交流电流原理

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正弦电压可用以下公式描述:

v(t)= V.M sin(ωt+Φ)或v(t)= V.M cos(ωt+Φ)

哪里V(t)的电压的瞬时值,单位为伏特(V)。
 VM电压的最大值或峰值,单位为伏特(V)
 T周期:一个周期所需的时间,以秒为单位
 f频率 - 1秒的周期数,以Hz(赫兹)或1 / s为单位。 f = 1 / T.
 ω角频率,以弧度/秒表示
ω= 2 *π* f或ω= 2 *π/ T.
 Φ初始阶段以弧度或度数给出。 此数量确定正弦或余弦波att = 0的值。
  注意:正弦电压的幅度有时表示为V.EFF,有效或RMS值。 这与V有关M 根据关系VM=√2VEFF, 或大约VEFF = 0.707 V.M

以下是一些说明上述术语的示例。

欧洲家用电源插座中220 V AC电压的特性:

有效值:VEFF = 220 V.
峰值:VM=√2* 220 V = 311 V

频率:f = 50 1 / s = 50 Hz
角频率:ω= 2 *π* f = 314 1 / s = 314 rad / s
周期:T = 1 / f = 20 ms
时间函数:v(t)= 311 sin(314 t)

让我们使用TINA的Analysis / AC Analysis / Time Function命令查看时间函数。

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您可以检查周期是T = 20m和那个V.M = 311 V.

 

美国家用电源插座中120 V AC电压的特性:

有效值:VEFF = 120 V.
峰值:VM=√2120V = 169.68V≈170V.
频率:f = 60 1 / s = 60 Hz
角频率:ω= 2 *π* f = 376.8 rad /s≈377rad / s
周期:T = 1 / f = 16.7 ms
时间函数:v(t)= 170 sin(377 t)

注意,在这种情况下,时间函数可以给出为v(t)= 311 sin(314 t +Φ)或v(t)= 311 cos(314 t +Φ),因为在出​​口电压的情况下我们不知道初始阶段。

当几个电压同时存在时,初始阶段起着重要作用。 一个很好的实际例子是三相系统,其中存在相同峰值,形状和频率的三个电压,每个电压相对于其他电压具有120°相移。 在60 Hz网络中,时间函数是:

vA(t)= 170 sin(377 t)

vB(t)= 170 sin(377 t – 120°)

vC(t)= 170 sin(377 t + 120°)

下图用TINA显示了具有这些时间功能的电路作为TINA的电压发生器。


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电压差vAB= vA(t)– vB(t)显示为通过TINA的分析/ AC分析/时间功能命令解决。

注意v的峰值AB (t)约为294 V,大于v的170 V峰值A(t)或vB(t)电压,但也不仅仅是它们的峰值电压之和。 这是由于相位差异。 我们将讨论如何计算得到的电压(即 Ö3 * 170 @ 本例后面的294)也在本章的后面 三相系统 章。

正弦信号的特征值

虽然交流信号在其周期内连续变化,但很容易定义一些特征值来比较一个波与另一个波:这些是峰值,平均值和均方根(rms)值。

我们已经达到了峰值 VM ,这只是时间函数的最大值,正弦波的幅度。

有时使用峰 - 峰值(pp)值。 对于正弦电压和电流,峰峰值是峰值的两倍。

常规产品的 平均值 正弦波的值是正半周期值的算术平均值。 它也被称为 绝对平均值 因为它与波形绝对值的平均值相同。 在实践中,我们遇到这个波形 整流 带有称为全波整流器的电路的正弦波。

可以证明,正弦波的绝对平均值是:

VAV= 2 /πVM ≅0.637V.M

请注意,整个周期的平均值为零。
正弦电压或电流的均方根或有效值对应于产生相同加热功率的等效DC值。 例如,有效值为120 V的电压在灯泡中产生与来自DC电压源的120 V相同的加热和照明功率。 可以证明正弦波的rms或有效值是:

V有效值 V =M /√2≅0.707V.M

对于电压和电流,可以以相同的方式计算这些值。

有效值在实践中非常重要。 除非另有说明,否则电源线AC电压(例如110V或220V)以rms值给出。 大多数交流电表都以均方根校准,表示有效值水平。

例如1 使用220 V rms值找出电网中正弦电压的峰值。

VM = 220 / 0.707 = 311.17 V

例如2 使用110 V rms值找出电网中正弦电压的峰值。

VM = 110 / 0.707 = 155.58 V

例如3 如果其有效值为220 V,则求出正弦电压的(绝对)平均值。

Va = 0.637 * V.M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

例如4 如果其有效值为110 V,则求出正弦电压的绝对平均值。

示例2的电压峰值为155.58 V,因此:

Va = 0.637 * V.M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

例如5 找出绝对平均值之间的比率(V.a)和正弦波形的均方根(V)值。

V / Va = 0.707 / 0.637 = 1.11

请注意,您无法在交流电路中添加平均值,因为它会导致不正确的结果。

相量

正如我们在前一节中已经看到的那样,在交流电路中经常需要增加相同频率的正弦电压和电流。 虽然可以使用TINA以数字方式添加信号,或采用三角关系,但使用所谓的更方便 相量 方法。 相量是表示正弦信号的幅度和相位的复数。 重要的是要注意相量不代表频率,对于所有相量必须相同。

相量可以作为复数处理或者在图形上表示为复平面中的平面箭头。 图形表示称为相量图。 使用相量图,您可以通过三角形或平行四边形规则在复平面中添加或减去相量。

有两种形式的复数: 长方形极性.

矩形表示在forma +中 jb,在哪里 j = Ö-1是虚构的单位。

极性表示形式为Aej j ,其中A是绝对值(幅度)和 f 是相对于正实轴的相量在逆时针方向上的角度。

我们将使用 无所畏惧 复数的字母。

现在让我们看看如何从时间函数中导出相应的相量。

首先,假设电路中的所有电压都以余弦函数的形式表示。 (所有电压都可以转换为那种形式。)然后 相量 对应于v(t)= V的电压M COS( w t+f)是:VM V =Me jf ,也称为复杂峰值。

例如,考虑电压:v(t)= 10 cos( w T + 30°)

相应的相量是: V

我们可以用相同的方式从相量计算时间函数。 首先,我们以极性形式编写相量,例如 VM V =Me jr 然后相应的时间函数是

V(吨)= VM (COS(wt+r).

例如,考虑相量 VM = 10 – j20 V

将它带到极地形式:

因此时间函数是:v(t)= 22.36 cos(wt - 63.5°)V

相量通常用于定义AC电路中电压和电流的复数有效值或均方根值。 给定v(t)= V.MCOS(wt+r)= 10cos(wT + 30°)

数值:

v(t)= 10 * cos(wT-30°)

复数有效(rms)值: V = 0.707 * 10 * ej30° = 7.07 ej30° = 6.13 - j 3.535

反之亦然:如果电压的复杂有效值是:

V = – 10 + j 20 = 22.36 e j 116.5°

那么复杂的峰值:

和时间功能: v(t)= 31.63 cos( wt + 116.5° )V

上述技术的简短说明如下。 给定时间功能
VM (COS(
w t+r),让我们来定义 复杂的时间功能 如:

v (t)= V.M e jr e jwt = VMe jwt V =M (COS(r)+ j 罪(r))电子 jwt

哪里 VM =VM e j r t V =M (COS(r)+ j 罪(r))只是上面介绍的相量。

例如,复数时间函数v(t)= 10 cos(wT + 30°)

v (t)= VMe jwt = 10 e j30 e jwt = 10e jwt (cos(30)+ j 罪(30))= e jwt (8.66 +j5)

通过引入复杂时间函数,我们有一个包含实部和虚部的表示。 我们总是可以通过获取结果的实际部分来恢复原始的实际时间函数:v(t)= Re {v(T)}

然而,复杂时间函数具有很大的优点,因为所考虑的AC电路中的所有复杂时间函数具有相同的ejwt 乘数,我们可以将其考虑在内,并与相量器一起工作。 而且,在实践中我们不使用ejwt 根本没有关系–只是从时间函数到相量再到相位的转换。

为了演示使用相量的优势,让我们看一下以下示例。

例如6 找出电压的总和和差异:

v1 = 100 cos(314 * t) v2 = 50 cos(314 * t-45°)

首先写出两个电压的相量:

V1M = 100 V2M= 50 e j 45° = 35.53 - j 35.35

因此:

V = V1M + V2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e– j 14.63°

V = V1MV2M = 64.65 + j35.35 = 73.68é j 28.67°

然后是时间功能:

v(t)= 139.89 * cos(wt - 14.63°)

v(t)= 73.68 * cos(wt + 28.67°)

正如这个简单的例子所示,phasors的方法是解决AC问题的极其强大的工具。

让我们使用TINA解释器中的工具解决问题。

{v1 + v2的计算}
v1:= 100
v2:= 50 * EXP(-pi / 4 * j)的
v2 = [35.3553-35.3553 * j]的
v1add:= v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]的
ABS(v1add)= [139.8966]
radtodeg(弧(v1add))= [ - 14.6388]

{v1-v2的计算}
v1sub:= v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]的
ABS(v1sub)= [73.6813]
radtodeg(弧(v1sub))= [28.6751]

幅度和相位结果证实了手的计算。

现在让我们使用TINA的AC分析检查结果。

在进行分析之前,让我们确保 AC的基本功能 我设定为 余弦 编辑器选项 “视图/选项”菜单中的对话框。 我们将解释这个参数的作用 例如8.

电路和结果:

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结果再次相同。 以下是时间函数图:


例如7 找出电压的总和和差异:

v1 = 100 sin(314 * t)和 v2 = 50 cos(314 * t-45°)

这个例子提出了一个新问题。 到目前为止,我们要求所有时间函数都作为余弦函数给出。 作为正弦给出的时间函数我们该怎么做? 解决方案是将正弦函数转换为余弦函数。 使用三角关系sin(x)= cos(x-p/ 2)= COS(X-90°),我们的例子可以改写如下:

v1 = 100 cos(314t – 90°) v2 = 50 cos(314 * t – 45°)

现在电压的相量是:

V1M = 100 e j 90° = -100 j V2M= 50 e j 45° = 35.53 - j 35.35

因此:

V = V1M + V2M = 35.53 - j 135.35

V = V1MV2M = – 35.53 - j 64.47

然后是时间功能:

v(t)= 139.8966 cos(wT-75.36°)

v(t)= 73.68 cos(wT-118.68°)

让我们使用TINA解释器中的工具解决问题。

{v1 + v2的计算}
v1:= - 100 *∫
v2:= 50 * EXP(-pi / 4 * j)的
v2 = [35.3553 – 35.3553 * j]
v1add:= v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]的
ABS(v1add)= [139.8966]
radtodeg(弧(v1add))= [ - 75.3612]

{v1-v2的计算}
v1sub:= v1-v2
v1sub = [-35.3553 – 64.6447 * j]
ABS(v1sub)= [73.6813]
radtodeg(弧(v1sub))= [ - 118.6751]

让我们用TINA的AC分析检查结果

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例如8

找出电压的总和和差异:

v1 = 100 sin(314 * t) v2 = 50 sin(314 * t-45°)

这个例子提出了另一个问题。 如果所有电压都以正弦波形式给出并且我们也希望将结果看作正弦波怎么办? 我们当然可以将两个电压都转换为余弦函数,计算出答案,然后将结果转换回正弦函数,但这不是必需的。 我们可以按照与余弦波相同的方式从正弦波创建相量,然后仅将其幅度和相位用作结果中的正弦波的幅度和相位。

这显然会产生与将正弦波转换为余弦波相同的结果。 正如我们在前面的例子中所看到的,这相当于乘以 - j 然后使用cos(x)= sin(x-90°)将其转换回正弦波的关系。 这相当于乘以 j。 换句话说,因为 - j × j = 1,我们可以使用直接从正弦波的幅度和相位导出的相量来表示函数,然后直接返回它们。 此外,以相同的方式推理复杂时间函数,我们可以将正弦波视为复杂时间函数的虚部,并用余弦函数补充它们以创建完整的复杂时间函数。

让我们看一下使用正弦函数作为相量基数的示例的解决方案(将sin( w t)到真实单位相量(1))。

V1M = 100 V2M= 50 e j 45° = 35.53 - j 35.35

因此:

V = V1M + V2M = 135.53 - j 35.35

V = V1MV2M = 64.47+ j 35.35

请注意,相量与示例6完全相同,但不是时间函数:

v3(t)= 139.9sin(wt - 14.64°)

v4(t)= 73.68sin(wt + 28.68°)

如您所见,使用正弦函数很容易获得结果,尤其是当我们的初始数据是正弦波时。 许多教科书更喜欢使用正弦波作为相量的基本函数。 实际上,您可以使用任何一种方法,但不要混淆它们。

创建相量时,将所有时间函数首先转换为正弦或余弦非常重要。 如果从正弦函数开始,则从相量函数返回到时间函数时,应使用正弦函数表示解决方案。 如果从余弦函数开始,情况也是如此。

让我们用TINA的交互模式解决同样的问题。 由于我们希望使用正弦函数作为创建相量的基础,因此请确保 AC的基本功能 被设置为 正弦 编辑器选项 “视图/选项”菜单中的对话框。

 



用于制作波形之和与差异的电路和结果:


时间函数:

 


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