PRINCIPER FÖR ÄNDRING AV LÖPANDE

Klicka eller Peka på exemplet kretsarna nedan för att aktivera TINACloud och välj det interaktiva DC-läget för att analysera dem online.
Få en låg kostnad tillgång till TINACloud för att redigera exemplen eller skapa egna kretsar

En sinusformad spänning kan beskrivas med ekvationen:

v (t) = V_M synd (wt + Φ) eller v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

Här är några exempel som illustrerar villkoren ovan.

Egenskaperna hos 220 V AC spänningen i hushållsuttag i Europa:

Effektivt värde: V_Eff = 220 V
Toppvärde: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvens: f = 50 1 / s = 50 Hz
Vinkelfrekvens: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Period: T = 1 / f = 20 ms
Tidsfunktion: v (t) = 311 sin (314 t)

Låt oss se tidsfunktionen med hjälp av TINAs analys / AC-analys / tidsfunktionskommando.

Egenskaperna hos 120 V AC spänningen i hushålls eluttaget i USA:

Effektivt värde: V_Eff = 120 V
Toppvärde: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvens: f = 60 1 / s = 60 Hz
Vinkelfrekvens: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Period: T = 1 / f = 16.7 ms
Tidsfunktion: v (t) = 170 sin (377 t)

Observera att tidsfunktionen i det här fallet kan anges antingen som v (t) = 311 sin (314 t + Φ) eller v (t) = 311 cos (314 t + Φ), eftersom i fallet med utgångsspänningen vi känner inte till den inledande fasen.

Inledningsfasen spelar en viktig roll när flera spänningar är närvarande samtidigt. Ett bra praktiskt exempel är trefasystemet där tre spänningar med samma toppvärde, form och frekvens är närvarande, vilka var och en har ett 120 ° fasförskjutning i förhållande till de andra. I ett 60 Hz-nätverk är tidsfunktionerna:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Följande bild som gjorts med TINA visar kretsen med dessa tidsfunktioner som TINAs spänningsgeneratorer.

Spänningsskillnaden v_AB= v_A(t) - v_B(t) visas som löst genom TINAs analys / AC-analys / tidsfunktionskommando.

Observera att toppen av v_AB (t) är ungefär 294 V, större än 170 V-trupperna i v_A(t) eller v_B(t) spänningar, men inte bara summan av deras toppspänningar. Detta beror på fasskillnaden. Vi kommer att diskutera hur man beräknar den resulterande spänningen (vilken är Ö3 * 170 @ 294 i det här fallet) senare i detta kapitel och även i separat Trefasystem kapitel.

Karakteristiska värden av sinusformade signaler

Även om en växelsignal kontinuerligt varierar under sin period, är det enkelt att definiera några karakteristiska värden för att jämföra en våg med en annan: Dessa är toppvärdena, medelvärdet och roten-medelvärdet (rms) -värdena.

Vi har redan träffat toppvärdet V_M , som helt enkelt är det maximala värdet av tidsfunktionen, sinusformade vågens amplitud.

Ibland används peak-to-peak (pp) -värdet. För sinusformiga spänningar och strömmar är topp-till-toppvärdet dubbelt toppvärdet.

Smakämnen Genomsnittligt värde av sinusvågan är det aritmetiska medelvärdet av värdena för den positiva halvcykeln. Det kallas också absolut medelvärde eftersom det är detsamma som genomsnittet av det absoluta värdet av vågformen. I praktiken möter vi denna vågform av likriktande sinusvågen med en krets kallad en fullvågslikriktare.

Det kan visas att det absoluta genomsnittet av en sinusformig våg är:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Observera att medelvärdet av en hel cykel är noll.
Det rms eller effektiva värdet av en sinusformad spänning eller ström motsvarar det ekvivalenta DC-värdet som alstrar samma värmeffekt. Exempelvis producerar en spänning med ett effektivt värde av 120 V samma värme- och belysningsstyrka i en glödlampa som 120 V från en likspänningskälla. Det kan visas att rms eller effektivvärdet av en sinusformig våg är:

V_rms = V_M / √2 ≅ 0.707 V_M

Dessa värden kan beräknas på samma sätt för både spänningar och strömmar.

RMS-värdet är mycket viktigt i praktiken. Om inte annat anges, anges växelströmsspänningar (t.ex. 110V eller 220V) i rms-värden. De flesta AC-mätare kalibreras i rms och anger rms-nivån.

Exempelvis 1 Hitta toppvärdet av sinusformad spänning i ett elektriskt nätverk med 220 V rms-värde.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Exempelvis 2 Hitta toppvärdet av sinusformad spänning i ett elektriskt nätverk med 110 V rms-värde.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Exempelvis 3 Hitta (absolut) medelvärdet av sinusformad spänning om dess rms-värde är 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Exempelvis 4 Hitta det absoluta genomsnittet av sinusformad spänning om dess rms-värde är 110 V.

Spänningen i spänningen från exempel 2 är155.58 V och därmed:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Exempelvis 5 Hitta förhållandet mellan det absoluta genomsnittet (V_a) och rms (V) -värden för sinusformig vågform.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Observera att du inte kan lägga till genomsnittliga värden i en växelströmskrets, eftersom det leder till felaktiga resultat.

fasvektorer

Som vi redan har sett i föregående avsnitt är det ofta nödvändigt att i AC-kretsar lägga till sinusformade spänningar och strömmar av samma frekvens. Även om det är möjligt att lägga till signalerna numeriskt med TINA eller genom att använda trigonometriska relationer, är det mer lämpligt att använda den så kallade fasvektor metod. En fasor är ett komplext tal som representerar amplituden och fasen av en sinusformad signal. Det är viktigt att notera att fasorn inte representerar frekvensen, vilket måste vara densamma för alla fasorer.

En fasor kan hanteras som ett komplext tal eller representeras grafiskt som en plan pil i komplexplanet. Den grafiska representationen kallas ett fasdiagram. Med fasordiagram kan du lägga till eller subtrahera fasorer i ett komplext plan med triangeln eller parallellogramregeln.

Det finns två former av komplexa tal: rektangulär och polärt.

Den rektangulära representationen finns i forma + jb, var j = Ö-1 är den imaginära enheten.

Den polära representationen är i formen Ae^{j j} , där A är absolutvärdet (amplitud) och f är fasens vinkel från den positiva riktiga axeln, motursriktad.

Vi kommer använda nål bokstäver för komplexa kvantiteter.

Låt oss nu se hur man avledar motsvarande fasor från en tidsfunktion.

Först antar att alla spänningar i kretsen uttrycks i form av cosinusfunktioner. (Alla spänningar kan konverteras till det formuläret.) Då fasvektor motsvarande spänningen hos v (t) = V_M cos ( w t+f) är: V_M = V_Me ^jf , som också kallas det komplexa toppvärdet.

Tänk på exempelvis spänningen: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Den motsvarande fasorn är: V

Vi kan beräkna tidsfunktionen från en fasor på samma sätt. Först skriver vi fasorn i polär form t.ex. V_M = V_Me ^jr och då är motsvarande tidsfunktion

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Tänk till exempel fasorn V_M = 10 - j20 V

Föra den till polär form:

Således är tidsfunktionen: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Fasorer används ofta för att definiera det komplexa effektiva eller rms-värdet av spänningar och strömningar i växelströmskretsar. Givet v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

numeriskt:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Det komplexa effektiva (rms) -värdet: V = 0.707 * 10 * e^{- j30°} = 7.07 e^{- j30°} = 6.13 - j 3.535

Vice versa: om det komplexa effektiva värdet av en spänning är:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e ^{j 116.5°}

då det komplexa toppvärdet:

och tidsfunktionen: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

En kort motivering av ovanstående tekniker är som följer. Givet en tidsfunktion
V_M (cos ( w t+r), låt oss definiera komplex tidsfunktion som:

v (t) = V_M e ^jr e ^jwt = V_Me ^jwt = V_M (cos (r) + j synd(r)) E ^jwt

var V_M =V_M e ^{j r t} = V_M (cos (r) + j synd(r)) är bara fasorn införd ovan.

Till exempel, den komplexa tidsfunktionen hos v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^jwt = 10 e ^j30 e ^jwt = 10e ^jwt (cos (30) + j synd (30)) = e ^jwt (8.66 +j5)

Genom att introducera den komplexa tidsfunktionen har vi en representation med både en riktig del och en imaginär del. Vi kan alltid återställa den ursprungliga verkliga tiden, genom att ta den verkliga delen av vårt resultat: v (t) = Re {v(T)}

Men den komplexa tidsfunktionen har den stora fördelen att eftersom alla komplexa tidsfunktioner i de aktuella växelströmskretsarna har samma e^jwt multiplikatorn, vi kan faktor detta ut och bara jobba med fasorerna. Dessutom använder vi i praktiken inte e^jwt delar alls - bara transformationerna från tidsfunktionerna till fasorerna och tillbaka.

För att visa fördelen med att använda fasorer, låt oss se följande exempel.

Exempelvis 6 Hitta summan och skillnaden i spänningarna:

v₁ = 100 cos (314 * t) och v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Skriv först faserna av båda spänningarna:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Därav:

V_{lägga till} = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63°}

V_nedan = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 och ^{j 28.67°}

och då fungerar tiden:

v_{lägga till}(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_nedan(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Som det här enkla exemplet visar, är metoden för phasors.is ett extremt kraftfullt verktyg för att lösa AC-problem.

Låt oss lösa problemet med hjälp av verktygen i TINAs tolk.

Amplituden och fasresultatet bekräftar handberäkningarna.

Nu kan vi kontrollera resultatet med hjälp av TINAs AC-analys.

Innan vi utför analysen, låt oss se till att Basfunktion för AC Jag är inställd på cosinus i Redigeringsalternativ dialogrutan från menyn Visa / Alternativ. Vi kommer att förklara rollen för denna parameter på Exempelvis 8.

Kretsarna och resultaten:

Exempelvis 7 Hitta summan och skillnaden i spänningarna:

v₁ = 100 sin (314 * t) och v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Detta exempel ger en ny fråga. Hittills har vi krävt att alla tidsfunktioner ges som cosinusfunktioner. Vad ska vi göra med en tidsfunktion som ges som sinus? Lösningen är att omvandla sinusfunktionen till en cosinusfunktion. Använda trigonometriska förhållandet sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°) kan vårt exempel omformuleras på följande sätt:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) och v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Nu är faserna av spänningarna:

V_1M = 100 e ^{- j 90°} = -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Därav:

V _{lägga till} = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _nedan = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

och då fungerar tiden:

v_{lägga till}(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_nedan(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Låt oss lösa problemet med hjälp av verktygen i TINAs tolk.

Låt oss kolla resultatet med TINAs AC-analys

Exempelvis 8

v₁ = 100 sin (314 * t) och v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Detta exempel ger ytterligare ett problem. Vad händer om alla spänningar ges som sinusvågor och vi vill också se resultatet som en sinusvåg ?. Vi kunde naturligtvis konvertera båda spänningarna till cosinusfunktioner, beräkna svaret och än konvertera resultatet tillbaka till en sinusfunktion - men detta är inte nödvändigt. Vi kan skapa fasor från sinusvågorna på samma sätt som vi gjorde från cosinusvågor och sedan helt enkelt använda deras amplitud och faser som amplitud och fas för sinusvågor i resultatet.

Detta kommer givetvis att ge samma resultat som att transformera sinusvågorna till cosinusvågor. Som vi kunde se i föregående exempel motsvarar detta att multiplicera med -j och sedan använder cos (x) = sin (x-90°) för att omvandla den till en sinusvåg. Detta motsvarar att multiplicera med j. Med andra ord, eftersom -j × j = 1, vi kunde använda fasorerna härledda direkt från amplituderna och faserna av sinusvågor för att representera funktionen och sedan återvända direkt till dem. Även resonemang på samma sätt om komplexa tidsfunktioner kan vi överväga sinusvågor som de imaginära delarna av komplexa tidsfunktioner och komplettera dem med cosinusfunktionen för att skapa den fullständiga komplexa tidsfunktionen.

Låt oss se lösningen på detta exempel genom att använda sinusfunktionerna som bas för fasorerna (transformera sin ( w t) till den verkliga enhetsfasorn (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Därav:

V _{lägga till} = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _nedan = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Observera att fasorerna är exakt samma som i Exempel 6 men inte tidsfunktionerna:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Som du kan se är det väldigt enkelt att få resultatet med sinusfunktioner, särskilt när våra initiala data är sinusvågor. Många läroböcker föredrar att använda sinusvågen som basfunktion för fasorer. I praktiken kan du använda någon av metoderna, men inte förväxla dem.

När du skapar fasorerna är det mycket viktigt att alla tidsfunktioner först konverteras antingen till sinus eller cosinus. Om du startade från sinusfunktionerna, ska dina lösningar representeras med sinusfunktioner när de återgår från fasorer till tidsfunktioner. Samma sak gäller om du börjar med cosinusfunktioner.

Låt oss lösa samma problem med TINAs interaktiva läge. Eftersom vi vill använda sinusfunktioner som bas för att skapa fasorerna, se till att Basfunktion för AC är inställd på deras i Redigeringsalternativ dialogrutan från menyn Visa / Alternativ.

och tidsfunktionerna:

 

Skicka

X

Glad att ha dig kl DesignSoft

Låter chatta om du behöver hjälp med att hitta rätt produkt eller behöver support.

English

English German French Spanish Portuguese Russian Chinese (Simplified) Chinese (Traditional) Japanese Korean Hungarian