จำนวนที่ซับซ้อน

คลิกหรือกดเลือกตัวอย่างวงจรด้านล่างเพื่อเรียกใช้ TINACloud และเลือกโหมด Interactive DC เพื่อวิเคราะห์แบบออนไลน์
รับการเข้าถึง TINACloud ที่มีต้นทุนต่ำเพื่อแก้ไขตัวอย่างหรือสร้างวงจรของคุณเอง

วิธีตาข่ายและวนรอบ

หลักการของกระแสทางเลือก

ในบทนี้และบทต่อไปนี้เราจะนำเสนอหัวข้อที่สำคัญมาก: AC หรือกระแสสลับ กระแสสลับชื่อไม่แม่นยำมากและมักจะครอบคลุมวงจรที่มีแรงดันและกระแสไซน์ อย่างไรก็ตามกระแสสลับสามารถหมายถึงรูปคลื่นใด ๆ ก็ได้ ความสำคัญของแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับคือแรงดันไฟฟ้าชนิดนี้ใช้สำหรับแหล่งพลังงานไฟฟ้าหลักในบ้านและอุตสาหกรรมทั่วโลก นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานสำหรับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์โทรคมนาคมและอุตสาหกรรม

ในการจัดการรูปคลื่นไซน์และวงจรที่เกี่ยวข้องเราจะใช้วิธีการที่เรียบง่ายและสง่างามที่เรียกว่าวิธีการเฟสเซอร์ เฟสเซอร์นั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเหมาะสำหรับการแสดงปริมาณไซน์ ในบทนี้เราจะสรุปข้อเท็จจริงที่สำคัญเกี่ยวกับจำนวนที่ซับซ้อนและการดำเนินงานของพวกเขา นอกจากนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าล่ามของ TINA ช่วยให้การคำนวณด้วยตัวเลขที่ซับซ้อนทำได้ง่ายขึ้น

จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยสองส่วนคือ ส่วนที่แท้จริงx), ซึ่งเป็นจำนวนจริงและเรียกว่า ส่วนจินตภาพ (y) ซึ่งเป็นจำนวนจริงคูณด้วย , หน่วยจินตภาพ. จำนวนเชิงซ้อน zดังนั้นสามารถอธิบายเป็น:

z = x + jy

ที่ไหน .

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

จำนวนเชิงซ้อนถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่สิบเจ็ดเพื่อเป็นตัวแทนของรากของพหุนามซึ่งไม่สามารถแสดงด้วยจำนวนจริงเพียงอย่างเดียว ตัวอย่างเช่นรากของสมการ x²+ 2x + 2 = 0 สามารถอธิบายได้เป็นเท่านั้น และ หรือใช้สัญลักษณ์ , z₁= 1 + j และ z₂= 1- j. การใช้สัญกรณ์ใหม่เพื่อตรวจสอบคุณสมบัติของการแสดงออกทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทและแก้ปัญหาซึ่งจนกว่าจะถึงตอนนั้นก็ยากหากไม่สามารถแก้ไขได้ สิ่งนี้นำไปสู่การทำอย่างละเอียดของพีชคณิตที่ซับซ้อนและฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนซึ่งตอนนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์และวิศวกรรม

การแทนค่าทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนสามารถแยกออกเป็นส่วนจริงและซับซ้อนได้เสมอเราจึงสามารถแทนจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบนระนาบสองมิติ ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อนคือการประมาณจุดลงบนแกนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนนั้นคือการฉายลงบนแกนจินตภาพ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนแสดงเป็นผลรวมของส่วนจริงและจินตภาพเราจะบอกว่ามันเป็น เป็นมุมฉาก or รูปแบบพีชคณิต.

รูปต่อไปนี้แสดงจำนวนเชิงซ้อน z = 2 + 4j

รูปแบบขั้วโลกและเลขชี้กำลัง

ดังที่คุณเห็นจากรูปด้านบนจุด A อาจแสดงด้วยความยาวของลูกศร r (เรียกอีกอย่างว่าค่าสัมบูรณ์ขนาดหรือแอมพลิจูด) และมุมของมัน (หรือเฟส) φ สัมพันธ์ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกากับแกนนอนบวก นี้เป็น ขั้วโลก รูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน แสดงเป็น r ∠ φ.

ขั้นตอนต่อไปเป็นสิ่งสำคัญมาก จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบขั้วยังสามารถเขียน ที่ชี้แจง รูปแบบ:

นิพจน์ง่าย ๆ นี้มีความโดดเด่นว่ามีจำนวนจินตภาพในเลขชี้กำลังแทนที่จะเป็นจำนวนจริงตามปกติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนี้มีพฤติกรรมแตกต่างจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วยอาร์กิวเมนต์จริง ในขณะที่^x ขยายขนาดอย่างรวดเร็วเมื่อเพิ่ม x> 0 และลดลงสำหรับ x <0 ฟังก์ชัน มีขนาดเท่ากัน (z = 1) สำหรับφใด ๆ นอกจากนี้ค่าที่ซับซ้อนยังอยู่ในวงกลมหน่วย

สูตรของออยเลอร์ให้การเชื่อมโยงที่เป็นหนึ่งเดียวระหว่างตัวเลขเชิงขั้วขั้วและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน:

z = x + jy = อีกครั้ง ^jφ = r (เพราะ φ + j บาป φ )

ที่ไหน

และ φ = ผิวสีแทน^-1(y / x)

สำหรับตัวอย่างของเราด้านบน z = 2 + 4j:

φ = ผิวสีแทน^-1(4 / 2) = 63.4 °

ดังนั้น .

หรือในทางกลับกัน:

คุณจะต้องมีความเชี่ยวชาญในการใช้ทั้งสองรูปแบบขึ้นอยู่กับแอปพลิเคชัน ตัวอย่างเช่นการเพิ่มหรือการลบง่ายกว่าเมื่อตัวเลขอยู่ในรูปแบบสี่เหลี่ยมในขณะที่การคูณและการหารทำได้ง่ายกว่าเมื่อตัวเลขอยู่ในรูปแบบเลขชี้กำลัง

การดำเนินงานที่มีจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการที่สามารถทำได้ด้วยจำนวนเชิงซ้อนนั้นคล้ายกับที่ใช้สำหรับจำนวนจริง กฎและคำจำกัดความใหม่บางอย่างสรุปไว้ด้านล่าง

ดำเนินการกับ j

การดำเนินการด้วย j เพียงทำตามคำจำกัดความของหน่วยจินตภาพ

เพื่อให้สามารถทำงานได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำคุณควรจดจำกฎเหล่านี้:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

พิสูจน์:

j² = -1 เพียงทำตามคำจำกัดความของ , ตั้งแต่

สำหรับ 1 /jเราคูณ 1 /jby j / j = 1 และรับ j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

คอนจูเกตที่ซับซ้อน

คอนจูเกตที่ซับซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนนั้นหาได้ง่ายและมีความสำคัญมาก เพื่อให้ได้คอนจูเกตคอมเพล็กซ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพียงแค่เปลี่ยนสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพ ในการทำเช่นนั้นสำหรับตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังให้เปลี่ยนเครื่องหมายของมุมของจำนวนเชิงซ้อนในขณะที่รักษาค่าสัมบูรณ์ของมันไว้เหมือนเดิม

คอนจูเกตที่ซับซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน z มักเขียนโดย z^*.

รับจำนวนเชิงซ้อน z= A + jb, คอนจูเกตที่ซับซ้อนคือ z^*= A- jb.

If z ให้ในรูปแบบเลขชี้กำลัง คอนจูเกตที่ซับซ้อนคือ

การใช้คำจำกัดความข้างต้นมันง่ายที่จะเห็นว่าจำนวนเชิงซ้อนคูณด้วยคอมเพล็กซ์ที่ซับซ้อนทำให้ตารางของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน:

ZZ^* = r²= a^{2 +}b²

นอกจากนี้โดยการเพิ่มหรือลบจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และคอนจูเกตของมันเราจะได้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

z + z ^* = 2a

ดังนั้น

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

ในทำนองเดียวกัน:

z - z ^* =j2b

ดังนั้น

อิ่ม (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

พิสูจน์:

หรือคูณส่วนจริงและจินตภาพและการใช้ j²= -1

ZZ^* = (A + jb) (a - jข) = a²+a jข - ก jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

z - z^*= A + jb - a + jb =j2b

ตัวอย่างตัวเลข:

ในรูปแบบสี่เหลี่ยม:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

ZZ ^* = 9 16 + = 25

ในรูปแบบขั้วโลก

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

ในรูปแบบเลขชี้กำลัง:

การบวกและการลบ

การเพิ่มและการลบของจำนวนเชิงซ้อนนั้นตรงไปตรงมา - เราแค่ต้องเพิ่มส่วนจริงและจินตภาพแยกกัน ตัวอย่างเช่นถ้า

z₁ = 3 - 4j และ z₂= 2 + 3j

แล้วก็

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

เห็นได้ชัดว่าเราควรใช้รูปแบบสี่เหลี่ยมสำหรับการดำเนินการเหล่านี้ หากตัวเลขนั้นได้รับในรูปแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลหรือโพลาร์เราควรแปลงให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าก่อนโดยใช้สูตรของออยเลอร์ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้า

การคูณ

มีสองวิธีในการคูณจำนวนเชิงซ้อน -

การคูณจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ในการดำเนินการเพียงแค่คูณส่วนจริงและจำนวนจินตภาพของตัวเลขหนึ่งโดยใช้ส่วนจริงและจำนวนจินตภาพของหมายเลขอื่นและใช้ข้อมูลประจำตัว j²= -1

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (ก₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - ข₁b₂ = a₁ a₂- ข₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

เมื่อตัวเลขที่ซับซ้อนได้รับเป็นตัวเลขไม่จำเป็นต้องใช้สูตรด้านบน ตัวอย่างเช่นให้

z₁ = 3 - 4j และ z₂= 2 + 3j

ด้วยการคูณโดยตรงของส่วนประกอบ:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

หรือใช้สูตร: z₁z₂ = a₁ a₂- ข₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

เราคิดว่าคุณน่าจะมีข้อผิดพลาดมากกว่าถ้าคุณใช้สูตรมากกว่าถ้าคุณคูณส่วนประกอบโดยตรง

{Solution by TINA's Interpreter}
z1 = 3 4-J *
z2 = 2 3 + J *
z1 * z2 = [+ 18 1 * เจ]

#Solution โดย Python:
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c

z1=ซับซ้อน('3-4j')
z2=เชิงซ้อน('2+3j')
พิมพ์("z1*z2=",z1*z2)

การคูณจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบขั้วหรือเอ็กซ์โปเนนเชียล

ในการดำเนินการนี้ให้คูณค่าสัมบูรณ์และเพิ่มมุมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน ปล่อย:

จากนั้นใช้กฎการคูณของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

หรือในรูปแบบขั้วโลก

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠φ₁+ φ₂

หมายเหตุ: เราใช้กฎนี้ไปแล้วเมื่อเราคำนวณ ZZ ^*ข้างบน. เนื่องจากมุมของคอนจูเกตมีเครื่องหมายตรงข้ามของมุมดั้งเดิมจำนวนเชิงซ้อนคูณด้วยคอนจูเกตของตัวเองจึงเป็นจำนวนจริงเสมอ กล่าวคือกำลังสองของค่าสัมบูรณ์: ZZ ^*= r²

ตัวอย่างเช่นให้:

z₁ = 5 ∠ 30 °และ z₂ = 4 ∠ -60 °

แล้วก็

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

หรือในรูปแบบเลขชี้กำลัง

การคูณนั้นง่ายกว่าอย่างเห็นได้ชัดเมื่อตัวเลขอยู่ในรูปโพลาร์หรือเอกซ์โปเนนเชียล

อย่างไรก็ตามหากมีการกำหนดจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบสี่เหลี่ยมคุณควรพิจารณาดำเนินการคูณโดยตรงดังที่แสดงไว้ข้างต้นเนื่องจากมีขั้นตอนเพิ่มเติมหากคุณแปลงตัวเลขเป็นรูปแบบขั้วโลกก่อนที่จะคูณ อีกปัจจัยที่ควรพิจารณาคือคุณต้องการให้คำตอบอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือในรูปแบบโพลาร์ / เอ็กซ์โพเนนเชียล ตัวอย่างเช่นหากตัวเลขทั้งสองอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่คุณต้องการให้ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาอยู่ในรูปแบบขั้วมันทำให้รู้สึกถึงการแปลงพวกเขาทันทีแล้วคูณพวกเขา

การแบ่ง

มีสองวิธีในการหารจำนวนเชิงซ้อน -

การหารจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบสี่เหลี่ยม

ในการดำเนินการให้คูณตัวเศษและส่วนด้วยการเชื่อมต่อของตัวส่วน ตัวส่วนกลายเป็นจำนวนจริงและการหารลดลงเป็นการคูณจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนและตัวหารด้วยจำนวนจริงคือกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของตัวส่วน

ตัวอย่างเช่นให้:

z₁ = 3 - 4j และ z₂= 2 + 3j

ตรวจสอบผลลัพธ์นี้ด้วยล่ามของ TINA:

{Solution by TINA's Interpreter}
z1 = 3 4-J *
z2 = 2 3 + J *
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * เจ]

#Solution โดย Python:
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c

z1=ซับซ้อน('3-4j')
z2=เชิงซ้อน('2+3j')
พิมพ์("z1/z2=",z1/z2)

การหารจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบโพลาร์หรือเอกซ์โปเนนเชียล

ในการดำเนินการให้แบ่งค่าสัมบูรณ์ (ขนาด) และลบมุมของตัวส่วนออกจากมุมของตัวเศษ ปล่อย:

จากนั้นใช้กฎการหารของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หรือในรูปแบบขั้วโลก

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

ตัวอย่างเช่นให้:

z ₁ = 5 ∠ 30 °และ z ₂ = 2 ∠ -60 °

แล้วก็

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

หรือในรูปแบบเลขชี้กำลังและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ตรวจสอบผลลัพธ์นี้ด้วยล่ามของ TINA:

{Solution by TINA's Interpreter}
z1 = 5 * exp (J * degtorad (30))
z2 = 2 * exp (J * degtorad (-60))
z1 / z2 = [+ 0 2.5 * เจ]

#Solution โดย Python:
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c

z1=5*(c.exp(เชิงซ้อน(0,m.เรเดียน(30))))
z2=2*(c.exp(ซับซ้อน(0,m.เรเดียน(-60))))
พิมพ์("z1/z2=",z1/z2)

เห็นได้ชัดว่าการหารง่ายกว่าเมื่อตัวเลขอยู่ในรูปแบบโพลาร์หรือเอกซ์โปเนนเชียล

อย่างไรก็ตามหากตัวเลขที่ซับซ้อนได้รับในรูปแบบสี่เหลี่ยมคุณควรพิจารณาดำเนินการหารโดยตรงโดยใช้วิธีการผันซับซ้อนที่แสดงด้านบนเนื่องจากมีขั้นตอนเพิ่มเติมหากคุณแปลงตัวเลขเป็นรูปแบบขั้วโลกก่อนที่จะแบ่งพวกเขา อีกปัจจัยที่ควรพิจารณาคือคุณต้องการให้คำตอบอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือในรูปแบบโพลาร์ / เอ็กซ์โพเนนเชียล ตัวอย่างเช่นหากตัวเลขทั้งสองอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่คุณต้องการความฉลาดของพวกเขาในรูปแบบขั้วก็จะเหมาะสมที่จะแปลงพวกเขาทันทีแล้วหารพวกเขา

ตอนนี้ให้เราแสดงการใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนด้วยปัญหาเชิงตัวเลขที่มากขึ้น ตามปกติเราจะตรวจสอบโซลูชันของเราโดยใช้ล่ามของ TINA ล่ามทำงานร่วมกับเรเดียน แต่มีฟังก์ชั่นมาตรฐานสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศาหรือในทางกลับกัน

1 ตัวอย่าง ค้นหาการเป็นตัวแทนขั้วโลก:

z = 12 - j 48

หรือ 49.48 ∠ - 75.96 °

{Solution by TINA's Interpreter}
Z = 12-J * 48;
เอบีเอส (z) = [49.4773]
โค้ง (z) = [- 1.3258]
radtodeg (ARC (z)) = [- 75.9638]

#Solution โดย Python:
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c

z=12-คอมเพล็กซ์(48j)
พิมพ์("เอบีเอส(z)=",เอบีเอส(z))
พิมพ์("ส่วนโค้ง(z)=",c.เฟส(z))
พิมพ์("องศา(ส่วนโค้ง(z))=",m.องศา(c.เฟส(z)))

2 ตัวอย่าง ค้นหาการเป็นตัวแทนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Solution by TINA's Interpreter}
Z = 25 * exp (J * (degtorad (125)));
Z = [- 14.3394 20.4788 + * เจ]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Solution โดย Python:
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c

z=25*c.exp(ซับซ้อน(0,m.เรเดียน(125)))
พิมพ์("z=",z)
พิมพ์ ("จริง (z) =", z.real)
พิมพ์("imag(z)=",z.imag)

3 ตัวอย่าง ค้นหาการแทนค่าขั้วของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขทั้งสี่นั้นเหมือนกันเพราะค่าสัมบูรณ์เป็นอิสระจากเครื่องหมาย เฉพาะมุมที่แตกต่าง

{Solution by TINA's Interpreter}
z1 = 12 + J * 48;
เอบีเอส (z1) = [49.4773]
โค้ง (z1) = [1.3258]
radtodeg (ARC (z1)) = [75.9638]

z2 = 12-J * 48;
เอบีเอส (z2) = [49.4773]
โค้ง (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (ARC (z2)) = [- 75.9638]

z3 = - 12 + J * 48;
เอบีเอส (z3) = [49.4773]
โค้ง (z3) = [1.8158]
radtodeg (ARC (z3)) = [104.0362]

z4 = - 12-J * 48:
เอบีเอส (z4) = [49.4773]
โค้ง (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (ARC (z4)) = [- 104.0362]

#Solution โดย Python:
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c

z1=ซับซ้อน('12+48j')
พิมพ์("เอบีเอส(z1)=",เอบีเอส(z1))
พิมพ์("ส่วนโค้ง(z1)=",c.เฟส(z1))
พิมพ์("องศา(ส่วนโค้ง(z1))=",m.องศา(c.เฟส(z1)))

z2=ซับซ้อน('12-48j')
พิมพ์("เอบีเอส(z2)=",เอบีเอส(z2))
พิมพ์("ส่วนโค้ง(z2)=",c.เฟส(z2))
พิมพ์("องศา(ส่วนโค้ง(z2))=",m.องศา(c.เฟส(z2)))

z3=ซับซ้อน('-12+48j')
พิมพ์("เอบีเอส(z3)=",เอบีเอส(z3))
พิมพ์("ส่วนโค้ง(z3)=",c.เฟส(z3))
พิมพ์("องศา(ส่วนโค้ง(z3))=",m.องศา(c.เฟส(z3)))

z4=ซับซ้อน('-12-48j')
พิมพ์("เอบีเอส(z4)=",เอบีเอส(z4))
พิมพ์("ส่วนโค้ง(z4)=",c.เฟส(z4))
พิมพ์("องศา(ส่วนโค้ง(z4))=",m.องศา(c.เฟส(z4)))

ฟังก์ชัน arc () ของ TINA กำหนดมุมของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ วางมันอย่างถูกต้องโดยอัตโนมัติในหนึ่งในสี่ส่วน

ระวังตัวด้วยการใช้สีแทน^-1 ฟังก์ชันในการหามุมเนื่องจากถูก จำกัด ให้กลับมุมเฉพาะในจตุภาคแรกและสี่ (–90 °φ<90 °)

ตั้งแต่ z₁ตั้งอยู่ในจตุภาคแรกของระบบพิกัดการคำนวณคือ:

α₁ = ผิวสีแทน^-1(48 / 12) = ตัน^-1(4) = 75.96 °

ตั้งแต่ z₄ตั้งอยู่ในจตุภาคที่สามของระบบพิกัดแทน^-1ไม่ส่งคืนมุมอย่างถูกต้อง การคำนวณมุมคือ:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 °หรือ -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °ซึ่งเหมือนกับการคำนวณโดย TINA

z₂ตั้งอยู่ในจตุภาคที่สี่ของระบบพิกัดการคำนวณมุมคือ:

α₂ = ผิวสีแทน^-1(-48 / 12) = ตัน^-1(-4) = -75.96 °

z_3,อย่างไรก็ตามอยู่ใน 2 และ Quadrant ของระบบพิกัดดังนั้น tan^-1ไม่ได้คืนมุมที่ถูกต้อง การคำนวณมุมคือ:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °

4 ตัวอย่าง เรามีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน: z₁= 4 - j 6 และ z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

หา z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

ก่อนอื่นเราแก้ปัญหาโดยใช้ล่ามของ TINA

{Solution by TINA's Interpreter}
z1 = 4-J * 6;
z2 = 5 * exp (J * degtorad (45));
z3 = z1 + z2;
z3 = [7.5355 2.4645-* เจ]
z4 = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * เจ]
z5 = z1 * z2;
z5 = [35.3553 7.0711-* เจ]
z6 = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * เจ]

โปรดสังเกตว่า TINA สามารถจัดการกับจำนวนเชิงซ้อนทั้งสองได้อย่างง่ายดายในรูปแบบที่แตกต่างกันอย่างไร

การแก้ปัญหามีความซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่ต้องใช้ล่าม เพื่อให้เราสามารถเปรียบเทียบวิธีการคูณและการหารที่แตกต่างกันเราจะกำหนดรูปแบบขั้วของ z₁ และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของ z₂.