-Вис + ВРКСНУМКС + ВРКСНУМКС + ВсКСНУМКС = КСНУМКС
-ВсКСНУМКС + ВРКСНУМКС + ВсКСНУМКС = КСНУМКС
ВРКСНУМКС = ИРКСНУМКС * РКСНУМКС
ВРКСНУМКС = ИРКСНУМКС * РКСНУМКС
ВРКСНУМКС = -ИЛ * РКСНУМКС
ВЛ = ИЛ * РЛ
енд;
ИЛ = [- КСНУМКС]
ИРКСНУМКС = [КСНУМКСм]
ИРКСНУМКС = [КСНУМКС]
ИсКСНУМКС = [- КСНУМКС]
ВИс = [КСНУМКС]
ВЛ = [- КСНУМКС]
ВРКСНУМКС = [КСНУМКС]
ВРКСНУМКС = [КСНУМКС]
ВРКСНУМКС = [КСНУМКС]

#Решење од Питхон-а
#Ак=б
импорт нумпи као нп, симпи као с
#Симболично решење помоћу нумпи.солве
#једначине:
#ИЛ=-Ис+ИР1
#ИР1=ИР2+Ис3
#Вс1+ВР3-Вис-ВЛ=0
#Вис=ВР1+ВР2+Вс2
#Вс3=ВР2+Вс2
#ВР1=ИР1*Р1
#ВР2=ИР2*Р2
#ВР3=-ИЛ*Р3
#ВЛ=ИЛ*РЛ
#Реши за:
#ИЛ,ИР1,ИР2,
#Ис3,Вис,ВЛ,
#ВР1,ВР3,ВР2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
сол = с.солве([
-Ис+ИР1-ИЛ,
ИР2+Ис3-ИР1,
Вс1+ВР3-Вис-ВЛ,
ВР1+ВР2+Вс2-Вис,
ВР2+Вс2-Вс3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
штампа (сол)

#Још један метод за решавање помоћу нумпи.линалг
А=нп.арраи(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[КСНУМКС],
[0,Р1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,Р2,0,0,0,0,0,-1],
[-Р3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[РЛ,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

к=нп.линалг.солве(А,б)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Ис3=к[3] Вис=к[4] ВЛ=к[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
принт(“ИЛ= %.3ф”%к[0])
принт(“ИР1= %.3ф”%к[1])
принт(“ИР2= %.3ф”%к[2])
принт(“Ис3= %.3ф”%к[3])
принт(“Вис= %.3ф”%к[4])
принт(“ВЛ= %.3ф”%к[5])
принт(“ВР1= %.3ф”%к[6])
принт(“ВР2= %.3ф”%к[8])
принт(“ВР3= %.3ф”%к[7])

Решење редукованог скупа једначина помоћу тумача:

{Решење смањеног скупа једначина ТИНА-иног тумача}
Сис, ИрКСНУМКС, ИрКСНУМКС, ИсКСНУМКС
-Ил + ИрКСНУМКС-КСНУМКС = КСНУМКС
-ИрКСНУМКС + ИрКСНУМКС + ИсКСНУМКС = КСНУМКС
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-КСНУМКС * ИрКСНУМКС + КСНУМКС = КСНУМКС
енд;
Ил = [- КСНУМКС]
ИрКСНУМКС = [КСНУМКСм]
ИрКСНУМКС = [КСНУМКС]
ИсКСНУМКС = [- КСНУМКС]

Такође можемо да унесемо изразе за напоне и да ТИНА-ов преводилац израчуна тако:

Ил: = - КСНУМКС;
ИрКСНУМКС: = КСНУМКС;
ИрКСНУМКС: = КСНУМКС;
ИсКСНУМКС: = - КСНУМКС;
Вл: = Ил * РЛ;
ВрКСНУМКС: = ИрКСНУМКС * РКСНУМКС
ВрКСНУМКС: = ИрКСНУМКС * РКСНУМКС;
ВрКСНУМКС: = - Ил * РКСНУМКС;
ВИс: = ВсКСНУМКС-Вл + ВрКСНУМКС;
Вл = [- КСНУМКС]
ВрКСНУМКС = [КСНУМКС]
ВрКСНУМКС = [КСНУМКС]
ВрКСНУМКС = [КСНУМКС]
ВИс = [КСНУМКС]

Резултат можемо проверити помоћу ТИНА једноставним укључивањем ТИНА-иног ДЦ интерактивног режима или коришћењем Анализе / ДЦ анализе / Нодалних напона

ТЕОРЕМ СУПЕРПОЗИЦИЈЕ

ПОТЕНЦИЈАЛНИ МЕТОД НОДЕ