KIRCHHOFF'UN AC DEVRELERİNDE YASALARI

TINACloud'u çağırmak için aşağıdaki Örnek devrelerine tıklayın veya dokunun ve Çevrimiçi Analiz etmek için Etkileşimli DC modunu seçin.
Örnekleri düzenlemek veya kendi devrelerinizi oluşturmak için TINACloud'a düşük maliyetli bir erişim elde edin

THÉVENIN VE KUZEY EŞİTLİ DEVRELER

AC DEVRELERDE NODE POTANSİYEL VE MESHİR GÜNCEL YÖNTEMİ

Daha önce gördüğümüz gibi, sinüzoidal uyarma ile devreler kullanılarak çözülebilir karmaşık empedanslar elemanlar için ve karmaşık tepe or karmaşık rms değerleri akımlar ve gerilimler için. Kirchhoff yasalarının karmaşık değerler versiyonunu kullanarak, düğüm ve ağ analiz teknikleri, AC devrelerini DC devrelerine benzer bir şekilde çözmek için kullanılabilir. Bu bölümde bunu Kirchhoff yasalarından örneklerle göstereceğiz.

Örnek 1

Akım i genliği ve faz açısını bulma_vs(T) if
v_S(t) = V_SM çünkü 2pft; i (t) = I_SM çünkü 2pft; V_SM = 10 V; ben_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 ohm; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

Çevrimiçi analiz etmek için yukarıdaki devreye tıklayın / dokunun veya Windows altında Kaydet'e tıklayarak bu bağlantıya tıklayın.

Toplamda 10 bilinmeyen voltaj ve akımımız var: i, i_C1Ben_RBen_LBen_C2içinde_C1içinde_Riçinde_Liçinde_C2 ve v_IS. (Gerilim ve akımlar için karmaşık pik veya rms değerleri kullanırsak, toplam 20 gerçek denklemimiz var!)

Denklemler:

Loop veya mesh denklemleri: için M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_öğreti = 0

Ohm kanunları V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

N için düğüm denklemi₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

seri elemanları için I = I_C1M

Denklem sistemini çözerek bilinmeyen akımı bulabilirsiniz:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) Bir

Böylesine büyük bir karmaşık denklem sistemini çözmek çok karmaşıktır, bu nedenle ayrıntılı olarak göstermedik. Her karmaşık denklem iki gerçek denkleme yol açar, bu nedenle çözümü yalnızca TINA'nın Tercümanı ile hesaplanan değerlerle gösteririz.

TINA'nın Tercümanını kullanan çözüm:

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Mi: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
VR=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{Ohm kuralları}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * ir
VL * IL j * om * L =
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
sonunda;
Ivs = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (TVS) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * ark (TVS) / pi
fiIvs = [79.9613]

#Python'dan Çözüm
sympy'yi s olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=20000*c.pi
vs=10
=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
yazdır(Ivs)
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.faz(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.faz(Ivs)/c.pi))

TINA kullanarak çözüm:

Çevrimiçi analiz etmek için yukarıdaki devreye tıklayın / dokunun veya Windows altında Kaydet'e tıklayarak bu bağlantıya tıklayın.

Bu sorunu elle çözmek için karmaşık empedanslarla çalışın. Örneğin, R, L ve C₂ paralel bağlandığından, paralel eşdeğerlerini hesaplayarak devreyi basitleştirebilirsiniz. || empedansların paralel eşdeğeri anlamına gelir:

sayısal:

Çevrimiçi analiz etmek için yukarıdaki devreye tıklayın / dokunun veya Windows altında Kaydet'e tıklayarak bu bağlantıya tıklayın.

Empedans kullanılarak basitleştirilmiş devre:

Sıralı formdaki denklemler: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Dört bilinmeyen vardır- I; I_Z; V_C1; V_Z - ve dört denklemimiz var, bu yüzden bir çözüm mümkün.

Ekspres I Diğer bilinmeyenleri denklemlerden aldıktan sonra:

sayıca

Çevrimiçi analiz etmek için yukarıdaki devreye tıklayın / dokunun veya Windows altında Kaydet'e tıklayarak bu bağlantıya tıklayın.

TINA'nın Tercümanı'nın sonucuna göre.

{Z empedansını kullanarak çözüm}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Mi: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys ben
I = J * om * C1 * (vs-Z *, (I) +)
sonunda;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) '= [1.8089]
180 * ark (I) / pi = [79.9613]

#Python'dan Çözüm
sympy'yi s olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar
Çarpma= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
vs=10
=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is))I),]
I=[demetteki Z için karmaşık(Z)(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=”,cp(I))
print(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.faz(I)/c.pi=”,cp(180*c.faz(I)/c.pi))

Akımın zaman fonksiyonu şöyledir:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) Bir

Fazör diyagramlarını kullanarak Kirchhoff'un mevcut kuralını kontrol edebilirsiniz. Aşağıdaki resim, i'deki düğüm denklemi kontrol edilerek geliştirilmiştir._Z = i + i_G1form. İlk diyagram paralelkenar kuralı tarafından eklenen fazörleri, ikincisi fazör ilavesinin üçgen kuralını gösterir.

Şimdi TINA'nın fazör diyagram özelliğini kullanarak KVR'yi gösterelim. Denklemde kaynak voltajı negatif olduğu için voltmetreyi "geriye doğru" bağladık. Fazör diyagramı, Kirchhoff'un voltaj kuralının orijinal şeklini gösterir.

Çevrimiçi analiz etmek için yukarıdaki devreye tıklayın / dokunun veya Windows altında Kaydet'e tıklayarak bu bağlantıya tıklayın.

İlk fazör diyagramı paralelkenar kuralını, ikincisi üçgen kuralını kullanır.

KVR'yi V formunda göstermek için_C1 + V_Z - V_S = 0, voltmetreyi tekrar voltaj kaynağına geri bağladık. Fazör üçgenin kapalı olduğunu görebilirsiniz.

TINA'nın, sinüs veya kosinüs işlevini temel işlev olarak kullanmanıza izin verdiğini unutmayın. Seçilen işleve bağlı olarak, fazör diyagramlarında görülen karmaşık genlikler 90º farklılık gösterebilir. Baz işlevi 'Görünüm' 'Seçenekler' 'AC için Baz işlevi' altında ayarlayabilirsiniz. Örneklerimizde her zaman kosinüs fonksiyonunu baz olarak kullandık.

Örnek 2

Aşağıdaki durumlarda tüm bileşenlerin voltaj ve akımlarını bulun:

v_S(t) = 10 cos wtelevizyon, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.

Çevrimiçi analiz etmek için yukarıdaki devreye tıklayın / dokunun veya Windows altında Kaydet'e tıklayarak bu bağlantıya tıklayın.

Bilinmeyenler, 'pasif' elemanların gerilim ve akımlarının karmaşık tepe değerleri ve gerilim kaynağının akımının (i_VS) ve akım kaynağının voltajı (v_IS). Toplamda, on iki karmaşık bilinmeyen var. Üç bağımsız düğümümüz, dört bağımsız döngü var (M olarak işaretlenmiş)_I) ve beş "Ohm yasası" ile karakterize edilebilen beş pasif öğe - toplamda 3 + 4 + 5 = 12 denklem vardır:

Düğüm denklemleri N için₁ I_VSM = Ben_R1M + I_C2M

N için₂ I_R1M = Ben_LM + I_C1M

N için₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = Ben_R2M

Döngü denklemleri form₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

form₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

form₃ V_LM = V_C1M

form₄ V_R2M = V_öğreti

Ohm kanunları V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

Herhangi bir karmaşık denklemin iki gerçek denkleme yol açabileceğini unutmayın, bu nedenle Kirchhoff'un yöntemi birçok hesaplama gerektirir. Gerilim ve akımların zaman fonksiyonlarını bir diferansiyel denklem sistemi kullanarak çözmek çok daha kolaydır (burada tartışılmamıştır). İlk önce TINA'nın Tercümanı tarafından hesaplanan sonuçları gösteriyoruz:

{TINA's Interpreter tarafından sunulan çözüm}
f = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
sonunda;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (VI) = [39.0965m]
abs (IVS) = [3.0697m]
180 + radtodeg (yay (IVS)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (ark (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (ark (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (ark (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (ark (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (ark (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (ark (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (ark (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (ark (II)) = [- 24.8908]
radtodeg (ark (VI)) = [65.1092]

#Python'dan Çözüm
sympy'yi s olarak içe aktar
matematiği m olarak içe aktar
cmath'ı c olarak içe aktar
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
f = 10000
vs=10
S=0.005*c.ifade(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+degrees(faz(ivs))=”,cp(180+m.degrees(c.faz(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“derece(faz(vis))=”,cp(m.degrees(c.faz(vis))))
print(“derece(faz(vr1))=”,cp(m.degrees(c.faz(vr1))))
print(“derece(faz(vr2))=”,cp(m.degrees(c.faz(vr2))))
print(“derece(faz(ic1))=”,cp(m.degrees(c.faz(ic1))))
print(“derece(faz(ic2))=”,cp(m.degrees(c.faz(ic2))))
print(“derece(faz(vc2))=”,cp(m.degrees(c.faz(vc2))))
print(“derece(faz(vc1))=”,cp(m.degrees(c.faz(vc1))))
print(“derece(faz(iL))=”,cp(m.degrees(c.faz(iL))))
print(“derece(faz(vL))=”,cp(m.degrees(c.faz(vL))))

Şimdi ikame kullanarak denklemleri elle basitleştirmeye çalışın. İlk yedek denklem 9. eq 5'e.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2hazırlanması a.)

sonra eq.8 ve eq.9. eq 5 içine.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b.)

sonra eşdeğer 12., eşdeğer. 10. ve ben_Leq. 2, eq.6 içine.

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (I_R1 - BEN_C1) = jwLI_R1 - jwLjwC₁ V_C1