基尔霍夫的法律

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叠加定理

节点潜在方法

许多电路过于复杂，无法使用上一章中描述的串联或并联电路规则或转换为更简单电路的技术来解决。对于这些电路，我们需要更通用的解决方法。基尔霍夫定律给出了最通用的方法，该定律允许通过线性方程组的解来计算电路的所有电路电压和电流。

那里有两个基尔霍夫定律，电压定律和当前法。这两个定律可用于确定电路的所有电压和电流。

基尔霍夫（Kirchhoff）的电压定律（KVL）指出，环路的电压上升和电压下降的代数和必须为零。

上述定义中的回路表示电路中的闭合路径；也就是说，一条路径沿一个方向离开一个节点，并从另一方向返回到同一节点。

在我们的示例中，我们将使用顺时针方向进行循环；但是，如果使用逆时针方向，将获得相同的结果。

为了没有错误地应用KVL，我们必须定义所谓的参考方向。未知电压的参考方向从假定电压的+号指向–号。想象一下使用电压表。您可以将电压表的正极探头（通常为红色）放在组件的参考+端子上。如果实际电压为正，则其方向与我们假定的方向相同，并且我们的解决方案和电压表都将显示为正值。

在推导电压的代数和时，必须给参考方向与环路方向一致的那些电压分配一个加号，在相反情况下给它们分配负号。

陈述基尔霍夫电压定律的另一种方法是：串联电路的施加电压等于串联元件两端的压降之和。

以下简短示例说明了基尔霍夫电压定律的使用。

找出电阻R两端的电压_2, 鉴于源电压，V_S = 100 V，电阻R两端的电压₁是V₁ = 40 V.

下图可以使用TINA Pro版本6及更高版本创建，其中原理图编辑器中提供了绘图工具。

使用基尔霍夫电压定律的解决方案： -V_S + V₁ + V₂= 0或V_S V =₁ + V₂

因此： V₂ V =_S - V.₁ = 100-40 = 60V

请注意，通常我们不知道电阻器的电压（除非我们对其进行测量），并且需要使用两个基尔霍夫定律进行求解。

基尔霍夫电流定律（KCL）指出，进入和离开电路中任何节点的所有电流的代数和为零。

接下来，我们给离开节点的电流加上一个+号，给进入节点的电流给一个–号。

这是一个说明基尔霍夫现行法律的基本示例。

找到当前的我₂ 如果源电流 I_S = 12 A，和我₁ = 8 A.

在圆圈节点使用基尔霍夫现行定律： -I_S +我₁ +我₂ = 0，因此： I₂我是_S - 一世₁ = 12 - 8 = 4 A，你可以用TINA查看（下图）。

在下一个示例中，我们将同时使用基尔霍夫定律和欧姆定律来计算电阻两端的电流和电压。

在下图中，您会注意到 电压箭头 以上电阻器。这是一个新的组件 TINA的版本6类似于电压表。如果将其连接到组件上，则箭头将确定参考方向（与电压表进行比较，请想象将红色探针放在箭头的尾部，将黑色探针放在尖端）。运行直流分析时，组件上的实际电压将显示在箭头上。

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要开始使用基尔霍夫电流定律，我们看到所有组件的电流都相同，因此我们用I表示该电流。

根据基尔霍夫电压定律： V_S V =₁+V₂+V₃

现在使用欧姆定律： V_S= I * R₁+ I * R.₂+ I * R.₃

从这里开始，电路的电流为：

I = V_S/（R₁+R₂+R₃）= 120 /（10 + 20 + 30）= 2 A.

最后，电阻的电压：

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R.₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R.₃ = 2 * 30 = 60 V.

只需运行TINA的交互式DC分析，即可在电压箭头上看到相同的结果。

在下一个更复杂的电路中，我们同时使用基尔霍夫定律和欧姆定律，但是我们发现我们最多求解线性方程组。

电路中基尔霍夫定律的独立应用总数是电路分支的数目，而未知数的总数（每个分支的电流和电压）是电路分支的数目的两倍。但是，通过在每个电阻上也使用欧姆定律通过简单的方程式定义施加的电压和电流，我们得到一个方程式系统，其中未知数与方程式数量相同。

查找支路电流I1，I2，I3 在下面的电路中。

单击/点击上面的电路以在线分析，或单击此链接以在Windows下保存

方程组如下：

圆圈节点的节点方程：

– I₁– I₂- 一世₃ = 0

或乘以-1

I₁+ I₂+我₃ = 0

回路L1的回路方程式（使用顺时针方向），包含V₁，R₁ 和R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

对于包含V的循环L2₂，R₂ 和R₃

I₃*R₃ - 一世₂*R₂ +V₂ = 0

替换组件值：

I₁+我₂+我₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 *我₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

表达我₁ 使用节点方程：我₁ = -I₂ - 一世₃

然后将其替换为第二个等式：

-V₁- （一世₂ +我₃）* R₁ -一世₃*R₃ = 0 or -8-（我₂ +我₃）* 40 - 我₃* 40 = 0

表达我₂ 并将其代入第三个方程式，您已经可以计算出₃:

I₂ = –（V₁ +我₃*（R₁+R₃））/ R₁ or I₂ = - （8 + I₃* 80）/ 40

I₃*R₃ + R.₂*（V₁ +我₃*（R₁+R₃））/ R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 *（8 + I₃* 80）/ 40 + 16 = 0

和： I₃ = –（V₂ + V₁*R₂/R₁）/（R₃+（R₁+R₃）* R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

因此 I₃ = – 0.25安; I₂ = - （8-0.25 * 80）/ 40 = 0.3 A. 和 I₁ = –（0.3-0.25）= – 0.05 A

或： I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA。

现在，让我们用TINA的解释器求解相同的方程式：

{TINA口译员的解决方案}
系统I1，I2，I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
结束;
I1 = [ - 50m]
I2 = [300m]
I3 = [ - 250m]

#Python解决方案
将 numpy 导入为 np，将 sympy 导入为 s
#我们有一个线性系统
#我们想要解决的方程：
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
打印（溶胶）

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
打印(“I1=%.3f”%x[0])
#I2
打印(“I2=%.3f”%x[1])
#I3
打印(“I3=%.3f”%x[2])

最后让我们检查一下结果使用TINA：

接下来，让我们分析以下更复杂的电路，并确定其支路电流和电压。

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让我们通过在组件上添加电压和电流箭头来表示未知的电压和电流，并显示将使用基尔霍夫方程的环路（L1，L2，L3）和节点（N1，N2）。

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这是一套循环（使用顺时针方向）和节点的Kirchhoff方程。

-I_L+我_R1- 一世_s= 0（对于N1）

- 一世_R1+我_R2+我_s3 = 0 （对于N2）

-V_s1- V._R3+ V_Is+ V_L = 0 （对于L1）

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 （对于L2）

-V_R2- V._s2+ V_s3 = 0 （对于L3）

应用欧姆定律：

V_L我是_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 我是_R2*R₂

V_R3 = –我_L*R₃

这是9个未知数和9个方程式。解决此问题的最简单方法是使用TINA

口译员。但是，如果我们被迫使用手工计算，我们会注意到，通过将最后四个方程式代入L5，L4，L1循环方程式，可以轻松地将此方程组简化为2个未知数的系统。此外，通过添加方程式（L3）和（L2），我们可以消除V._Is，将问题减少到4未知数的4方程组（I_L,I_R1 I_R2，I_s3）。找到这些电流后，我们可以轻松确定V_L， V_R1，五_R2，和V._R3 使用最后四个方程（欧姆定律）。

代入V_L,V_R1，V_R2 ,V_R3 :

-I_L+我_R1- 一世_s= 0（对于N1）

- 一世_R1+我_R2+我_s3 = 0 （对于N2）

-V_s1+我_L*R₃+ V_Is+我_L*R_L = 0 （对于L1）

-V_Is+ V_s2 +我_R2*R₂+我_R1*R₁ = 0 （用于 L2）

- 一世_R2*R₂- V._s2+ V_s3 = 0 （对于L3）

添加（L1）和（L2）我们得到

-I_L+我_R1- 一世_s= 0（对于N1）

- 一世_R1+我_R2+我_s3 = 0 （对于N2）

-V_s1+我_L*R₃+我_L*R_L + V_s2 +我_R2*R₂+我_R1*R₁ = 0 （L1）+（L2）

- 一世_R2*R₂- V._s2+ V_s3 = 0 （对于L3）

替换了分量值之后，这些方程式的解就很容易了。

-I_L+I_R1- 2 = 0 （对于N1）

-I_R1 +我_R2 +我_S3 = 0 （对于N2）

-120 – +我_L* 90 +我_L* 20 + 60 + I._R2* 40 +我_R1* 30 = 0（L₁）+（长₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 （对于L.₃)

来自L.₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A. （I）

从N.₂ I_S3 - 一世_R1 =-5.25 （II）的

来自L.₁+L₂ 我110_L + 30我_R1 = -150 （III）

对于N.₁ I_R1 - 一世_L = 2 （IV）

通过-30乘以（IV）并添加到（III）我140_L = -210 于是 I_L = – 1.5安

替换我_L 进入（IV） I_R1 = 2 +（ - 1.5）= 0.5 A.

和我_R1 成（II）的 I_S3 = -5.25 + I._R1 = -4,75 A.

和电压： V_R1 我是_R1*R₁ = 15 V; V_R2 我是_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = –我_L*R₃= 135 V; V_L 我是_L*R_L = – 30 V； V_Is V =_S1+V_R3-V_L = 285 V.

{TINA的口译员对原始方程的求解}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-IS + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 +显示-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
结束;
IL = [ - 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [ - 4.75]
的VI = [285]
VL = [ - 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Python解决方案
#Ax=b
将 numpy 导入为 np，将 sympy 导入为 s
#使用 numpy.solve 的符号解
#方程式：
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-可见-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#解决：
#IL,IR1,IR2,
#Is3，可见光，VL，
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL，
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-可见-VL，
VR1+VR2+Vs2-可见光，
VR2+Vs2-Vs3，
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
打印（溶胶）

#使用numpy.linalg解决的另一种方法
A=np.数组(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1]
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] 可见=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
打印(“IL=%.3f”%x[0])
打印(“IR1=%.3f”%x[1])
打印(“IR2=%.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis=%.3f”%x[4])
打印(“VL=%.3f”%x[5])
打印(“VR1=%.3f”%x[6])
打印(“VR2=%.3f”%x[8])
打印(“VR3=%.3f”%x[7])

使用解释器求解简化的方程组：

{TINA的口译员对简化的方程组的求解}
系统II，Ir1，Ir2，Is3
-il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
结束;
IL = [ - 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [ - 4.75]

我们还可以输入电压的表达式，并让TINA的解释器计算它们：

IL：= - 1.5;
Ir1：= 0.5;
Ir2：= 5.25;
Is3：= - 4.75;
VL：= 11 * RL;
Vr1：= Ir1 * R1
Vr2：= Ir2 * R2;
Vr3：= - 金正日* R3;
的VI：= Vs1-VL + Vr3;
VL = [ - 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
的VI = [285]

我们可以通过简单地打开TINA的直流交互模式或使用分析/直流分析/节点电压来使用TINA检查结果

叠加定理

节点潜在方法