KARIŞIK SAYILAR

TINACloud'u çağırmak için aşağıdaki Örnek devrelerine tıklayın veya dokunun ve Çevrimiçi Analiz etmek için Etkileşimli DC modunu seçin.
Örnekleri düzenlemek veya kendi devrelerinizi oluşturmak için TINACloud'a düşük maliyetli bir erişim elde edin

ÖRME VE DÖNGÜ GÜNCEL YÖNTEMLER

DÖNÜŞÜMÜN GÜNCELLEME İLKELERİ

Bu ve sonraki bölümlerde çok önemli bir konu sunacağız: AC veya Alternatif Akım. Alternatif akım adı çok kesin değildir ve normalde sinüzoidal voltaj ve akımlara sahip devreleri kapsar; bununla birlikte, alternatif akım, herhangi bir isteğe bağlı akım dalga formu anlamına da gelebilir. AC voltajın önemi, bu tür voltajın dünyadaki ev ve sanayideki ana elektrik güç kaynağı için kullanılmasıdır. Aynı zamanda birçok elektronik, telekomünikasyon ve endüstriyel uygulama için temel oluşturur.

Sinüzoidal dalga formlarını ve bunlarla ilişkili devreleri ele almak için fazör yöntemi olarak adlandırılan basit ve zarif bir yöntem kullanacağız. Fazerler, sinüzoidal miktarları temsil etmek için ideal olan karmaşık sayıların özelliklerine dayanır. Bu bölümde, karmaşık sayılarla ve bunların işlemleriyle ilgili temel gerçekleri özetleyeceğiz. Ayrıca, TINA'nın Tercümanının karmaşık sayılarla hesaplama yapmayı nasıl kolaylaştırdığını göstereceğiz.

Karmaşık sayılar iki bölümden oluşur; gerçek kısımx), ki bu gerçek bir sayı ve sözde hayali kısım (y), ki bu gerçek bir sayı ile çarpılır. , hayali birim. Karmaşık sayı zBu nedenle şöyle tanımlanabilir:

z = x + jy

nerede .

Karmaşık sayılara örnekler:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Karmaşık sayılar başlangıçta on yedinci yüzyılda, yalnızca gerçek sayılarla temsil edilemeyen polinomların köklerini temsil etmek için tanıtılmıştır. Örneğin, x denkleminin kökleri²+ 2x + 2 = 0 yalnızca olarak tanımlanabilir ve veya gösterimi kullanarak , z₁= 1 + j ve z₂= 1- j. İfadelerin özelliklerini araştırmak için yeni gösterimi kullanarak, matematikçiler teoremleri kanıtlayabildi ve o zamana kadar çözülmesi imkansız değilse de zor olan problemleri çözebildiler. Bu, şimdi matematik ve mühendislikte yaygın olarak kullanılan karmaşık cebir ve karmaşık fonksiyonların detaylandırılmasına yol açtı.

Kompleks sayıların geometrik gösterimi

Dikdörtgen şeklinde

Karmaşık bir sayı her zaman gerçek ve karmaşık parçalarına ayrılabildiğinden, karmaşık bir sayıyı iki boyutlu bir düzlemde bir nokta olarak temsil edebiliriz. Karmaşık bir sayının gerçek kısmı, noktanın gerçek eksene izdüşümüdür ve sayının hayali kısmı, hayali eksene izdüşümdür. Karmaşık bir sayı gerçek ve hayali parçaların toplamı olarak temsil edildiğinde, dikdörtgen biçiminde or cebirsel form.

Aşağıdaki şekil karmaşık sayıyı göstermektedir z = 2 + 4j

Kutupsal ve üstel form

Yukarıdaki şekilde görebileceğiniz gibi, A noktası da ok uzunluğu ile temsil edilebilir, r (mutlak değer, büyüklük veya genlik olarak da adlandırılır) ve açısı (veya fazı) olarak da adlandırılır, φ pozitif yatay eksene göre saat yönünün tersine göreceli olarak. Bu kutup karmaşık bir sayı biçimi. R ∠ olarak gösterilir φ.

Bir sonraki adım çok önemlidir. Kutupsal formda karmaşık bir sayı ayrıca üstel form:

Bu basit ifade, üssünde olağan gerçek sayı yerine hayali bir sayıya sahip olması bakımından ayırt edicidir. Bu karmaşık üstel gerçek bir argümanla üstel işlevden çok farklı davranır. E iken^x x> 0'ı arttırmak için hızla büyür ve x <0 için azalır, fonksiyon herhangi bir φ için aynı büyüklüğe (z = 1) sahiptir. Ayrıca, karmaşık değerleri birim çember üzerinde yer alır.

Euler'ın formülü, karmaşık sayıların dikdörtgen, kutupsal ve üstel formları arasında birleştirici bir bağlantı sağlar:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j günah φ )

nerede

ve φ = tan^-1(Y / x).

Yukarıdaki örneğimize göre, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

bu nedenle .

Ya da tam tersi:

Uygulamaya bağlı olarak her iki formu da kullanma konusunda becerikli olmanız gerekir. Örneğin, sayılar dikdörtgen biçimindeyken toplama veya çıkarma işlemi daha kolay olurken, sayılar üstel biçimdeyken çarpma ve bölme işlemleri daha kolaydır.

Karmaşık sayılarla yapılan işlemler

Karmaşık sayılarla yapılabilecek işlemler, gerçek sayılardaki işlemlere benzer. Kurallar ve bazı yeni tanımlar aşağıda özetlenmiştir.

J ile yapılan işlemler

İle işlemleri j sadece hayali birimin tanımından takip edin,

Hızlı ve doğru çalışabilmek için şu kuralları ezberlemelisiniz:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Kanıt:

j² = -1, sadece tanımından izler , dan beri

1 için /j, 1 / ile çarpıyoruzjby j / j = 1 ve al j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Karmaşık eşlenik

Karmaşık bir sayının karmaşık eşleniği kolayca elde edilir ve oldukça önemlidir. Karmaşık bir sayının karmaşık konjugatını dikdörtgen şeklinde elde etmek için, hayali kısmın işaretini değiştirmeniz yeterlidir. Üstel formdaki bir sayı için, mutlak değerini aynı tutarken, karmaşık sayının açısının işaretini değiştirin.

Karmaşık bir sayının karmaşık eşleniği z genellikle ile gösterilir z^*.

Karmaşık sayı göz önüne alındığında zA + jb, onun karmaşık eşleniği z^*= a- jb.

If z üstel biçimde verilir, karmaşık eşleniği

Yukarıdaki tanımları kullanarak, karmaşık eşleniği ile çarpılan bir karmaşık sayının, karmaşık sayının mutlak değerinin karesini verdiğini görmek kolaydır:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Ayrıca, herhangi bir karmaşık sayı ve konjugatını ekleyerek veya çıkartarak aşağıdaki ilişkileri elde ederiz:

z + z ^* = 2a

bu nedenle

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Benzer şekilde:

z - z ^* =j2b

bu nedenle

Ben(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Kanıt:

veya gerçek ve hayali parçaların çoğaltılması ve kullanılması j²= -1

zz^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - bir jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* A + jb + a - jb = 2a

z - z^*A + jb - a + jb =j2b

Sayısal örnekler:

Dikdörtgen şeklinde:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Kutup şeklinde

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

Üstel formda:

Toplama ve çıkarma

Karmaşık sayıların toplanması ve çıkarılması kolaydır - sadece gerçek ve hayali parçaları ayrı ayrı eklememiz gerekir. Örneğin,

z₁ = 3 - 4j ve z₂= 2 + 3j

sonra

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2-4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Açıkçası, bu işlemler için dikdörtgen form kullanmalıyız. Sayılar üstel veya polar biçimde veriliyorsa, daha önce verildiği gibi Euler formülünü kullanarak önce dikdörtgen biçime dönüştürmeliyiz.

Çarpma

Karmaşık sayıları çarpmanın iki yöntemi vardır:

Dikdörtgen formda verilen karmaşık sayıların çarpımı

İşlemi gerçekleştirmek için, bir sayının gerçek ve hayali kısımlarını sırayla diğer sayının gerçek ve hayali kısımlarıyla çarpın ve kimliği kullanın j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Karmaşık sayılar sayısal olarak verildiğinde, yukarıdaki formülü kullanmak gerekmez. Örneğin, bırak

z₁ = 3 - 4j ve z₂= 2 + 3j

Bileşenlerin doğrudan çarpılmasıyla:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6 - 8j +9j + 12 = 18 + j

veya aşağıdaki formülü kullanarak: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Formülü kullanırsanız, bileşenleri doğrudan çarpmak yerine, hata yapma olasılığınızın daha yüksek olduğunu düşünüyoruz.

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python'dan çözüm:
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar

z1=karmaşık('3-4j')
z2=karmaşık('2+3j')
yazdır(“z1*z2=”,z1*z2)

Kutupsal ya da üstel formda verilen karmaşık sayıların çarpımı

Bu işlemi gerçekleştirmek için mutlak değerleri çarpın ve iki karmaşık sayının açısını ekleyin. edelim:

Sonra üstel fonksiyonların çarpım kuralını kullanarak:

veya kutup şeklinde

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Not: Hesaplarken bu kuralı zaten kullandık zz ^*Yukarıda. Konjugatın açısı orijinal açının ters işaretine sahip olduğundan, kendi konjugatı ile çarpılan karmaşık bir sayı her zaman gerçek bir sayıdır; yani mutlak değerinin karesi: zz ^*= r²

Örneğin, şunu yapalım:

z₁ = 5 ∠ 30 ° ve z₂ = 4 ∠ -60 °

sonra

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

veya üstel biçimde

Çarpma açıkça sayılar kutupsal ya da üstel formdayken basittir.

Ancak, karmaşık sayılar dikdörtgen biçiminde verilirse, sayıları çarpmadan önce kutupsal forma dönüştürürseniz ek adımlar olduğundan, çarpımı doğrudan yukarıda gösterildiği gibi gerçekleştirmeyi düşünmelisiniz. Dikkate alınması gereken diğer bir faktör, cevapların dikdörtgen veya polar / üstel formda olmasını isteyip istemediğinizdir. Örneğin, iki sayı dikdörtgen biçimdeyse ancak ürünlerini kutup biçiminde istiyorsanız, bunları hemen dönüştürmek ve sonra çoğaltmak mantıklıdır.

Bölünme

Karmaşık sayıları bölmek için iki yöntem vardır:

Dikdörtgen formda verilen kompleks sayıların bölünmesi

İşlemi gerçekleştirmek için pay ve paydayı payda eşleniği ile çarpın. Payda gerçek bir sayı olur ve bölüm iki karmaşık sayının çarpımına ve paydanın mutlak değerinin karesi olan gerçek bir sayıya bölünür.

Mesela:

z₁ = 3 - 4j ve z₂= 2 + 3j

Bu sonucu TINA'nın Tercümanı ile kontrol edelim:

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python'dan çözüm:
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar

z1=karmaşık('3-4j')
z2=karmaşık('2+3j')
yazdır(“z1/z2=”,z1/z2)

Polar veya üstel formda verilen kompleks sayıların bölünmesi

İşlemi gerçekleştirmek için mutlak değerleri (büyüklükler) bölün ve paydanın açısını pay açısından çıkarın. edelim:

üstel fonksiyonların bölünme kuralını kullanarak

veya kutup şeklinde

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Örneğin, şunu yapalım:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° ve z ₂ = 2 ∠ -60 °

sonra

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

veya üstel ve dikdörtgen formlarda

Bu sonucu TINA'nın Tercümanı ile kontrol edelim:

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python'dan çözüm:
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar

z1=5*(c.ifade(karmaşık(0,m.radyan(30))))
z2=2*(c.ifade(karmaşık(0,m.radyan(-60))))
yazdır(“z1/z2=”,z1/z2)

Sayılar kutupsal veya üstel formda olduğunda bölüm açıkça daha basittir.

Bununla birlikte, karmaşık sayılar dikdörtgen biçiminde verilmişse, bölünmeleri yukarıda gösterildiği gibi doğrudan karmaşık eşlenik yöntemini kullanarak gerçekleştirmeyi düşünmelisiniz, çünkü sayıları bölmeden önce kutupsal forma dönüştürürseniz ek adımlar vardır. Dikkate alınması gereken diğer bir faktör, cevapların dikdörtgen veya polar / üstel formda olmasını isteyip istemediğinizdir. Örneğin, iki sayı dikdörtgen biçimdeyse, ancak bölümlerini kutup biçiminde istiyorsanız, bunları hemen dönüştürmek ve sonra bölmek mantıklıdır.

Şimdi karmaşık sayıların kullanımını daha sayısal problemlerle açıklayalım. Her zaman olduğu gibi, çözümlerimizi TINA'nın Tercüman kullanarak kontrol edeceğiz. Tercüman radyanlarla çalışır, ancak radyanların derecelere veya tam tersine dönüştürülmesi için standart işlevlere sahiptir.

Örnek 1 Kutupsal gösterimi bulun:

z = 12 - j 48

veya 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
ark (z) = [- 1.3258]
radtodeg (ark (Z)) = [- 75.9638]

#Python'dan çözüm:
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar

z=12-karmaşık(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“yay(z)=”,c.faz(z))
print(“derece(yay(z))=”,m.derece(c.faz(z)))

Örnek 2 Dikdörtgen gösterimi bulun:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python'dan çözüm:
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar

z=25*c.exp(karmaşık(0,m.radyan(125)))
yazdır(“z=”,z)
print(“gerçek(z)=”,z.gerçek)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Örnek 3 Aşağıdaki karmaşık sayıların kutup gösterimini bulun:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Dört sayının da mutlak değerleri aynıdır çünkü mutlak değer işaretlerden bağımsızdır. Sadece açılar farklıdır.

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
ark (z1) = [1.3258]
radtodeg (ark (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
ark (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (ark (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
ark (z3) = [1.8158]
radtodeg (ark (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
ark (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (ark (z4)) = [- 104.0362]

#Python'dan çözüm:
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar

z1=karmaşık('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“yay(z1)=”,c.faz(z1))
print(“derece(yay(z1))=”,m.derece(c.faz(z1)))

z2=karmaşık('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“yay(z2)=”,c.faz(z2))
print(“derece(yay(z2))=”,m.derece(c.faz(z2)))

z3=karmaşık('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“yay(z3)=”,c.faz(z3))
print(“derece(yay(z3))=”,m.derece(c.faz(z3)))

z4=karmaşık('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“yay(z4)=”,c.faz(z4))
print(“derece(yay(z4))=”,m.derece(c.faz(z4)))

TINA'nın arc () işlevi, herhangi bir karmaşık sayının açısını belirler ve dört kadrandan birine otomatik olarak doğru yerleştirir.

Ancak bronzluğu kullanırken dikkatli olun^-1 sadece birinci ve dördüncü çeyreklerdeki açıları döndürmekle sınırlı olduğundan açıyı bulma işlevi (–90 °φ<90 °).

Dan beri z₁koordinat sisteminin ilk çeyreğinde bulunur, hesaplama:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Dan beri z₄koordinat sisteminin üçüncü çeyreğinde bulunur, tan^-1açıyı doğru döndürmez. Açı hesaplama:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° veya -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, TINA tarafından hesaplananla aynıdır.

z₂koordinat sisteminin dördüncü çeyreğinde bulunur. Açı hesaplaması şöyledir:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,ancak, koordinat sisteminin 2nd kadranında, yani^-1açıyı doğru döndürmez. Açı hesaplama:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Örnek 4 İki karmaşık sayımız var: z₁= 4 - j 6 ve z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

bulmak z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Öncelikle problemi TINA'nın Tercümanını kullanarak çözüyoruz.

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

TINA'nın farklı biçimlerde verilen iki karmaşık sayıyı zahmetsizce nasıl kullandığına dikkat edin.

Çözüm, tercüman olmadan daha karmaşıktır. Böylece farklı çarpma ve bölme yöntemlerini karşılaştırabiliriz, önce kutup biçimini z₁ ve dikdörtgen biçiminde z₂.