SỐ PHỨC

Nhấp hoặc Chạm vào các mạch Ví dụ bên dưới để gọi TINACloud và chọn chế độ DC tương tác để Phân tích chúng trực tuyến.
Có quyền truy cập chi phí thấp vào TINACloud để chỉnh sửa các ví dụ hoặc tạo các mạch của riêng bạn

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆN TẠI VÀ HẤP DẪN

NGUYÊN TẮC THAY ĐỔI HIỆN TẠI

Trong chương này và các chương sau, chúng tôi sẽ trình bày một chủ đề rất quan trọng: AC, hoặc dòng điện xoay chiều. Tên dòng điện xoay chiều không chính xác và thường bao gồm các mạch có điện áp và dòng điện hình sin; tuy nhiên, dòng điện xoay chiều cũng có thể có nghĩa là bất kỳ dạng sóng hiện tại tùy ý. Tầm quan trọng của điện áp xoay chiều là loại điện áp này được sử dụng cho nguồn điện chính trong gia đình và công nghiệp trên toàn thế giới. Nó cũng là cơ sở cho nhiều ứng dụng điện tử, viễn thông và công nghiệp.

Để xử lý các dạng sóng hình sin và các mạch liên quan đến chúng, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp đơn giản và thanh lịch gọi là phương pháp pha. Phasors dựa trên tính chất của số phức, lý tưởng cho việc đại diện cho số lượng hình sin. Trong chương này, chúng tôi sẽ tóm tắt các sự kiện chính về số phức và hoạt động của chúng. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra cách Thông dịch viên của TINA giúp dễ dàng thực hiện các phép tính với số phức.

Số phức gồm hai phần, một phần thực (x), đó là một số thực, và cái gọi là phần tưởng tượng (y), là số thực nhân với , đơn vị tưởng tượng. Số phức z, do đó, có thể được mô tả như sau:

z = x + jy

Ở đâu .

Ví dụ về số phức:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Số phức ban đầu được giới thiệu vào thế kỷ XVII để thể hiện gốc rễ của đa thức không thể biểu thị bằng số thực. Ví dụ, gốc của phương trình x²+ 2x + 2 = 0 chỉ có thể được mô tả là và hoặc sử dụng ký hiệu , z₁= 1 + j và z₂= 1- j. Sử dụng ký hiệu mới để điều tra các tính chất của biểu thức, các nhà toán học đã có thể chứng minh các định lý và giải các bài toán mà cho đến lúc đó rất khó nếu không thể giải được. Điều này dẫn đến việc xây dựng các đại số phức tạp và các hàm phức tạp, hiện đang được sử dụng rộng rãi trong toán học và kỹ thuật.

Biểu diễn hình học của số phức

Hình chữ nhật

Vì một số phức luôn có thể được tách thành các phần thực và phức của nó, chúng ta có thể biểu diễn một số phức dưới dạng một điểm trên mặt phẳng hai chiều. Phần thực của một số phức là hình chiếu của điểm lên trục thực và phần ảo của số đó là hình chiếu lên trục ảo. Khi một số phức được biểu diễn dưới dạng tổng của phần thực và phần ảo, chúng ta nói nó nằm trong hình chữ nhật or dạng đại số.

Hình dưới đây cho thấy số phức z = 2 + 4j

Dạng cực và hàm mũ

Như bạn có thể thấy trong hình trên, điểm A cũng có thể được biểu thị bằng chiều dài của mũi tên, r (còn được gọi là giá trị tuyệt đối, cường độ hoặc biên độ) và góc của nó (hoặc pha), φ tương đối theo hướng ngược chiều kim đồng hồ với trục ngang dương. Đây là cực dạng của một số phức. Nó được ký hiệu là r ∠ φ.

Bước tiếp theo là rất quan trọng. Một số phức ở dạng cực cũng có thể được viết bằng số mũ hình thức:

Biểu thức đơn giản này đặc biệt ở chỗ nó có một số ảo theo số mũ thay vì số thực thông thường. Hàm số mũ phức tạp này hoạt động rất khác với hàm số mũ với một đối số thực. Trong khi e^x tăng nhanh về độ lớn khi tăng x> 0 và giảm khi x <0, hàm có cùng độ lớn (z = 1) với mọi φ. Hơn nữa, các giá trị phức tạp của nó nằm trên vòng tròn đơn vị.

Công thức của Euler cung cấp một liên kết thống nhất giữa các dạng số phức hình chữ nhật, cực và hàm mũ của các số phức:

z = x + jy = tái ^jφ = r (cos φ + j tội φ )

Ở đâu

và φ = tan^-1(y / x).

Ví dụ của chúng tôi ở trên, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

vì thế .

Hoặc ngược lại:

Bạn sẽ cần phải thành thạo trong việc sử dụng cả hai hình thức, tùy thuộc vào ứng dụng. Ví dụ, phép cộng hoặc phép trừ rõ ràng dễ thực hiện hơn khi các số ở dạng hình chữ nhật, trong khi phép nhân và phép chia dễ thực hiện hơn khi các số ở dạng số mũ.

Hoạt động với số phức

Các hoạt động có thể được thực hiện với số phức tương tự như các thao tác cho số thực. Các quy tắc và một số định nghĩa mới được tóm tắt dưới đây.

Hoạt động với j

Các hoạt động với j chỉ cần làm theo định nghĩa của đơn vị tưởng tượng,

Để có thể làm việc nhanh và chính xác, bạn nên ghi nhớ các quy tắc sau:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Bằng chứng:

j² = -1 chỉ đơn giản là theo định nghĩa của , vì

Dành cho 1 /j, chúng tôi nhân bội 1 /jby j / j = 1 và nhận j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Liên hợp phức tạp

Liên hợp phức của một số phức dễ dàng dẫn xuất và khá quan trọng. Để có được liên hợp phức của một số phức ở dạng hình chữ nhật, chỉ cần thay đổi dấu của phần ảo. Để làm như vậy đối với một số ở dạng số mũ, hãy thay đổi dấu của góc của số phức trong khi vẫn giữ nguyên giá trị tuyệt đối của nó.

Liên hợp phức của một số phức z thường được ký hiệu là z^*.

Cho số phức z= a + jb, liên hợp phức tạp của nó là z^*= một người khác jb.

If z được đưa ra ở dạng số mũ, , liên hợp phức tạp của nó là

Sử dụng các định nghĩa ở trên, dễ dàng thấy rằng một số phức nhân với số liên hợp phức của nó sẽ cho bình phương giá trị tuyệt đối của số phức:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Ngoài ra, bằng cách thêm hoặc trừ bất kỳ số phức nào và liên hợp của nó, chúng ta có được các mối quan hệ sau:

z + z ^* = 2a

vì thế

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Tương tự:

z – z ^* =j2b

vì thế

Tôi (z= b = ( z –z ^* ) / 2j

Bằng chứng:

hoặc nhân các phần thực và ảo và sử dụng j²= -1

zz^* = (a + jba - jb) = a²+a jba jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Ví dụ số:

Ở dạng hình chữ nhật:

z = 3 + j4

z^* = 3 j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Ở dạng cực

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Ở dạng số mũ:

Cộng và trừ

Phép cộng và phép trừ các số phức là đơn giản, chúng ta chỉ cần thêm các phần thực và phần ảo một cách riêng biệt. Ví dụ, nếu

z₁ = 3 - 4j và z₂= 2 + 3j

sau đó

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ – z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Rõ ràng, chúng ta nên sử dụng dạng hình chữ nhật cho các hoạt động này. Nếu các số được đưa ra ở dạng hàm mũ hoặc cực, chúng ta nên chuyển đổi chúng trước thành dạng hình chữ nhật bằng công thức Euler, như được đưa ra trước đó.

Phép nhân

Có hai phương pháp để nhân các số phức–

Phép nhân số phức được cho dưới dạng hình chữ nhật

Để thực hiện thao tác, chỉ cần nhân các phần thực và phần ảo của một số lần lượt với phần thực và phần ảo của số khác và sử dụng danh tính j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (một₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Khi các số phức được đưa ra bằng số, không cần thiết phải sử dụng công thức trên. Ví dụ: để

z₁ = 3 - 4j và z₂= 2 + 3j

Với phép nhân trực tiếp của các thành phần:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

hoặc sử dụng công thức: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Chúng tôi nghĩ rằng bạn có nhiều khả năng gây ra lỗi nếu bạn sử dụng công thức hơn là nếu bạn nhân các thành phần trực tiếp.

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Giải pháp của Python:
nhập toán dưới dạng m
nhập cmath dưới dạng c

z1=phức hợp('3-4j')
z2=phức tạp('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Phép nhân số phức được cho ở dạng cực hoặc hàm mũ

Để thực hiện thao tác này, nhân các giá trị tuyệt đối và thêm các góc của hai số phức. Để cho:

Sau đó, sử dụng quy tắc nhân của hàm số mũ:

hoặc ở dạng cực

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+₂

Lưu ý: Chúng tôi đã sử dụng quy tắc này khi tính toán zz ^*ở trên. Do góc của liên hợp có dấu ngược lại với góc ban đầu, nên một số phức nhân với liên hợp riêng của nó luôn luôn là một số thực; cụ thể là bình phương giá trị tuyệt đối của nó: zz ^*= r²

Ví dụ: hãy:

z₁ = 5 ∠ 30 ° và z₂ = 4 ∠ -60 °

sau đó

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

hoặc ở dạng số mũ

Phép nhân rõ ràng là đơn giản hơn khi các số ở dạng cực hoặc hàm mũ.

Tuy nhiên, nếu các số phức được đưa ra ở dạng hình chữ nhật, bạn nên xem xét thực hiện phép nhân trực tiếp như hình trên, vì có các bước bổ sung nếu bạn chuyển đổi số thành dạng cực trước khi nhân chúng. Một yếu tố khác cần xem xét là liệu bạn muốn câu trả lời ở dạng hình chữ nhật hay ở dạng cực / hàm mũ. Ví dụ: nếu hai số ở dạng hình chữ nhật nhưng bạn muốn sản phẩm của chúng ở dạng cực, việc chuyển đổi chúng ngay lập tức và sau đó nhân chúng là điều hợp lý.

Phòng

Có hai phương pháp để chia số phức–

Phân chia số phức được cho dưới dạng hình chữ nhật

Để thực hiện thao tác, nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số. Mẫu số trở thành một số thực và phép chia được giảm thành phép nhân của hai số phức và phép chia cho một số thực, bình phương của giá trị tuyệt đối của mẫu số.

Ví dụ: hãy:

z₁ = 3 - 4j và z₂= 2 + 3j

Hãy kiểm tra kết quả này với Thông dịch viên của TINA:

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Giải pháp của Python:
nhập toán dưới dạng m
nhập cmath dưới dạng c

z1=phức hợp('3-4j')
z2=phức tạp('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Phân chia số phức được cho ở dạng cực hoặc hàm mũ

Để thực hiện thao tác, chia các giá trị tuyệt đối (độ lớn) và trừ góc của mẫu số từ góc của tử số. Để cho:

sau đó sử dụng quy tắc phân chia hàm số mũ

hoặc ở dạng cực

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁– φ ₂

Ví dụ: hãy:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° và z ₂ = 2 ∠ -60 °

sau đó

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

hoặc ở dạng số mũ và hình chữ nhật

Hãy kiểm tra kết quả này với Thông dịch viên của TINA:

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Giải pháp của Python:
nhập toán dưới dạng m
nhập cmath dưới dạng c

z1=5*(c.exp(phức tạp(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(phức tạp(0,m.radians(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Việc phân chia rõ ràng đơn giản hơn khi các số ở dạng cực hoặc hàm mũ.

Tuy nhiên, nếu các số phức được đưa ra ở dạng hình chữ nhật, bạn nên xem xét thực hiện phép chia trực tiếp bằng phương pháp liên hợp phức như hình trên, vì có các bước bổ sung nếu bạn chuyển đổi số thành dạng cực trước khi chia chúng. Một yếu tố khác cần xem xét là liệu bạn muốn câu trả lời ở dạng hình chữ nhật hay ở dạng cực / hàm mũ. Ví dụ: nếu hai số ở dạng hình chữ nhật, nhưng bạn muốn thương số của chúng ở dạng cực, sẽ hợp lý khi chuyển đổi chúng ngay lập tức và sau đó chia chúng.

Bây giờ chúng ta hãy minh họa việc sử dụng các số phức bằng các bài toán số nhiều hơn. Như thường lệ, chúng tôi sẽ kiểm tra các giải pháp của mình bằng Thông dịch viên của TINA. Trình thông dịch làm việc với radian, nhưng nó có các chức năng tiêu chuẩn để chuyển đổi radian sang độ hoặc ngược lại.

Ví dụ 1 Tìm biểu diễn cực:

z = 12 - j 48

hoặc 49.48 ∠ - 75.96 °

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
cung (z) = [- 1.3258]
radtodeg (cung (z)) = [- 75.9638]

#Giải pháp của Python:
nhập toán dưới dạng m
nhập cmath dưới dạng c

z=12-phức(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“độ(arc(z))=”,m.degrees(c.phase(z)))

Ví dụ 2 Tìm biểu diễn hình chữ nhật:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Giải pháp của Python:
nhập toán dưới dạng m
nhập cmath dưới dạng c

z=25*c.exp(phức tạp(0,m.radians(125)))
in(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Ví dụ 3 Tìm biểu diễn cực của các số phức sau:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Các giá trị tuyệt đối của cả bốn số đều giống nhau vì giá trị tuyệt đối không phụ thuộc vào các dấu hiệu. Chỉ có các góc là khác nhau.

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
cung (z1) = [1.3258]
radtodeg (cung (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
cung (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (cung (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
cung (z3) = [1.8158]
radtodeg (cung (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
cung (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (cung (z4)) = [- 104.0362]

#Giải pháp của Python:
nhập toán dưới dạng m
nhập cmath dưới dạng c

z1=phức hợp('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“độ(arc(z1))=”,m.degrees(c.phase(z1)))

z2=phức hợp('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“độ(arc(z2))=”,m.degrees(c.phase(z2)))

z3=phức tạp('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“độ(arc(z3))=”,m.degrees(c.phase(z3)))

z4=phức hợp('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“độ(arc(z4))=”,m.degrees(c.phase(z4)))

Hàm arc () của TINA xác định góc của bất kỳ số phức nào, tự động đặt chính xác vào một trong bốn góc phần tư.

Hãy cẩn thận, tuy nhiên, sử dụng tan^-1 chức năng tìm góc, vì nó bị hạn chế chỉ trả về góc trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư (–90 °φ<90 °).

từ z₁được đặt trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, phép tính là:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

từ z₄Nằm ở góc phần tư thứ ba của hệ tọa độ, tan^-1không trả lại góc chính xác. Tính toán góc là:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° hoặc -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, giống như tính toán của TINA.

z₂nằm trong góc phần tư thứ tư của hệ tọa độ Tính toán góc là:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,tuy nhiên, nằm trong góc phần tư 2nd của hệ tọa độ, nên tan^-1không trả lại góc chính xác. Tính toán góc là:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Ví dụ 4 Chúng tôi có hai số phức: z₁= 4 - j 6 và z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Tìm kiếm z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ – z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Trước tiên, chúng tôi giải quyết vấn đề bằng Thông dịch viên của TINA

{Giải pháp của Người phiên dịch của TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Lưu ý cách TINA dễ dàng xử lý hai số phức được đưa ra dưới các hình thức khác nhau.

Giải pháp phức tạp hơn nếu không có người phiên dịch. Để chúng ta có thể so sánh các phương pháp nhân và chia khác nhau, trước tiên chúng ta sẽ xác định dạng cực của z₁ và dạng hình chữ nhật của z₂.