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傅里葉定理 指出任何週期波形都可以透過添加適當加權的各種頻率的正弦和餘弦項來合成。該定理在其他教科書中已有詳細介紹，因此我們僅總結結果並展示一些範例。

令我們的周期函數為 f (t) = f (t ±nT) 其中T是一個週期的時間，n是整數。

w₀= 2p/ T. 基本角頻率。

由 傅立葉定理， 週期函數可以寫成以下總和：

哪裡

A_n 和B._n 是 傅里葉係數 總和是 傅立葉系列.

另一種形式，可能更實用：

哪裡

A₀ = C.₀ 是 DC 或平均值，A₁，B₁ 和C.₁ 是基波分量，其他是調和項。

雖然可能只需要幾個項來近似某些波形，但其他波形則需要許多項。

一般來說，包含的項越多，近似值就越好，但對於包含階躍的波形，例如矩形脈衝， 吉布斯現象 發揮作用。隨著項數的增加，超調變得集中在更小的時間內。

An 甚至功能 f(t) = f(-t)（軸對稱）只需要餘弦項。

An 奇怪的功能 f(t) = – f(-t)（點對稱）只需要正弦項。

帶有的波形 鏡面或半波對稱 只有 奇 傅立葉表示中的諧波。

這裡我們不會處理傅立葉級數展開，而只會使用給定的正弦和餘弦之和作為電路的激勵。

在本書的前面幾章中，我們討論了正弦激勵。如果電路是線性的，則 疊加定理 已驗證。對於具有非正弦週期性激勵的網絡，疊加使我們能夠 一次計算每個傅立葉正弦項所產生的電流和電壓。計算完所有內容後，我們最終總結了響應的諧波分量。

確定週期性電壓和電流的不同項有點複雜，事實上，它可能會產生過多的資訊。在實踐中，我們只想簡單地進行測量。我們可以使用以下方法來測量不同的諧波項 諧波分析儀， 頻譜分析儀、波形分析儀或傅立葉分析儀。 所有這些都是 複雜並且可能產生比需要更多的數據。有時僅透過平均值來描述週期訊號就足夠了。但平均測量有幾種類型。

平均 價值

簡單平均 or DC 術語在傅立葉表示中被視為 A₀

此平均值可以使用 Deprez 等儀器來測量 直流儀表。

有效的價值 or RMS （均方根）具有以下定義：

這是最重要的平均值，因為電阻器中耗散的熱量與有效值成正比。許多數字和一些類比電壓表可以測量電壓和電流的有效值。

絕對平均值

這個平均值已經不再重要了；早期的儀器測量這種形式的平均值。

如果我們知道電壓或電流波形的傅立葉表示，我們也可以計算平均值，如下所示：

簡單平均 or DC 術語在傅立葉表示中被視為 A₀ = C.₀

有效的價值 or RMS （均方根）對電壓的傅立葉級數積分後為：

克里爾因子 是平均值的一個非常重要的比率：

高次諧波項有效值之比 到基波諧波的有效值：

這裡似乎存在著一個矛盾——我們用諧波分量來求解網絡，但我們測量的是平均量。

讓我們通過簡單的例子說明方法：

實施例1

求時間函數與電壓 v 的有效（均方根）值_C（t）的

如果R = 5歐姆，則C = 10 mF和v（t）=（100 + 200 cos（w₀t）+ 30 cos（3 w₀t – 90°））V，其中基本角頻率為 w₀= 30 krad / s。

試著用疊加定理來解決這個問題。

第一步是找到作為頻率函數的傳遞函數。為簡單起見，使用替換： s = j w

現在替換組件值並且 s = jk w₀其中k = 0; 1; 這個例子中的3和 w₀= 30 克拉德/秒。 在V，A，歐姆， mF和Mrad / s單位：

使用表格來組織數值求解的步驟會很有幫助：

我們可以在另一個表中總結疊加求解的步驟。正如我們已經看到的，要找到分量的複峰值，我們應該將激勵分量的複峰值乘以複傳遞函數的值:

最後，我們可以給出知道各分量的複峰值的時間函數：

v_C(t) = 100 + 110 餘弦(w₀t - 56.3°）+ 6.51 cos（3w₀t - 167.5°) V

電壓的有效值（rms）為：

正如您所看到的，TINA 的測量儀器測量該均方根值。

例如2

求時間函數和電流 i(t) 的有效（rms）值

如果R = 5歐姆，則C = 10 mF和v（t）=（100 + 200 cos（w₀t）+ 30 cos（3w₀t – 90°））V，其中基本角頻率為 w₀= 30 krad / s。

嘗試使用疊加定理來解決問題。

求解步驟與例1類似，但傳遞函數不同。

現在代入數值並 s = jk w_0,其中k = 0; 1; 本例中為3。

在V，A，歐姆， mF和Mrad / s單位：

在數值求解過程中使用表格會很有幫助：

我們可以在另一個表中總結疊加的步驟。正如我們已經看到的，要找到某個分量的峰值，我們應該將該激勵分量的複峰值乘以複傳遞函數的值。使用激勵分量的複峰值：

最後，知道了組件的複峰值，我們可以表達時間函數：

i（t）= 32.4 cos（w₀t + 33.7°）+ 5.85 cos（3w₀t - 77.5°) [一個]

T電流有效值：

您通常可以對解決方案的一部分進行健全性檢查。例如，電容器可以具有直流電壓，但不能具有直流電流。

例如3

取得電壓V的時間函數_ab if R₁= 12 ohm，R₂ = 14 歐姆，L = 25 mH，且

C = 200 mF、發電機電壓為v(t)=(50 + 80 cos(w₀t）+ 30 cos（2 w₀t + 60°））V， 其中基頻為f₀ = 50 赫茲。

第一步是找到傳遞函數：

代入 V、A、ohm、mH、mF、kHz 單位的數值：

合併兩個表：

k V Sk		V ABK
0 50		50
1 80		Ë79.3-j66.3
2 30 ej60		Ë29.7-j44.7

最後是時間函數：

v_ab（t）= 50 + 79.3 cos（w₁t - 66.3°）+ 29.7 cos（2w₁t - 44.7°) [V]

和有效值：

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