MESH OCH LOOP CURRENT METHODS

Klicka eller Peka på exemplet kretsarna nedan för att aktivera TINACloud och välj det interaktiva DC-läget för att analysera dem online.
Få en låg kostnad tillgång till TINACloud för att redigera exemplen eller skapa egna kretsar

Ett annat sätt att förenkla den kompletta uppsättningen av Kirchhoffs ekvationer är mesh eller loop-metoden. Med hjälp av denna metod uppfylls Kirchhoffs nuvarande lag automatiskt, och slingekvationerna som vi skriver uppfyller också Kirchhoffs spänningslag. Att tillfredsställa Kirchhoffs nuvarande lag uppnås genom att tilldela stängda strömslingor som kallas nät- eller slingströmmar till varje oberoende slinga i kretsen och använda dessa strömmar för att uttrycka alla andra mängder i kretsen. Eftersom slingströmmarna är stängda, måste strömmen som flyter in i en nod också strömma ut från noden; så att skriva nodekvationer med dessa strömmar leder till identitet.

Låt oss först överväga metoden för nätströmmar.

Vi noterar först att nätströmmetoden endast är tillämplig för ”plana” kretsar. Plana kretsar har inga korsande ledningar när de dras på ett plan. Ofta kan du bestämma att den faktiskt är plan genom att rita om en krets som verkar vara icke-plan. För kretsar utan plan, använd slingströmmetod beskrivs senare i detta kapitel.

För att förklara tanken på nätströmmar, föreställ dig kretsens grenar som "fisknät" och tilldela en nätström till varje nät i nätet. (Ibland sägs det också att en sluten strömslinga tilldelas i varje "fönster" i kretsen.)

Det schematiska diagrammet "Fiskenät" eller grafen på kretsen

Tekniken för att representera kretsen genom en enkel ritning, kallad a diagram, är ganska kraftfull. Eftersom Kirchhoffs lagar beror inte på komponenternas art, du kan bortse från betongkomponenterna och ersätta dem enkla linjesegment, kallade grenar av grafen. Genom att representera kretsar med grafer kan vi använda matematikens tekniker grafteori. Detta hjälper oss att utforska den topologiska karaktären hos en krets och bestämma de oberoende slingorna. Kom tillbaka senare till den här webbplatsen för att läsa mer om detta ämne.

Stegen i nätströmanalys:

1. Tilldela en nätström till varje nät. Även om riktningen är godtycklig är det vanligt att använda medursriktningen.
   

2. Tillämpa Kirchhoffs spänningslag (KVL) runt varje nät, i samma riktning som nätströmmarna. Om ett motstånd har två eller flera maskströmmar genom sig beräknas den totala strömmen genom motståndet som den algebraiska summan av maskströmmarna. Med andra ord, om en ström som strömmar genom motståndet har samma riktning som slingans maskström, har den ett positivt tecken, annars ett negativt tecken i summan. Spänningskällor beaktas som vanligt. Om deras riktning är densamma som nätströmmen, anses deras spänning vara positiv, annars negativ, i KVL-ekvationerna. För strömkällor flyter vanligtvis bara en nätström genom källan, och den strömmen har samma riktning som strömmen för källan. Om detta inte är fallet, använd den mer allmänna slingströmmetoden som beskrivs senare i det här stycket. Det finns inget behov att skriva KVL-ekvationer för slingor som innehåller nätströmmar tilldelade nuvarande källor.
   

3. Lös de resulterande slingekvationerna för nätströmmen.
   

4. Bestäm önskad ström eller spänning i kretsen med hjälp av nätströmmarna.

Låt oss illustrera metoden enligt följande exempel:

Hitta den aktuella I i kretsen nedan.

Vi ser att det finns två nät (eller ett vänster- och högerfönster) i denna krets. Låt oss tilldela nätströmmar medurs J₁ och J₂ till maskorna. Sedan skriver vi KVL-ekvationerna och uttrycker spänningarna över resistorerna genom Ohms lag:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

numeriskt:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

Express J₁ från den första ekvationen: J₁ = och ersätt sedan med den andra ekvationen: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

multiplicera med 17: 102 - 24 + 4 * J₂ + 238 * J₂ = 0 därav J₂ =

och J₁ =

Slutligen, den önskade strömmen:

Låt oss kolla resultaten med TINA:

Låt oss nu lösa det föregående exemplet igen, men med det mer allmänna metod för slingströmmar. Med den här metoden kallas den slutna strömmen slingströmmar, tilldelas inte nödvändigtvis kretsens nät, utan till godtyckliga oberoende slingor. Du kan se till att slingorna är oberoende genom att ha minst en komponent i varje slinga som inte finns i någon annan slinga. För plana kretsar är antalet oberoende slingor detsamma som antalet maskor, vilket är lätt att se.

Ett mer exakt sätt att bestämma antalet oberoende slingor är enligt följande.

Får en krets med b grenar och N knutpunkter. Antalet oberoende slingor l är:

l = b - N + 1

Detta följer av att antalet oberoende Kirchhoffs ekvationer måste vara lika med grenarna i kretsen, och vi vet redan att det bara finns N-1 oberoende nodekvationer. Därför är det totala antalet Kirchhoffs ekvationer

b = N-1 + l och följaktligen l = b - N + 1

Denna ekvation följer också av den grundläggande satsen för grafteori som kommer att beskrivas senare på denna plats.

Låt oss nu lösa det föregående exemplet igen, men mer enkelt med hjälp av slingströmmetoden. Med denna metod är vi fria att använda slingor i nät eller andra slingor, men låt oss hålla slingan med J₁ i kretsens vänstra nät. För den andra slingan väljer vi dock slingan med J_2, som visas i figuren nedan. Fördelen med detta val är att J₁ kommer att vara lika med den begärda strömmen I, eftersom det är den enda slingströmmen som passerar genom R1. Det betyder att vi inte behöver beräkna J2 alls. Observera att till skillnad från "verkliga" strömmar är den fysiska betydelsen av slingströmmar beroende av hur vi tilldelar dem till kretsen.

KVL ekvationerna:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

och den önskade strömmen: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Express J2 från den andra ekvationen:

Ersätt i den första ekvationen:

Därav: J1 = I = 1 A

Ytterligare exempel.

Exempelvis 1

Hitta den aktuella I i kretsen nedan.

Observera att riktningen för denna slingström är inte medurs eftersom dess riktning bestäms av den aktuella källan. Men eftersom denna slingström redan är känd, finns det inget behov att skriva KVL-ekvationen för slingan där I_S1 är tagen.

Därför är den enda ekvationen att lösa:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (Jag - jag_S1) = 0

därav

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

numeriskt

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Du kan också generera detta resultat som kallar TINAs symbolanalys från menyn Analys / symbolisk analys / DC:

Eller så kan du lösa KVL-ekvationen av tolkaren:

Följande exempel har 3 strömkällor och är mycket lätt att lösa med metoden för slingströmmar.

Exempelvis 2

Hitta spänningen V.

I det här exemplet kan vi välja tre slingströmmar så att varje passerar endast en strömkälla. Därför är alla de tre slingströmmarna kända, och vi behöver bara uttrycka den okända spänningen V genom att använda dem.

Gör den algebraiska summan av strömmarna genom R₃:

V = (I_S3 - Jag_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. Du kan verifiera detta med TINA :.

Klicka / tryck på kretsen ovan för att analysera on-line eller klicka på den här länken för att spara under Windows

Låt oss nu ta itu med ett problem som vi redan har löst i Kirchhoffs lagar och Node potentiell metod kapitel.

Exempelvis 3

Hitta spänningen V hos motståndet R₄.

Klicka / tryck på kretsen ovan för att analysera on-line eller klicka på den här länken för att spara under Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Detta problem behövde minst fyra ekvationer för att lösa i de föregående kapitlen.

Lösa detta problem med metoden för slingströmmar, vi har fyra oberoende slingor, men med rätt val av slingströmmar kommer en av slingströmmarna att vara lika med källströmmen är.

Baserat på slingströmmarna som visas i figuren ovan är loopekvationerna:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - I_S*R₆ -JAG₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Jag₃* (R₁+R₂) - I_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - I₄* (R₅ + R₆) - Jag₂* (R₁ + R₂) = 0

Den okända spänningen V kan uttryckas med slingströmmar:

V = R₄ * (I₂ + I₃)

numeriskt:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

-100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I₃)

Vi kan använda Cramer's regel för att lösa detta ekvationssystem:

I₄ = D₃/D

där D är systemets determinant. D_4, determinant för jag_4, bildas genom att ersätta systemets högra sida placeras med kolonnen i I₄koefficienter.

Systemet av ekvationer i beställd form:

- 60 * I₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

Så determinant D:

Lösningen av detta system av ekvationer är:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

Du kan bekräfta svaret via resultatet beräknat av TINA.

Klicka / tryck på kretsen ovan för att analysera on-line eller klicka på den här länken för att spara under Windows

I detta exempel är varje okänd slingström en grenström (I1, I3 och I4); så det är lätt att kontrollera resultatet genom att jämföra med DC-analysresultaten för TINA.