Суперпозиція в ланцюгах змінного струму

Натисніть або торкніться прикладної схеми нижче, щоб викликати TINACloud і вибрати режим інтерактивного постійного струму для аналізу в Інтернеті.
Отримайте низький доступ до TINACloud для редагування прикладів або створення власних схем

НАПРЯМУВАННЯ ТА СУЧАСНИЙ РОЗДІЛ

ТЕВЕНІНСЬКІ ТА НОРТОННІ ЕКВІВАЛЕНТНІ КРУГИ

Ми вже вивчили теорему суперпозиції для ланцюгів постійного струму. У цій главі ми покажемо його застосування для ланцюгів змінного струму.

Командатеорема про суперпозицію стверджує, що в лінійній схемі з декількома джерелами струм і напруга для будь-якого елемента ланцюга - це сума струмів і напруг, вироблених кожним джерелом, що діє незалежно. Теорема справедлива для будь-якого лінійного кола. Найкращим способом використання суперпозиції з ланцюгами змінного струму є обчислення складного ефективного або пікового значення внеску кожного джерела, застосованого по одному, а потім додавання складних значень. Це набагато простіше, ніж використання суперпозиції з функціями часу, де потрібно додати окремі функції часу.

Щоб самостійно обчислити внесок кожного джерела, всі інші джерела необхідно видалити та замінити, не впливаючи на кінцевий результат.

При видаленні джерела напруги його напруга має бути встановлено на нуль, що еквівалентно заміні джерела напруги на коротке замикання.

При видаленні джерела струму його струм повинен бути встановлений нулем, що еквівалентно заміні джерела струму відкритим контуром.

Тепер розберемо приклад.

У схемі, показаній нижче

R_i = 100 ом, R₁= 20 ом, R₂ = 12 ом, L = 10 uH, C = 0.3 nF, v_S(t) = 50cos (wт) V, я_S(t) = 1cos (wt + 30 °) A, f = 400 кГц.

Зауважте, що обидва джерела мають однакову частоту: ми будемо працювати в цій главі лише з джерелами, які мають однакову частоту. В іншому випадку з суперпозицією слід поводитися по-різному.

Знайти струми i (t) і i₁(t) з використанням теореми про суперпозицію.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Давайте використовувати TINA та обчислення вручну паралельно для вирішення проблеми.

Спочатку замініть відкрите ланцюг на джерело струму і обчисліть складні фазори I ', I1 ′ за рахунок внеску тільки від VS.

Струми в цьому випадку рівні:

I'= I₁'= V_S/ (R_i + R₁ + j* w* L) = 50 / (120+j2* p* * 4 10⁵* 10^-5) = 0.3992-j0.0836

I'= 0.408 е^j^11.83^°A

Далі замініть коротке замикання на джерело напруги і обчисліть складні фазори I ”, I1” за рахунок внеску тільки від IS.

У цьому випадку ми можемо використовувати формулу поточного поділу:

Я ”= -0.091 - j 0.246

та

I₁^" = 0.7749 + j 0.2545

Сума двох кроків:

I = I'+ I"= 0.3082 - j 0.3286 = 0.451 e^{- j46.9} ^°A

I₁ = I₁^" + I₁'= 1.174 + j 0.1709 = 1.1865 e^j^8.28 ^°A

Ці результати добре відповідають значенням, обчисленим TINA:

Функції часу струмів:

i (t) = 0.451 cos ( w × t - 46.9 ° )A

i₁(t) = 1.1865 cos ( w × t + 8.3 ° )A

Аналогічно, результати, надані Інтерпретатором TINA, також погоджуються:

{Рішення перекладача TINA}
f: = 400000;
Vs: = 50;
IG: = 1 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys I, I1
I + IG = I1
Vs = I * Ri + I1 * (R1 + j * om * L)
end;
I = [308.093m-329.2401m * j]
abs (I) = [450.9106m]
radtodeg (arc (I)) = [- 46.9004]
abs (I1) = [1.1865]
radtodeg (arc (I1)) = [8.2749]

#Рішення від Python!
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c
#Давайте спростимо друк складних
#цифри для більшої прозорості:
cp= лямбда Z : “{:.4f}”.format(Z)
f = 400000
Vs=50
IG=1*c.exp(complex(1j)*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
#У нас є [лінійна система] рівнянь
#що ми хочемо вирішити для I, I1:
#I+IG=I1
#Vs=I*Ri+I1*(R1+j*om*L)
імпортувати numpy як n
#Складіть матрицю коефіцієнтів:
A=n.array([[-1,1],[Ri,complex(R1+1j*om*L)]])
#Складіть матрицю констант:
b=n.array([IG,Vs])
x=n.linalg.solve(A,b)
I,I1=x
print(“I=”,cp(I))
print(“abs(I)= %.4f”%abs(I))
print(“degrees(arc(I))= %.4f”%m.degrees(c.phase(I)))
print(“abs(I1)= %.4f”%abs(I1))
print(“degrees(arc(I1))= %.4f”%m.degrees(c.phase(I1)))

Як ми говорили в розділі DC про суперпозицію, вона стає досить складною за допомогою теореми про суперпозицію для схем, що містять більше двох джерел. Хоча теорема про суперпозицію може бути корисною для вирішення простих практичних задач, її основне використання полягає в теорії аналізу ланцюга, де вона використовується при доведенні інших теорем.

НАПРЯМУВАННЯ ТА СУЧАСНИЙ РОЗДІЛ

ТЕВЕНІНСЬКІ ТА НОРТОННІ ЕКВІВАЛЕНТНІ КРУГИ