复数

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在本章和后面的章节中,我们将提出一个非常重要的主题:AC或交流电。 名称交流电流不是很精确,通常包括具有正弦电压和电流的电路; 然而,交流电也可以表示任意电流波形。 交流电压的重要性在于这种电压被用于全世界家庭和工业中的主要电源。 它也是许多电子,电信和工业应用的基础。

为了处理正弦波形和与它们相关的电路,我们将使用称为相量法的简单而优雅的方法。 相量基于复数的属性,这是表示正弦量的理想选择。 在本章中,我们将总结有关复数及其运算的主要事实。 我们还将展示TINA的Interpreter如何使用复数进行计算变得容易。

复数由两部分组成,a 实部(x), 这是一个真实的数字,所谓的 想象的部分 (y),这是一个实数乘以 , 想象的单位。 复数 z因此,可以描述为:

z = x + jy

哪里 .

复数的例子:

z 1 = 1 + j

z 2 = 4-2 j

z 3 = 3- 5j

复数最初是在XNUMX世纪引入的,用于表示多项式的根,而多项式不能仅用实数来表示。 例如,等式x的根2 + 2x + 2 = 0只能描述为 ,或使用符号 , z1= 1 + j z2= 1- j. 使用新的符号来研究表达式的性质,数学家能够证明定理并解决直到那时甚至不是很难解决的问题。 这导致了复杂的代数和复杂的函数的细化,这些函数现已广泛用于数学和工程学中。

复数的几何表示

矩形形式

因为复数始终可以分为其实数和复数部分,所以我们可以将复数表示为二维平面上的一个点。 复数的实数部分是点在实轴上的投影,而数字的虚数部分是在虚轴上的投影。 当复数表示为实部和虚部之和时,我们说它是 长方形 or 代数形式.


下图显示了复数 z = 2 + 4j

极性和指数形式

从上图可以看到,点A也可以用箭头的长度表示, r (也称为绝对值,幅度或幅度)及其角度(或相位), φ 相对于正水平轴沿逆时针方向相对。 这是 极性 复数形式。 它表示为r∠ φ.

下一步非常重要。 极地形式的复数也可以写入 指数 形成:

该简单表达式的独特之处在于,它在指数中具有一个虚数而不是通常的实数。 这种复杂的指数行为与带有实参的指数函数非常不同。 当ex 随着x> 0的增加幅度迅速增大,而x <0的减小幅度减小,该函数 任何φ的幅值都相同(z = 1)。 此外,其复数值位于单位圆上。

欧拉公式提供了复数的矩形,极坐标和指数形式之间的统一联系:

z = x + jy = re jφ = r(cos φ + jφ )

哪里

φ =棕褐色-1 (Y / X)。

对于上面的例子, z = 2 + 4j:

φ =棕褐色-1 (4 / 2)= 63.4°

因此 .

或相反亦然:

您将需要熟练使用两种形式,具体取决于应用程序。 例如,当数字为矩形形式时,加法或减法显然更容易实现,而当数字为指数形式时,乘法或除法则更容易实现。

复杂数字的操作

复数可以执行的操作与实数相似。 规则和一些新定义总结如下。

j的操作

与...的操作 j 只需按照虚构单元的定义,

为了能够快速准确地工作,您应该记住这些规则:

j 2 = -1

j 3 =-j

j 4 =1

1/j = –j

证明:

j2 = -1简单地遵循定义 回顾和整理笔记,因为

对于1 /j,我们乘以1 /jby j / j = 1并得到 j/(JJ)= j /(-1)= –j.

复共轭

复数的复共轭很容易导出并且非常重要。 要获得矩形复数的复共轭,只需改变虚部的符号即可。 要对指数形式的数字执行此操作,请更改复数的角度符号,同时保持其绝对值相同。

复数的复共轭 z 通常表示为 z*.

鉴于数字复杂 z= A + jb,它的复共轭是 z*= A- jb.

If z 以指数形式给出, ,它的复共轭是

使用上面的定义,很容易看出复数乘以其复共轭给出复数的绝对值的平方:

Z Z* = r2 = A2 + b2

此外,通过添加或减去任何复数及其共轭,我们得到以下关系:

z + z * = 2a

因此

Re(z)= a =( z + z * )/ 2

同理:

z z * =j2b

因此

IM(z)= b =( z z * )/ 2j

证明:

或者将实部和虚部相乘并使用 j2= -1

Z Z* =(A + jb)(a - jB)=一2+a jb – a jb - jbjb = a2j2 = a2 + b2

z + z* = A + jb + a - jb = 2a

Z Z*= A + jb – a + jb =j2b

数值例子:

矩形:

z = + 3 j4

z* = 3- j4

Z Z * = 9 + 16 = 25

极地形式

z = 5∠53.13°

z * = 5∠-53.13°

以指数形式:

加减

复数的加减法很简单-我们只需要分别将实部和虚部相加即可。 例如,如果

z1 = 3 - 4j z2 = 2 + 3j

然后

z1 + z2 = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 – 4j + 3j = 5 - j

z1 z2 = 3 - 4j -2年-3年j = 3 -2年-4年j - 3j = 1 - j7

显然,对于这些操作,我们应该使用矩形形式。 如果数字是以指数或极坐标形式给出的,我们应该先使用欧拉公式将它们首先转换为矩形形式,如前所述。

乘法

复数乘法有两种方法–

以矩形形式给出的复数的乘法

要执行该运算,只需将一个数字的实部和虚部依次乘以另一个数的实部和虚部,然后使用标识 j2 = -1。

z1z2 =(a1 + jb1) (一个2 + jb2)= a1 a2 + jb1a2+ jb2a1 - b1b2 = A1 a2- b1b2 + j(b1a2+ jb2a1)

当用数字给出复数时,不必使用上面的公式。 例如,让我们

z1 = 3 - 4j z2 = 2 + 3j

通过直接乘法组件:

z1z2 =(3 - 4j)(2 + 3j)= 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

或使用公式: z1z2 = A1 a2- b1b2 + j(b1a2+ B2a1)

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9)= 18 + j

我们认为如果使用公式,则比使用直接乘法组件时更容易出错。

{TINA口译员的解决方案}
z1:= 3-4 *Ĵ
z2:= 2 + 3 *Ĵ
z1 * z2 = [18 + 1 * j]的

以极性或指数形式给出的复数的乘法

要执行此操作,请将绝对值相乘并添加两个复数的角度。 让:

然后使用指数函数的乘法规则:

或以极地形式

z1 z2 = r1 r2 φ1 2

注意:我们在计算时已使用此规则 Z Z *以上。 由于共轭的角度与原始角度的符号相反,因此复数乘以其自身的共轭始终是实数; 即其绝对值的平方: Z Z * = r2

例如,让:

z1 = 5∠30°并且 z2 = 4∠-60°

然后

z1z2 = 20∠-30°

或以指数形式

当数字是极性或指数形式时,乘法显然更简单。

但是,如果复数是以矩形形式给出的,则应考虑如上所示直接执行乘法,因为如果在将数字相乘之前将其转换为极坐标形式,则还有其他步骤。 要考虑的另一个因素是您希望答案是矩形形式还是极地/指数形式。 例如,如果两个数字均为矩形,但您希望它们的乘积为极性形式,则有必要立即将它们转换然后相乘。

复数的除法有两种:

以矩形形式给出的复数除法

要执行该运算,请将分子和分母乘以分母的共轭。 分母变为实数,并且除法被减小为两个复数的乘积,再除以实数,即分母的绝对值的平方。


例如,让:

z1 = 3 - 4j z2 = 2 + 3j

让我们用TINA的口译员检查这个结果:

{TINA口译员的解决方案}
z1:= 3-4 *Ĵ
z2:= 2 + 3 *Ĵ
z1 / z2 = [ - 461.5385m-1.3077 * j]的

以极性或指数形式给出的复数除法

要执行操作,请除以绝对值(幅度)并从分子的角度减去分母的角度。 让:

然后使用指数函数的除法规则

或以极地形式

z 1 / z2 = r1 / r2 φ 1φ 2

例如,让:

z 1 = 5 ∠30°和 z 2 = 2 ∠-60°

然后

z 1 / z2 = 2.5∠90°

或以指数和矩形形式

让我们用TINA的口译员检查这个结果:

{TINA口译员的解决方案}
z1:= 5 * EXP(j * degtorad(30))
z2:= 2 * EXP(j * degtorad(-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]的

当数字为极数或指数形式时,除法显然更简单。

但是,如果复数是以矩形形式给出的,则应考虑如上所述使用复共轭方法直接执行除法,因为如果在将数字进行除法之前将其转换为极坐标形式,则还有其他步骤。 要考虑的另一个因素是您希望答案是矩形形式还是极地/指数形式。 例如,如果两个数字均为矩形,但您希望它们的商为极形式,则有必要立即将它们转换然后除以。

现在让我们通过更多数值问题来说明复数的使用。 像往常一样,我们将使用TINA的Interpreter检查我们的解决方案。 解释器使用弧度,但它具有将弧度转换为度数的标准函数,反之亦然。

例如1 找到极地代表:

z = 12 - j 48

或49.48∠– 75.96°

{TINA口译员的解决方案}
Z:= 12-J * 48;
ABS(Z)= [49.4773]
弧(Z)= [ - 1.3258]
radtodeg(弧(Z))= [ - 75.9638]

例如2 找到矩形表示:

z = 25 e j 125 °

{TINA口译员的解决方案}
Z:= 25 * EXP(j *(degtorad(125)));
Z = [ - + 14.3394 20.4788 * j]的
的Re(Z)= [ - 14.3394]
IM(Z)= [20.4788]

例如3 找到以下复数的极坐标表示:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 - j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 - j 48

这四个数字的绝对值相同,因为绝对值与符号无关。 只有角度不同。

{TINA口译员的解决方案}
z1:= 12 + J * 48;
ABS(z1)= [49.4773]
弧(z1)= [1.3258]
radtodeg(弧(z1))= [75.9638]

z2:= 12-J * 48;
ABS(z2)= [49.4773]
弧(z2)= [ - 1.3258]
radtodeg(弧(z2))= [ - 75.9638]

z3:= - 12 + J * 48;
ABS(z3)= [49.4773]
弧(z3)= [1.8158]
radtodeg(弧(z3))= [104.0362]

z4:= - 12-J * 48:
ABS(z4)= [49.4773]
弧(z4)= [ - 1.8158]
radtodeg(弧(z4))= [ - 104.0362]

TINA的arc()函数确定任何复数的角度,然后自动将其正确正确放置在四个象限之一中。

但是,要小心使用棕褐色-1 用于查找角度,因为仅在第一和第四象限(–90°φ<90°)。

z1 位于坐标系的第一象限,计算如下:

α 1 =棕褐色-1(48 / 12)=棕褐色-1(4)= 75.96°

z4 棕褐色位于坐标系的第三象限-1不能正确返回角度。 角度计算是:

α 4 = 180°+ 75.96°= 255.96°或-360°+ 255.96°= – 104.04°,与TINA计算得出的相同。

z2 位于坐标系的第四象限角度计算是:

α 2 =棕褐色-1(-48 / 12)=棕褐色-1(-4)= - 75.96°

z3, 但是,在坐标系的2nd象限中,所以棕褐色-1 没有正确返回角度。 角度计算是:

α 3 = 180°-75.96°= 104.04°。

例如4 我们有两个复数: z1= 4 - j 6和 z2 = 5 ej45 ° .

查找 z3 = z1 + z2; z4 = z1z2; z5 = z1 * z2; z6 = z1 / z2

首先,我们使用TINA的Interpreter解决问题

{TINA口译员的解决方案}
z1:= 4-J * 6;
z2:= 5 * EXP(j * degtorad(45));
z3:= z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]的
z4:= z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]的
z5:= z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]的
z6:= z1 / z2;
z6 = [ - 282.8427m-1.4142 * j]的

注意TINA如何毫不费力地处理以不同形式给出的两个复数。

如果没有解释程序,解决方案将更加复杂。 为了能够比较不同的乘法和除法,我们将首先确定 z1 和矩形的 z2 .

接下来,我们首先使用最简单的形式找到四种解决方案:用于加法和减法的矩形,以及用于乘除法的指数:

z 3 = z1 + z2 = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z 4 = z1z2 = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * ej(56.31 °+ 45°) = 36.05 ej11.31 ° = 36.03 *(cos(-11.31°)+j* sin(-11.31°))

z 5 = 35.33 - j 7.07

z 6 = z1/z2=(7.21 / 5)* e j (56.31 °-45°) = 1.442 ej 101.31 ° = 1.442(cos(-101.31°)+j* sin(-101.31°))

z 6 = -0.2828 - j 1.414

这与TINA口译员获得的结果一致。

乘法以矩形形式进行:

z 5 =z1*z2 =(4-j6)* 3.535 *(1 +j)= 7.07 *(2-j3)*(1 +j)= 7.07 *(2-j3+j2 + 3)= 7.07 *(5-j)= 35.35-j7.07

最后,该部门以矩形形式进行:

这符合以前的结果。

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