网格和循环电流方法

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简化基尔霍夫方程组的另一种方法是网格或环路电流法。 使用这种方法,可以自动满足基尔霍夫的电流定律,并且我们编写的环路方程也满足基尔霍夫的电压定律。 满足基尔霍夫电流定律的方法是,为电路的每个独立环路分配称为网格或环路电流的闭合电流环路,并使用这些电流表示电路的所有其他数量。 由于回路电流是闭合的,因此流入节点的电流也必须流出该节点。 因此,用这些电流写节点方程式可导致恒等。

让我们首先考虑网格电流的方法。

我们首先注意到,网格电流方法仅适用于“平面”电路。 平面电路在平面上绘制时没有交叉导线。 通常,通过重画看似非平面的电路,可以确定它实际上是平面的。 对于非平面电路,请使用 回路电流法 本章后面会介绍。

为了解释网格电流的概念,可以将电路的分支想象为“渔网”,然后将网格电流分配给网络的每个网格。 (有时也有人说在电路的每个“窗口”中都分配了一个闭合电流环路。)

原理图

“渔网”或电路图

用一个简单的图表示电路的技术,称为 图形,功能非常强大。 以来 基尔霍夫定律不取决于组件的性质,您可以忽略具体组件,并用简单的线段代替它们,称为 分支机构 图的 用图形表示电路允许我们使用数学技术 图论。 这有助于我们探索电路的拓扑性质并确定独立的环路。 稍后返回此站点以阅读有关该主题的更多信息。

网格电流分析的步骤:

  1. 为每个网格分配网格电流。 尽管方向是任意的,但习惯上使用顺时针方向。

  2. 在每个网格周围以与网格电流相同的方向应用基尔霍夫电压定律(KVL)。 如果一个电阻有两个或多个通过它的网格电流,则通过该电阻的总电流将计算为网格电流的代数和。 换句话说,如果流过电阻的电流的方向与环路的网状电流的方向相同,则它的正号为正,否则为负。 像往常一样考虑电压源。如果其方向与网格电流相同,则在KVL方程中将其电压视为正,否则为负。 通常,对于电流源,只有一个网状电流流过该源,并且该电流的方向与该源的电流相同。 如果不是这种情况,请使用本章稍后介绍的更通用的环路电流方法。 对于包含分配给电流源的网格电流的回路,无需编写KVL方程。

  3. 求解网格电流的结果循环方程。

  4. 使用网格电流确定电路中任何需要的电流或电压。

让我们说明一下 该方法通过以下示例:

在下面的电路中找到当前的I。


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我们看到该电路中有两个网格(或左右窗口)。 让我们分配顺时针网格电流J1 和J2 到网格。 然后我们写出KVL方程,用欧姆定律表示电阻两端的电压:

-V1 + J.1*(Ri1+R1) - J2*R1 = 0

V2 - J1*R1 + J.2*(R + R1)= 0

数值:

-12 + J.1* 17 - J.2* 2 = 0

6 – J1* 2 + J.2* 14 = 0

快递J1 从第一个等式: J1 = 然后代入第二个方程式: 6 - 2 * + 14 *∫2 = 0

乘以17: 102 – 24 + 4 * J2 + 238 * J2 = 0 于是 J2 =

和J1 =

最后,所需的电流:

{使用TINA的翻译器解决方案}
{Mesh current method}
Sys J1,J2
J1*(Ri1+R1)-J2*R1-V1=0
J1*R1+J2*(R1+R)+V2=0
结束;
J1 = [666.6667m]
J2 = [ - 333.3333m]
I:= J1-J2;
I = [1]

让我们用TINA检查结果:


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接下来,让我们再次解决前面的示例,但使用更通用的方法 回路电流的方法。 使用此方法,关闭电流循环,称为 回路电流 不一定分配给电路的网格,而是任意分配 独立循环。 您可以通过在每个循环中至少包含一个不包含在任何其他循环中的组件来确保这些循环是独立的。 对于平面电路,独立回路的数量与网格的数量相同,这很容易看到。

确定独立回路数的更精确方法如下。

给定一个电路 b 分支机构 N 节点。 独立循环数 l 是:

l = b – N + 1

这是由于以下事实:独立的基尔霍夫方程组的数量必须等于电路中的分支,并且 我们已经知道只有 Ñ​​-1 独立节点方程。 因此,基尔霍夫方程的总数为

b = Ñ​​-1 + l 因此 l = b – N + 1

该方程式也遵循图论的基本定理,稍后将在此站点进行描述。

现在,让我们通过使用循环电流方法再次解决上一个示例,但更简单。 通过这种方法,我们可以自由地在网格或其他任何循环中使用循环,但是让循环与J一起使用1 在电路的左侧网格中。 但是,对于第二个循环,我们选择带有J的循环2, 如下图所示。 这种选择的优点是J1 它将等于要求的电流I,因为它是流经R1的唯一环路电流。 这意味着我们不需要计算J2 在所有。 请注意,与“实际”电流不同,回路电流的物理含义取决于我们将其分配给电路的方式。


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KVL方程:

J1 *(R1+Ri1)+ J2 * R. i1 - V.1 = 0

-V1+ J1 * Ri1+ J2 *(R + Ri)+ V.2 = 0

和所需的电流:I = J.1

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 *(15 + 12)+ 6 = 0

从第二个等式表达J2:

替换为第一个等式:

因此: J1 = I = 1 A.

更多例子。

例如1

在下面的电路中找到当前的I。


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在该电路中,我们使用环路电流的方法。 在电路的左窗口中,我们采用一个环路电流,用 I 因为它等于要求的电流。 另一个环路电流等于Is1源电流,因此我们直接将其表示为
IS1.

请注意,该回路电流的方向为 不是 顺时针方向,因为其方向由电流源决定。 但是,由于已经知道了该环路电流,因此无需为环路写KVL方程 IS1 被采取。

因此,唯一要解决的方程是:

-V1 + I * R.2 + R.1 *(我–我S1)= 0

于是

我=(V1 + R.1 *IS1)/(R1 + R.2)

数控

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

您还可以从Analysis / Symbolic Analysis / DC Result菜单中调用TINA的符号分析生成此结果:


或者,您可以通过解释器求解KVL方程:

{TINA口译员的解决方案}
{使用网格电流方法}
谢谢我
-V1 + I * R2 + R1 *(I – IS1)= 0
结束;
I = [3]

以下示例具有3个电流源,通过环路电流的方法很容易解决。

例如2

找到电压V.

在此示例中,我们可以选择三个回路电流,以便每个回路仅流过一个电流源。 因此,所有三个环路电流都是已知的,我们只需要使用它们来表达未知电压V。

通过R得到电流的代数和3:

V =(IS3 - 一世S2)* R3=(10-5)* 30 = 150V。您可以使用TINA:进行验证。


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接下来,让我们再次解决我们已经解决的问题 基尔霍夫定律节点潜力方法 章节。

例如3

求出电阻器R的电压V.4.


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R1 = R.3 = 100 ohm,R2 = R.4 = 50 ohm,R5 = 20 ohm,R6 = 40 ohm,R7 = 75欧姆。

在前面的章节中,至少要解决4个方程。

用回路电流的方法解决这个问题,我们有四个独立的回路,但是通过适当选择回路电流,回路电流之一将等于源电流Is。

根据上图所示的环路电流,环路方程为:

VS1+I4*(R5+R6+R7) - 一世S*R6 -一世3*(R5 + R.6)= 0

VS2 - 一世3*(R1+R2) - 一世S*R2 +我2*(R1 + R.2)= 0

-VS1 +我3*(R1 + R.2 + R.3 + R.4 + R.5 + R.6)+我S*(R2 +R4 + R.6) - 一世4*(R5 + R.6) - 一世2*(R1 + R.2)= 0

未知电压 V 可以用环路电流表示:

V = R.4 * (一世2 +我3)

数值:

100 + I4* 135-2 40 *-I3* 60 = 0

150 + I2* 150-2 50 *-I3* 150 = 0

-100 + I3* 360 2 + 140 *-I4* 60-I2* 150 = 0

V = 50 *(2 + I3)

我们可以使用克莱默法则来求解该方程组:

I4 = D.3/D

其中D是系统的决定因素。 D4, 我的决定因素4, 是通过将系统的右侧替换为I的列而形成的4的系数。

有序形式的方程组:

– 60 *我3 + 135 * I4= -20

150 * I2-150 * I3 = – 50

-150 * I2+ 360 * I3 - 60 *我4= – 180

所以 行列式 D:

这个方程组的解决方案是:

V = R.4*(2 + I3)= 34.8485 V.

您可以通过TINA计算出的结果来确认答案。


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{使用TINA的翻译器解决方案}
系统I2,I3,I4
Vs2+I2*(R1+R2)-R2*Is-I3*(R1+R2)=0
-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+Is*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
Vs1+I4*(R5+R6+R7)-Is*R6-I3*(R5+R6)=0
结束;
I2 = [ - 1.6364]
I3 = [ - 1.303]
I4 = [ - 727.2727m]
五:= R4 *(为+ I3);
V = [34.8485]

在此示例中,每个未知环路电流均为支路电流(I1,I3和I4)。 因此,与TINA的DC分析结果进行比较,很容易检查结果。


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