KOMPLEXA TAL

Klicka eller Peka på exemplet kretsarna nedan för att aktivera TINACloud och välj det interaktiva DC-läget för att analysera dem online.
Få en låg kostnad tillgång till TINACloud för att redigera exemplen eller skapa egna kretsar

I detta och följande kapitel presenterar vi ett mycket viktigt ämne: AC, eller växelström. Namnet växelström är inte särskilt precist och täcker normalt kretsar med sinusformade spänningar och strömmar; emellertid kan växelström också betyda vilken godtycklig strömvåg som helst. Betydelsen av växelspänningen är att denna typ av spänning används för huvudströmkällan i hem och industri över hela världen. Det är också grunden för många elektronik-, telekommunikations- och industriapplikationer.

För att hantera sinusformade vågformer och de kretsar som är förknippade med dem, kommer vi att använda en enkel och elegant metod som kallas metoden för fasorer. Fasorer baseras på egenskaperna hos komplexa tal, vilka är idealiska för att representera sinusformiga kvantiteter. I det här kapitlet ska vi sammanfatta de viktigaste fakta om komplexa nummer och deras verksamhet. Vi visar också hur TINAs tolk gör det enkelt att göra beräkningar med komplexa tal.

Komplexa nummer består av två delar, a verklig del (x), vilket är ett verkligt tal och en så kallad imaginär del (y), vilket är ett reellt tal multiplicerat med , den imaginära enheten. Det komplicerade numret zkan därför beskrivas som:

z = x + jy

var .

Exempel på komplexa tal:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Komplexa nummer infördes ursprungligen under sjuttonhundratalet för att representera rötter till polynomier som inte kunde representeras med reella tal ensam. Till exempel, ekvationens rötter x² + 2x + 2 = 0 kan bara beskrivas som och , eller använda notationen , z₁= 1 + j och z₂= 1- j. Med hjälp av den nya notationen för att undersöka egenskaperna hos uttryck kunde matematiker bevisa teorier och lösa problem som fram till dess hade varit svåra om inte omöjliga att lösa. Detta ledde till utarbetandet av komplexa algebra och komplexa funktioner, som nu används allmänt inom matematik och teknik.

Geometrisk representation av komplexa tal

Rektangulär form

Eftersom ett komplext nummer alltid kan separeras i dess verkliga och komplexa delar, kan vi representera ett komplext nummer som en punkt på ett tvådimensionellt plan. Den verkliga delen av ett komplext nummer är projektionen av punkten på den verkliga axeln, och den imaginära delen av numret är projektionen på den imaginära axeln. När ett komplext antal representeras som summan av verkliga och imaginära delar, säger vi att det är i rektangulär or algebraisk form.

Följande bild visar det komplexa numret z = 2 + 4j

Polär och exponentiell form

Som ni ser av figuren ovan kan punkten A också representeras av pilens längd, r (även kallad absolutvärdet, storleken eller amplituden) och dess vinkel (eller fas), φ relativt i moturs riktning till den positiva horisontella axeln. Det här är polärt form av ett komplext tal. Det betecknas som r ∠ φ.

Nästa steg är väldigt viktigt. Ett komplext tal i polär form kan också skrivas in exponentiell form:

Detta enkla uttryck är distinkt genom att det har ett imaginärt nummer i exponenten istället för det vanliga verkliga talet. Denna komplexa exponentiella uppträder mycket annorlunda än den exponentiella funktionen med ett verkligt argument. Medan e^x växer snabbt i storlek för att öka x> 0 och minskar för x <0, funktionen har samma storlek (z = 1) för alla φ. Dessutom ligger dess komplexa värden på enhetens cirkel.

Eulers formel ger en förenande länk mellan de rektangulära, polära och exponentiella formerna av komplexa tal:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j synd φ )

var

och φ = solbränna^-1 (Y / x).

För vårt exempel ovan, z = 2 + 4j:

φ = solbränna^-1 (4 / 2) = 63.4 °

därför .

Eller tvärtom:

Du måste vara skicklig på att använda båda formerna, beroende på applikationen. Till exempel är tillägg eller subtraktion naturligtvis lättare att göra när siffrorna är i rektangulär form, medan multiplikation och delning är lättare att göra när siffrorna är i exponentiell form.

Operationer med komplexa nummer

De operationer som kan utföras med komplexa nummer liknar dem för verkliga nummer. Reglerna och några nya definitioner sammanfattas nedan.

Operationer med j

Verksamheten med j helt enkelt följa från definitionen av den imaginära enheten,

För att kunna arbeta snabbt och noggrant bör du memorera dessa regler:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Komplext konjugat

Det komplicerade konjugatet av ett komplext tal är lätt avledt och är ganska viktigt. För att erhålla det komplexa konjugatet av ett komplext tal i rektangulär form, ändrar du helt enkelt tecknet på den imaginära delen. För att göra det för ett tal i exponentiell form, ändra tecknet på vinkeln för det komplexa numret samtidigt som dess absoluta värde är detsamma.

Det komplexa konjugatet av ett komplext tal z betecknas ofta av z^*.

Med tanke på det komplicerade numret z= A + jb, dess komplexa konjugat är z^*= a- jb.

If z ges i exponentiell form, , dess komplexa konjugat är

Med hjälp av definitionerna ovan är det lätt att se att ett komplext tal multiplicerat med dess komplexa konjugat ger kvadraten av det absoluta värdet av det komplexa antalet:

zz^* = r² = a^{2 +} b²

Genom att lägga till eller subtrahera något komplext tal och dess konjugat får vi också följande relationer:

z + z ^* = 2a

därför

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Liknande:

z - z ^* =j2b

därför

Jag är(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Numeriska exempel:

I rektangulär form:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

I polär form

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ~ 53.13 °

I exponentiell form:

Addition och subtraktion

Tillsats och subtraktion av komplexa tal är enkelt - vi behöver bara lägga till de verkliga och imaginära delarna separat. Till exempel om

z₁ = 3 - 4j och z₂ = 2 + 3j

sedan

z₁ + z₂ = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂ = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Uppenbarligen bör vi använda den rektangulära formen för dessa operationer. Om siffrorna anges i exponentiell eller polär form, bör vi omvandla dem först till rektangulär form med Eulers formel, som tidigare angivits.

Multiplikation

Det finns två metoder för att multiplicera komplexa tal -

Multiplikation av komplexa tal som ges i rektangulär form

För att utföra operationen multiplicerar du helt enkelt de verkliga och imaginära delarna av ett nummer i tur och ordning med de verkliga och imaginära delarna av det andra numret och använder identiteten j² = -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂ + j(b₁a₂+ jb₂a₁)

När de komplexa talen anges numeriskt är det inte nödvändigt att använda formeln ovan. Till exempel låt

z₁ = 3 - 4j och z₂ = 2 + 3j

Med direkt multiplicering av komponenterna:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

eller med formeln: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂ + j(b₁a₂+ B.₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Vi tror att du är mer benägna att göra ett fel om du använder formeln än om du multiplicerar komponenterna direkt.

Multiplikation av komplexa tal som ges i polär eller exponentiell form

För att utföra denna operation multiplicerar du de absoluta värdena och lägger till vinklarna för de två komplexa talen. Låta:

Använd sedan regeln för multiplikation av exponentiella funktioner:

eller i polär form

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁ + φ₂

Obs! Vi har redan använt den här regeln när vi beräknat zz ^*ovan. Eftersom konjugatets vinkel har motsatt tecken på den ursprungliga vinkeln, är ett komplext antal multiplicerat med sitt eget konjugat alltid ett reellt tal; nämligen kvadratet med dess absoluta värde: zz ^* = r²

Till exempel, låt:

z₁ = 5 ∠ 30 ° och z₂ = 4 ~ -60 °

sedan

z₁z₂ = 20 ~ -30 °

eller i exponentiell form

Multiplikation är uppenbarligen enklare när siffrorna är i polär eller exponentiell form.

Men om de komplexa siffrorna anges i rektangulär form, bör du överväga att utföra multiplikationen direkt som visas ovan, eftersom det finns ytterligare steg om du konverterar siffrorna till polär form innan du multiplicerar dem. En annan faktor att tänka på är om du vill att svaren ska vara i rektangulär form eller i polär / exponentiell form. Till exempel, om de två siffrorna är i rektangulär form men du vill ha deras produkt i polär form är det vettigt att konvertera dem omedelbart och sedan multiplicera dem.

division

Det finns två metoder för uppdelning av komplexa tal -

Uppdelning av komplexa tal i rektangulär form

För att utföra operationen multiplicerar du telleren och nämnaren med nämnarens konjugat. Nämnaren blir ett verkligt tal och indelningen reduceras till multiplikationen av två komplexa siffror och en division med ett verkligt tal, kvadratet med nämnda absoluta värde.

Låt till exempel:

z₁ = 3 - 4j och z₂ = 2 + 3j

Låt oss kolla detta resultat med TINAs tolk:

Uppdelning av komplexa tal som ges i polär eller exponentiell form

För att utföra operationen dela de absoluta värdena (storheter) och subtrahera nivåns vinkel från vinkeln på täljaren. Låta:

då använder du regeln för uppdelning av exponentiella funktioner

eller i polär form

z ₁ / z₂ = r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Till exempel, låt:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° och z ₂ = 2 ∠ -60 °

sedan

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

eller i exponentiella och rektangulära former

Låt oss kolla detta resultat med TINAs tolk:

Uppdelning är uppenbarligen enklare när siffrorna är i polär eller exponentiell form.

Men om de komplexa siffrorna anges i rektangulär form bör du överväga att utföra uppdelningen direkt med hjälp av den komplexa konjugatmetoden som visas ovan, eftersom det finns ytterligare steg om du konverterar siffrorna till polär form innan du delar upp dem. En annan faktor att tänka på är om du vill att svaren ska vara i rektangulär form eller i polär / exponentiell form. Till exempel, om de två siffrorna är i rektangulär form, men du vill att deras kvot i polär form, är det vettigt att konvertera dem omedelbart och sedan dela dem.

Låt oss nu illustrera användningen av komplexa tal genom fler numeriska problem. Som vanligt kommer vi att kolla våra lösningar med hjälp av TINAs tolk. Tolken arbetar med radianer, men den har standardfunktioner för omvandling av radianer till grader eller vice versa.

Exempelvis 1 Hitta den polära representationen:

z = 12 - j 48

eller 49.48 ∠ - 75.96 °

Exempelvis 2 Hitta den rektangulära representationen:

z = 25 e ^{j 125 °}

Exempelvis 3 Hitta den polära representationen av följande komplexa tal:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

De absoluta värdena för alla fyra siffrorna är desamma eftersom det absoluta värdet är oberoende av tecknen. Endast vinklarna är olika.

TINAs båge () -funktion bestämmer vinkeln på vilket komplex nummer som helst och placerar det automatiskt korrekt i en av de fyra kvadranterna.

Var försiktig dock med solbränna^-1 funktion för att hitta vinkeln, eftersom den endast är begränsad till returvinklar i första och fjärde kvadranterna (–90 °φ<90 °).

Eftersom z₁ ligger i koordinatsystemets första kvadrant är beräkningen följande:

α ₁ = solbränna^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Eftersom z₄ ligger i koordinatsystemets tredje kvadrant, solbränna^-1returnerar inte vinkeln korrekt. Vinkelberäkningen är:

α ₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° eller -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, vilket är detsamma som beräknat av TINA.

z₂ ligger i koordinatsystemets fjärde kvadrant Vinkelberäkningen är:

α ₂ = solbränna^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3, Det ligger emellertid i koordinatsystemets 2-kvadrant, så brun^-1 vinklar inte rätt. Vinkelberäkningen är:

α ₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Exempelvis 4 Vi har två komplexa nummer: z₁= 4 - j 6 och z₂ = 5 e^{j45 °} .

hitta z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Först löser vi problemet med TINAs tolk

Lägg märke till hur TINA enkelt hanterar de två komplexa tal som ges i olika former.

Lösningen är mer komplicerad utan tolk. Så att vi kan jämföra olika metoder för multiplikation och delning, kommer vi först att bestämma den polära formen för z₁ och den rektangulära formen av z₂ .

Därefter hittar vi de fyra lösningarna som använder de enklaste formerna först: rektangulära för tillsats och subtraktion och exponentiell för multiplikation och delning:

z ₃ = z₁ + z₂ = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z ₄ = z₁ - z₂ = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z ₅ = z₁ * z₂ = 7.21 * 5 * e^{j(-56.31 ° + 45 °)} = 36.05 e ^{-j11.31 °} = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* sin (-11.31 °))

z ₅ = 35.33 - j 7.07

z ₆ = z₁/z₂= (7.21 / 5) * e ^{j (-56.31 ° -45 °)} = 1.442 e ^{- j 101.31 °} = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* sin (-101.31 °))

z ₆ = -0.2828 - j 1.414

som överensstämmer med de resultat som erhållits med TINA-tolken.

Multiplikationen utförd i rektangulär form:

z ₅ =z₁*z₂ = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Slutligen utfördes uppdelningen i rektangulär form:

vilka överensstämmer med tidigare resultat.