基尔霍夫交流电路定律

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正如我们已经看到的,具有正弦激励的电路可以使用 复阻抗 对于元素和 复杂的高峰 or 复杂 均方根值 用于电流和电压。 使用基尔霍夫定律的复数值版本,可以采用节点和网格分析技术以类似于直流电路的方式求解交流电路。 在本章中,我们将通过基尔霍夫定律的例子来说明这一点。

例如1

求出电流i的幅度和相角vs(T) if
vS(t)= V.SM cos 2
p英尺; 我(t)=我SM cos 2p英尺; VSM = 10 V; 一世SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5欧姆; L = 0.2 mH; C1 = 10 mF; C2 = 5 mF


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我们总共有10个未知的电压和电流,即:i,iC1中,R中,L中,C2,VC1,VR,VL,VC2 和vIS。 (如果我们对电压和电流使用复杂的峰值或均方根值,则总共有20个实数方程!)

方程式:

循环或网格方程:for M1 VSM +VC1M+VRM = 0

M2 VRM + VLM = 0

M3 VLM + VC2M = 0

M4 VC2M + V主义 = 0

欧姆定律 VRM = R *IRM

VLM = j*w* L *ILM

IC1M = j*w*C1*VC1M

IC2M = j*w*C2*VC2M

N的节点方程1 IC1MISM + IRM + ILM +IC2M = 0

对于系列元素 I = IC1M

解决方程组,您可以找到未知电流:

ivs (t)= 1.81 cos(wt + 79.96°)一个

解决如此庞大的复杂方程组非常复杂,因此我们没有详细显示。 每个复数方程都产生两个实数方程,因此我们仅通过TINA解释器计算的值来显示解决方案。

使用TINA的解释器的解决方案:

{TINA口译员的解决方案}
OM:= 20000 * PI;
VS:= 10;
方法是:= 1;
系统Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs
VS = Vc1 + VR {} M1
VR = VL {} M2
VR = Vc2 {} M3
Vc2 =可见 {} M4
IVS = IR + IL + Ic2-IS {} N1
{欧姆定律}
Ic1 = j的* OM * C1 * Vc1
VR = R *铱
VL = j的* OM * L * IL
Ic2 = j的* OM * C2 * Vc2
IVS = Ic1
结束;
IVS = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]的
ABS(IVS)= [1.8089]
fiIvs:= 180 *弧(IVS)/ PI
fiIvs = [79.9613]

使用TINA的解决方案:


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要用手解决此问题,请使用复数阻抗。 例如,R,L和C2 并联连接,因此您可以通过计算并联等效值来简化电路。 || 表示阻抗的等效并联:

数值:


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使用阻抗的简化电路:

有序形式的方程: I + IG1 = IZ

VS = VC1 +VZ

VZ = Z · IZ

I = j w C1· VC1

有四个未知数- I; IZ; VC1; VZ –并且我们有四个方程,因此有可能解决。

快捷配送 I 在从等式中替换其他未知数之后:

数控


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根据TINA的口译员的结果。

{使用阻抗Z的解决方案}
OM:= 20000 * PI;
VS:= 10;
方法是:= 1;
Z:= replus(R,replus(j * OM * L,1 / J / OM / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]的

我= j的* OM * C1 *(VS-Z *(I + IS))
结束;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]的
ABS(I)= [1.8089]
180 *弧(I)/ PI = [79.9613]

那么,电流的时间函数为:

i(t)= 1.81 cos(wt + 80°)一个


您可以使用相量图检查基尔霍夫的当前规则。 下图是通过检查i中的节点方程而开发的Z = i + iG1 形成。 第一个图显示了由平行四边形规则相加的相量,第二个图显示了相量相加的三角形规则。

现在让我们使用TINA的相量图功能演示KVR。 由于等式中的源电压为负,因此将电压表“向后”连接。 相量图说明了基尔霍夫电压定律的原始形式。



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第一个相量图使用平行四边形规则,而第二个相量图使用三角形规则。



以V形式说明KVRC1 + VZ - V.S = 0时,我们再次将电压表反向连接到电压源。 您可以看到相量三角形是闭合的。

请注意,TINA允许您使用正弦或余弦函数作为基本函数。 根据所选的功能,相量图中看到的复振幅可能相差90º。 您可以在“查看”,“选项”,“ AC的基本功能”下设置基本功能。 在我们的示例中,我们始终以余弦函数为基础。

例如2

查找满足以下条件的所有组件的电压和电流:

vS(t)= 10 cos wt V, iS(t)= 5 cos(w t + 30°)mA;

C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R.2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz。


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令未知数为“无源”元件的电压和电流以及电压源的电流的复峰值(iVS )和电流源的电压(vIS )。 总共有十二个复杂的未知数。 我们有三个独立的节点,四个独立的循环(标记为MI)和五个可以用五个“欧姆定律”表征的无源元素-总共有3 + 4 + 5 = 12个等式:

节点方程 对于N.1 IVSM 我是R1M +我C2M

对于N.2 IR1M 我是LM +我C1M

对于N.3 IC2M +我LM +我C1M +IsM 我是R2M

循环方程 对于M.1 VSM V =C2M + VR2M

对于M.2 VSM V =C1M + VR1M+ VR2M

对于M.3 VLM V =C1M

对于M.4 VR2M V =主义

欧姆定律 VR1M = R.1*IR1M

VR2M = R.2*IR2M

IC1m = j *w*C1*VC1M

IC2m = j *w*C2*VC2M

VLM = j *w* L * ILM

不要忘记,任何复杂的方程都可能导致两个实方程,因此Kirchhoff的方法需要进行许多计算。 使用微分方程组(此处不讨论)解决电压和电流的时间函数要简单得多。 首先,我们显示由TINA的口译员计算的结果:

{TINA口译员的解决方案}
F:= 10000;
VS:= 10;
S:= 0.005 * EXP(j * PI / 6);
OM:= 2 * PI * F;
sys ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs
IVS = ir1 + ic2 1 {}
ir1 = 11 + ic1 2 {}
ic2 + IL + ic1 +是= ir2 3 {}
VS = vc2 + vr2 4 {}
VS = vr1 + vr2 + vc1 5 {}
vc1 = VL 6 {}
vr2 =可见 7 {}
vr1 = ir1 * R1 8 {}
vr2 = ir2 * R2 9 {}
ic1 = j的* OM * C1 * vc1 10 {}
ic2 = j的* OM * C2 * vc2 11 {}
VL = j的* OM * L * iL的 12 {}
结束;
ABS(vr1)= [970.1563m]
ABS(vr2)= [10.8726]
ABS(ic1)= [245.6503u]
ABS(ic2)= [3.0503m]
ABS(vc1)= [39.0965m]
ABS(vc2)= [970.9437m]
ABS(IL)= [3.1112u]
ABS(VL)= [39.0965m]
ABS(IVS)= [3.0697m]
180 + radtodeg(弧(IVS))= [58.2734]
ABS(VIS)= [10.8726]
radtodeg(弧(VIS))= [ - 2.3393]
radtodeg(弧(vr1))= [155.1092]
radtodeg(弧(vr2))= [ - 2.3393]
radtodeg(弧(ic1))= [155.1092]
radtodeg(弧(ic2))= [ - 117.1985]
radtodeg(弧(vc2))= [152.8015]
radtodeg(弧(vc1))= [65.1092]
radtodeg(弧(IL))= [ - 24.8908]
radtodeg(弧(VL))= [65.1092]

现在尝试使用替换手动简化方程式。 第一个等式9。 进入式5

VS V =C2 + R.2 IR2 A)

然后是eq.8和eq.9。 进入eq 5。

VS V =C1 + R.2 IR2 + R.1 IR1 湾)

然后是eq 12。,eq。 10。 和我L 来自eq。 2到eq.6。

VC1 V =L = jwL = jwL(我R1 - 一世C1)= jwR1 – jwwC1 VC1

快车五C1

C。)

快车五C2 从等式4。 和等式5。 并用等式8,等式11代替。 和VC1:

d。)

将等式2.,10、11和d。)代入等式3。 并表达我R2

IR2 我是C2 +我R1 +我S = jwC2 VC2 +我R1 +我S

如)

现在将d。)和e。)代入等式4并表达IR1

数值:


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根据TINA的结果。

我的时间功能R1 如下:

iR1(t)= 0.242 cos(wT + 155.5°) 嘛

测量电压:


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