周期波形

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常规产品的 傅里叶定理 指出可以通过添加各种频率的适当加权正弦和余弦项来合成任何周期波形。 该定理在其他教科书中已广为人知,因此我们仅对结果进行总结并举例说明。

令我们的周期函数为f(t)= f(t ±n T)其中T是一个周期的时间,n是整数。

w0= 2p/ T 基本角频率。

傅立叶定理, 周期函数可以写为以下总和:

哪里

An 和B.n傅里叶系数 总和是 傅立叶级数.

另一种形式,可能更实用:

哪里

A0 = C.0 是DC或平均值A1,B1 和C.1 是基本成分,其他是谐波项。

虽然仅需几个术语即可近似某些波形,而另一些则需要许多术语。

通常,包含的项越多,近似效果越好,但是对于包含阶跃的波形(例如矩形脉冲), 吉布斯现象 发挥作用。 随着项数的增加,过冲会集中在更短的时间内。

An 甚至功能 f(t)= f(-t)(轴对称)仅需要余弦项。

An 奇怪的功能 f(t)= – f(-t)(点对称)仅需要正弦项。

带有的波形 镜面或半波对称 只有 傅立叶表示中的谐波。

在这里,我们将不处理傅立叶级数展开,而只会使用给定的正弦和余弦之和作为电路的激励。

在本书的前几章中,我们讨论了正弦激励。 如果电路是线性的,则 叠加定理 已验证。 对于具有非正弦周期激励的网络,叠加使我们能够 一次计算每个傅立叶正弦项引起的电流和电压。 计算所有参数后,我们最终总结了响应的谐波分量。

确定周期性电压和电流的不同项有点复杂,实际上,这可能会产生大量信息。 实际上,我们只想进行测量。 我们可以使用 谐波分析仪, 频谱分析仪,波分析仪或傅立叶分析仪。 所有这些都是 复杂,可能会产生比所需更多的数据。 有时仅通过其平均值来描述周期信号就足够了。 但是,有几种平均测量值。

平均 价值

简单平均 or DC 该术语在傅立叶表示中被视为A0

可以使用Deprez等工具测量该平均值 直流仪器。

有效的价值 or 有效值 (均方根)具有以下定义:

这是最重要的平均值,因为电阻器中的散热与有效值成正比。 许多数字电压表和一些模拟电压表可以测量电压和电流的有效值。

绝对平均值

这个平均值不再重要。 早期的仪器测量这种形式的平均值。

如果我们知道电压或电流波形的傅立叶表示,我们还可以如下计算平均值:

简单平均 or DC 该术语在傅立叶表示中被视为A0 = C.0

有效的价值 or 有效值 (均方根)在积分电压的傅立叶级数后为:

常规产品的 克里尔因子 是平均值的非常重要的比率:

它是高次谐波项的有效值之比 到基本谐波的有效值:

这里似乎有一个矛盾-我们根据谐波分量来求解网络,但是我们测量的是平均数量。

让我们通过简单的例子说明方法:

例如1

找到时间函数和电压v的有效(rms)值C(T)


如果R = 5欧姆,则C = 10 mF和v(t)=(100 + 200 cos(w0t)+ 30 cos(3 w0t – 90°))V,其中基本角频率为 w0= 30 krad / s。

尝试使用叠加定理解决问题。

第一步是找到作为频率函数的传递函数。 为简单起见,请使用替换:s = j w

现在替换组件值,并s = jk w0其中k = 0; 1; 这个例子中的3和 w0= 30 krad / s。 在V,A,欧姆, mF和Mrad / s单位:

使用表格来组织数值解的步骤是有帮助的:

k

W(jk)=

0

1

3

我们可以在另一个表中总结叠加解决方案的步骤。 正如我们已经看到的,要找到一个分量的复数峰值,我们应该将激励分量的复数峰值乘以复数传递函数的值:

k

V

W

VCk

0

100

1

100

1

200

0.55e-j56.3°

110e-j56.3°

3

30e-j90°

0.217e-j77.5°

6.51e-j167.5°

最后,我们可以给出时间函数,以了解组件的复杂峰值:

vC(t)= 100 + 110 cos(w0t - 56.3°)+ 6.51 cos(3w0t - 167.5°) V

电压的均方根值(有效值)为:

如您所见,TINA的测量仪器可测量该均方根值。

例如2

找到时间函数和当前i(t)的有效(rms)值


如果R = 5欧姆,则C = 10 mF和v(t)=(100 + 200 cos(w0t)+ 30 cos(3w0t – 90°))V,其中基本角频率为 w0= 30 krad / s。

尝试使用叠加定理解决问题。


解决方案的步骤与示例1相似,但是传递函数不同。

现在用数值代替s = jk w0,其中k = 0; 1; 本例中为3。

在V,A,欧姆, mF和Mrad / s单位:

在数值解过程中使用表格会很有帮助:

k

W(jk)=

0

1

3

我们可以在另一个表中总结叠加的步骤。 正如我们已经看到的,要找到某个分量的峰值,我们应该将该激励的该分量的复数峰值乘以复数传递函数的值。 使用激励分量的复数峰值:

k

VSk

W(JK)

Ik

0

100

0

0

1

200

0.162éj33.7°

32.4éj33.7°

3

30é-j90°

0.195éj12.5°

5.85é-j77.5°

最后,了解组件的复杂峰值,我们可以陈述时间函数:

i(t)= 32.4 cos(w0t + 33.7°)+ 5.85 cos(3w0t - 77.5°) [一个]

T他的有效值是:

您通常可以对解决方案的一部分进行完整性检查。 例如,电容器可以具有直流电压,但是没有直流电流。

例如3

获得电压V的时间函数ab if R1= 12 ohm,R2 = 14欧姆,L = 25 mH,并且


C = 200 mF.发电机电压为v(t)=(50 + 80 cos(w0t)+ 30 cos(2 w0t + 60°))V, 其中基频为f0 = 50 Hz。

第一步是找到传递函数:

用V,A,ohm,mH,mF,kHz单位替换数值:

合并两个表:

k V Sk V ABK
0 5050
1 8079.3é-j66.3
2 30 ej6029.7é-j44.7

最后是时间函数:

vab(t)= 50 + 79.3 cos(w1t - 66.3°)+ 29.7 cos(2w1t - 44.7°) [V]

和均方根值:


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