กฎหมายของเคิร์ชอฟฟ์ในวงจร AC

คลิกหรือกดเลือกตัวอย่างวงจรด้านล่างเพื่อเรียกใช้ TINACloud และเลือกโหมด Interactive DC เพื่อวิเคราะห์แบบออนไลน์
รับการเข้าถึง TINACloud ที่มีต้นทุนต่ำเพื่อแก้ไขตัวอย่างหรือสร้างวงจรของคุณเอง

เทวินินและนอร์ตันวงจรเทียบเท่า

ศักยภาพของโหนดและวิธีการหมุนเวียนตาข่ายในวงจร AC

ดังที่เราได้เห็นแล้ววงจรที่มีการกระตุ้นด้วยไซน์สามารถแก้ไขได้โดยใช้ ความต้านทานที่ซับซ้อน สำหรับองค์ประกอบและ ยอดเขาที่ซับซ้อน or ซับซ้อน ค่า rms สำหรับกระแสและแรงดันไฟฟ้า การใช้กฎของ Kirchhoff ในเวอร์ชันค่าที่ซับซ้อนสามารถใช้เทคนิคการวิเคราะห์แบบโหนดและเมชเพื่อแก้ปัญหาวงจร AC ในลักษณะที่คล้ายกับวงจร DC ในบทนี้เราจะแสดงให้เห็นผ่านตัวอย่างของกฎหมายของ Kirchhoff

1 ตัวอย่าง

ค้นหาความกว้างและมุมเฟสของกระแส i_vs(T) if
v_S(t) = V_SM เพราะ 2pฟุต; i (t) = I_SM เพราะ 2pฟุต; V_SM = 10 V; ผม_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 โอห์ม; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

คลิก / แตะที่วงจรด้านบนเพื่อวิเคราะห์ออนไลน์หรือคลิกที่ลิงค์นี้เพื่อบันทึกภายใต้ Windows

ทั้งหมดเรามี 10 แรงดันและกระแสที่ไม่รู้จัก ได้แก่ : i, i_C1, ผม_R, ผม_L, ผม_C2ใน_C1ใน_Rใน_Lใน_C2 และ v_IS. (ถ้าเราใช้ค่า peak หรือ rms ที่ซับซ้อนสำหรับแรงดันและกระแสเรามีสมการจริงทั้งหมด 20 สมการ!)

สมการ:

สมการลูปหรือตาข่าย: สำหรับ M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_{ลัทธิ} = 0

กฎหมายของโอห์ม V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* * * * * * * * LI_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

สมการที่สำคัญสำหรับ N₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

สำหรับองค์ประกอบชุด I = I_C1M

การแก้ระบบสมการคุณสามารถค้นหากระแสที่ไม่รู้จักได้:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A

การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อนขนาดใหญ่นั้นมีความซับซ้อนมากดังนั้นเราจึงไม่ได้แสดงรายละเอียด สมการเชิงซ้อนแต่ละสมการจะนำไปสู่สมการจริงสองสมการดังนั้นเราจึงแสดงการแก้ปัญหาโดยค่าที่คำนวณด้วยล่ามของ TINA เท่านั้น

การแก้ปัญหาโดยใช้ล่ามของ TINA:

{Solution by TINA's Interpreter}
OM = 20000 * ปี่;
Vs = 10;
คือ = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
กับ=Vc1+Vr {M1}
วีอาร์=วีแอล {M2}
วีอาร์=วีซี2 {M3}
Vc2=วิส {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-คือ {N1}
{กฎของโอห์ม}
Ic1 = J * * * * * * * * อ้อม C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = J * * * * * * * * อ้อม L * IL
Ic2 = J * * * * * * * * อ้อม C2 * Vc2
IVS = Ic1
จบ;
IVS = [3.1531E1 + 1.7812E0 * เจ]
เอบีเอส (IVS) = [1.8089]
fiIvs = 180 * โค้ง (IVS) / ปี่
fiIvs = [79.9613]

#วิธีแก้ปัญหาโดย Python
นำเข้า sympy เป็น s
นำเข้า cmath เป็น c
cp= แลมบ์ดา Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=20000*c.pi
กับ=10
คือ=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.สัญลักษณ์('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
พิมพ์ (IV)
พิมพ์("abs(Ivs)=",cp(abs(Ivs)))
พิมพ์(“180*c.เฟส(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.เฟส(Ivs)/c.pi))

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ TINA:

เพื่อแก้ปัญหานี้ด้วยมือให้ทำงานกับอิมพีแดนซ์ที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น R, L และ C₂ มีการเชื่อมต่อแบบขนานดังนั้นคุณสามารถทำให้วงจรง่ายขึ้นโดยการคำนวณแบบขนานของมัน || หมายถึงเทียบเท่าขนานของความต้านทาน:

ตัวเลข:

วงจรที่เรียบง่ายโดยใช้ความต้านทาน:

สมการในรูปแบบคำสั่ง: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

มีสี่ unknowns- I; I_Z; V_C1; V_Z - และเรามีสี่สมการดังนั้นจึงสามารถแก้ปัญหาได้

รวดเร็ว I หลังจากแทนค่า unknowns อื่นจากสมการ:

ตัวเลข

ตามผลของล่ามของ TINA

{วิธีแก้ปัญหาโดยใช้อิมพีแดนซ์ Z}
OM = 20000 * ปี่;
Vs = 10;
คือ = 1;
Z = replus (r replus (ญ * * * * * * * * อ้อม L, 1 / เจ / อ้อม / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * เจ]
ฉัน
I = J * * * * * * * * อ้อม C1 * (VS-Z * (ฉัน + นั้น))
จบ;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * เจ]
เอบีเอส (I) = [1.8089]
180 * โค้ง (I) / ปี่ = [79.9613]

#วิธีแก้ปัญหาโดย Python
นำเข้า sympy เป็น s
นำเข้า cmath เป็น c
บวก= แลมบ์ดา R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
กับ=10
คือ=1
Z=รีพลัส(R,รีพลัส(1j*om*L,1/1j/om/C2))
พิมพ์('Z=',cp(Z))
I=s.สัญลักษณ์('ฉัน')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) สำหรับ Z ใน tuple(s.linsolve(A,I))[0]][0]
พิมพ์("I=",cp(I))
พิมพ์("เอบีเอส(I)=",cp(เอบีเอส(I)))
พิมพ์(“180*c.เฟส(I)/c.pi=”,cp(180*c.เฟส(I)/c.pi))

ฟังก์ชันเวลาของกระแสจึงเป็น:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A

คุณสามารถตรวจสอบกฎปัจจุบันของ Kirchhoff โดยใช้แผนภาพเฟสเซอร์ รูปภาพด้านล่างได้รับการพัฒนาโดยการตรวจสอบสมการโหนดใน i_Z = i + i_G1แบบฟอร์ม. แผนภาพแรกแสดงเฟสเซอร์ที่เพิ่มโดยกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานอันที่สองแสดงให้เห็นถึงกฎสามเหลี่ยมของการเพิ่มเฟสเซอร์

ตอนนี้ขอสาธิต KVR โดยใช้คุณสมบัติเฟสเซอร์ไดอะแกรมของ TINA เนื่องจากแรงดันต้นทางเป็นลบในสมการเราจึงเชื่อมต่อโวลต์มิเตอร์“ ถอยหลัง” แผนภาพเฟสเซอร์แสดงรูปแบบดั้งเดิมของกฎแรงดันไฟฟ้าของ Kirchhoff

แผนภาพเฟสเซอร์แรกใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานขณะที่สองใช้กฎสามเหลี่ยม

เพื่อแสดงให้เห็นถึง KVR ในรูปแบบ V_C1 + V_Z - V_S = 0 เราเชื่อมต่อโวลต์มิเตอร์กับแหล่งจ่ายแรงดันย้อนหลังอีกครั้ง คุณสามารถเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมเฟสเซอร์ปิด

โปรดทราบว่า TINA ให้คุณใช้ฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นที่เลือกแอมพลิจูดเชิงซ้อนที่เห็นในแผนภาพเฟสเซอร์อาจแตกต่างกันถึง 90 คุณสามารถตั้งค่าฟังก์ชันพื้นฐานใน 'View' 'Options' 'Base function for AC' ในตัวอย่างของเราเราใช้ฟังก์ชันโคไซน์เป็นฐานเสมอ

2 ตัวอย่าง

ค้นหาแรงดันและกระแสของส่วนประกอบทั้งหมดหาก:

v_S(t) = 10 cos wโทรทัศน์, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF C₂ = 50 nF R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H f = 10 kHz

ให้สิ่งที่ไม่รู้จักเป็นค่าสูงสุดที่ซับซ้อนของแรงดันไฟฟ้าและกระแสขององค์ประกอบ 'พาสซีฟ' เช่นเดียวกับกระแสของแหล่งจ่ายแรงดัน (i_VS) และแรงดันไฟฟ้าของแหล่งจ่ายกระแส (v_IS) พรึบมีสิบสองซับซ้อนที่ไม่รู้จัก เรามีสามโหนดอิสระสี่อิสระลูป (ทำเครื่องหมายเป็น M_I) และห้าองค์ประกอบแฝงซึ่งสามารถจำแนกได้ด้วย "กฎของโอห์ม" ห้าตัว - มี 3 + 4 + 5 = 12 สมการ:

สมการโหน สำหรับ N₁ I_VSM = ฉัน_R1M + ฉัน_C2M

สำหรับ N₂ I_R1M = ฉัน_LM + ฉัน_C1M

สำหรับ N₃ I_C2M + ฉัน_LM + ฉัน_C1M +I_sM = ฉัน_R2M

สมการลูป สำหรับ M₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

สำหรับ M₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

สำหรับ M₃ V_LM = V_C1M

สำหรับ M₄ V_R2M = V_{ลัทธิ}

กฎหมายของโอห์ม V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* * * * * * * * L ฉัน_LM

อย่าลืมว่าสมการที่ซับซ้อนใด ๆ อาจนำไปสู่สมการจริงสองสมการดังนั้นวิธีการของ Kirchhoff จึงต้องใช้การคำนวณหลายอย่าง ง่ายกว่ามากในการแก้ฟังก์ชันเวลาของแรงดันไฟฟ้าและกระแสโดยใช้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (ไม่ได้กล่าวถึงที่นี่) อันดับแรกเราจะแสดงผลลัพธ์ที่คำนวณโดยล่ามของ TINA:

{Solution by TINA's Interpreter}
f: = 10000;
Vs = 10;
s = 0.005 * exp (J * ปี่ / 6);
OM = 2 * * * * * * * * ปี่ฉ;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
กับ=vc2+vr2 {4}
กับ=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=วีแอล {6}
vr2=วิส {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
จบ;
เอบีเอส (vr1) = [970.1563m]
เอบีเอส (vr2) = [10.8726]
เอบีเอส (ic1) = [245.6503u]
เอบีเอส (ic2) = [3.0503m]
เอบีเอส (vc1) = [39.0965m]
เอบีเอส (vc2) = [970.9437m]
เอบีเอส (IL) = [3.1112u]
เอบีเอส (VL) = [39.0965m]
เอบีเอส (น้ำเกลือ) = [3.0697m]
180 + radtodeg (ARC (เกลือ)) = [58.2734]
เอบีเอส (กำลัง) = [10.8726]
radtodeg (ARC (Vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (ARC (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (ARC (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (ARC (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (ARC (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (ARC (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (ARC (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (อาร์ค (IL)) = [- 24.8908]
radtodeg (ARC (VL)) = [65.1092]

#วิธีแก้ปัญหาโดย Python
นำเข้า sympy เป็น s
นำเข้าคณิตศาสตร์เป็นม
นำเข้า cmath เป็น c
cp= แลมบ์ดา Z : “{:.4f}”.format(Z)
f = 10000
กับ=10
S=0.005*c.ประสบการณ์(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.สัญลักษณ์('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
พิมพ์("เอบีเอส(vr1)=",cp(เอบีเอส(vr1)))
พิมพ์("เอบีเอส(vr2)=",cp(เอบีเอส(vr2)))
พิมพ์("เอบีเอส(ic1)=",ซีพี(เอบีเอส(ic1)))
พิมพ์("เอบีเอส(ic2)=",ซีพี(เอบีเอส(ic2)))
พิมพ์("เอบีเอส(vc1)=",cp(เอบีเอส(vc1)))
พิมพ์("เอบีเอส(vc2)=",cp(เอบีเอส(vc2)))
พิมพ์("abs(iL)=",cp(abs(iL)))
พิมพ์(“เอบีเอส(vL)=”,cp(เอบีเอส(vL)))
พิมพ์("เอบีเอส(ivs)=",cp(เอบีเอส(ivs)))
พิมพ์ (“180+องศา(เฟส(ivs))=”,cp(180+m.องศา(c.เฟส(ivs))))
พิมพ์ ("เอบีเอส (vis) =", cp (เอบีเอส (vis)))
print("องศา(เฟส(vis))=",cp(m.degrees(c.phase(vis))))
พิมพ์("องศา(เฟส(vr1))=",cp(m.องศา(c.เฟส(vr1))))
พิมพ์("องศา(เฟส(vr2))=",cp(m.องศา(c.เฟส(vr2))))
พิมพ์("องศา(เฟส(ic1))=",cp(m.องศา(c.เฟส(ic1))))
พิมพ์("องศา(เฟส(ic2))=",cp(m.องศา(c.เฟส(ic2))))
พิมพ์("องศา(เฟส(vc2))=",cp(m.องศา(c.เฟส(vc2))))
พิมพ์("องศา(เฟส(vc1))=",cp(m.องศา(c.เฟส(vc1))))
พิมพ์("องศา(เฟส(iL))=",cp(m.องศา(c.เฟส(iL))))
พิมพ์("องศา(เฟส(vL))=",cp(m.องศา(c.เฟส(vL))))

ทีนี้ลองทำให้สมการง่ายขึ้นด้วยมือโดยใช้การแทนที่ ตัวเลือกแรกเทียบเท่า eq.9 เป็น eq 5

V_S = V_C2 + R₂ I_R2ได้.)

จากนั้น eq.8 และ eq.9 เป็น eq 5

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 ข.)

จากนั้น eq 12., eq 10 และฉัน_Lจาก eq 2 เป็น eq.6

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (ฉัน_R1 - ผม_C1) = jwLI_R1 - ญwลwC₁ V_C1