複數

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網格和循環電流方法

交流電流原理

在本章和後面的章節中，我們將提出一個非常重要的主題：AC或交流電。名稱交流電流不是很精確，通常包括具有正弦電壓和電流的電路; 然而，交流電也可以表示任意電流波形。交流電壓的重要性在於這種電壓被用於全世界家庭和工業中的主要電源。它也是許多電子，電信和工業應用的基礎。

為了處理正弦波形和與它們相關的電路，我們將使用稱為相量法的簡單而優雅的方法。相量基於復數的屬性，這是表示正弦量的理想選擇。在本章中，我們將總結有關複數及其運算的主要事實。我們還將展示TINA的Interpreter如何使用複數進行計算變得容易。

複數由兩部分組成，a 實部（x), 這是一個真實的數字，所謂的 想像的部分 （y），這是一個實數乘以 , 想像的單位。複數 z因此，可以描述為：

z = x + jy

哪裡 .

複數的例子：

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

複數最初是在XNUMX世紀引入的，用於表示多項式的根，而多項式不能僅用實數來表示。例如，等式x的根²+ 2x + 2 = 0只能描述為和，或使用符號 , z₁= 1 + j 和 z₂= 1- j. 使用新的符號來研究表達式的性質，數學家能夠證明定理並解決直到那時甚至不是很難解決的問題。這導致了複雜的代數和復雜的函數的細化，這些函數現已廣泛用於數學和工程學中。

複數的幾何表示

矩形形式

因為複數始終可以分為其實數和復數部分，所以我們可以將復數表示為二維平面上的一個點。複數的實數部分是點在實軸上的投影，而數字的虛數部分是在虛軸上的投影。當複數表示為實部和虛部之和時，我們說它是矩形 or 代數形式.

下圖顯示了複數 z = 2 + 4j

極性和指數形式

從上圖可以看到，點A也可以用箭頭的長度表示， r （也稱為絕對值，幅度或幅度）及其角度（或相位）， φ 相對於正水平軸沿逆時針方向相對。這是極性複數形式。記為r∠ φ.

下一步非常重要。極地形式的複數也可以寫入指數形成：

該簡單表達式的獨特之處在於，它在指數中具有一個虛數而不是通常的實數。這種複雜的指數行為與帶有實參的指數函數非常不同。當e^x 隨著x> 0的增加幅度迅速增大，而x <0的減小幅度迅速減小，任何φ的幅值都相同（z = 1）。此外，其複數值位於單位圓上。

歐拉公式提供了複數的矩形，極坐標和指數形式之間的統一聯繫：

z = x + jy = re ^jφ = r（cos φ + j 罪 φ )

哪裡

和 φ =棕褐色^-1（Y / X）。

對於上面的例子， z = 2 + 4j:

φ =棕褐色^-1（4 / 2）= 63.4°

因此 .

或相反亦然：

您將需要熟練使用兩種形式，具體取決於應用程序。例如，當數字為矩形形式時，加法或減法顯然更容易實現，而當數字為指數形式時，乘法或除法則更容易實現。

複雜數字的操作

複數可以執行的操作與實數相似。規則和一些新定義總結如下。

j的操作

與...的操作 j 只需按照虛構單元的定義，

為了能夠快速準確地工作，您應該記住這些規則：

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = –j

證明：

j² = -1簡單地遵循定義回顧和整理筆記，因為

對於1 /j，我們乘以1 /jby j / j = 1並得到 j/（JJ）= j /（-1）= –j.

复共軛

複數的複共軛很容易導出並且非常重要。要獲得矩形複數的複共軛，只需改變虛部的符號即可。要對指數形式的數字執行此操作，請更改複數的角度符號，同時保持其絕對值相同。

複數的複共軛 z 通常表示為 z^*.

鑑於數字複雜 z= A + jb，它的複共軛是 z^*= A- jb.

If z 以指數形式給出，，它的複共軛是

使用上面的定義，很容易看出複數乘以其複共軛給出複數的絕對值的平方：

Z Z^* = r²= a^{2 +}b²

此外，通過添加或減去任何復數及其共軛，我們得到以下關係：

z + z ^* = 2a

因此

Re（z）= a =（ z + z ^* ）/ 2

同理：

z - z ^* =j2b

因此

IM（z）= b =（ z - z ^* ）/ 2j

證明：

或者將實部和虛部相乘並使用 j²= -1

Z Z^* =（A + jb）（a - jB）=一²+a j乙——甲 jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

Z Z^*= A + jb – a + jb =j2b

數值例子：

矩形：

z = + 3 j4

z^* = 3- j4

Z Z ^* = 9 + 16 = 25

極地形式

z = 5∠53.13°

z ^* = 5∠-53.13°

以指數形式：

加減

複數的加減法很簡單-我們只需要分別將實部和虛部相加即可。例如，如果

z₁ = 3 - 4j 和 z₂= 2 + 3j

然後

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j -2年-3年j = 3 -2年-4年j - 3j = 1 - j7

顯然，對於這些操作，我們應該使用矩形形式。如果數字是以指數或極坐標形式給出的，我們應該先使用歐拉公式將它們首先轉換為矩形形式，如前所述。

乘法

複數乘法有兩種方法–

以矩形形式給出的複數的乘法

要執行該運算，只需將一個數字的實部和虛部依次乘以另一個數的實部和虛部，然後使用標識 j²= -1。

z₁z₂ =（a₁ + jb₁）（一個₂ + jb₂）= a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

當用數字給出複數時，不必使用上面的公式。例如，讓我們

z₁ = 3 - 4j 和 z₂= 2 + 3j

通過直接乘法組件：

z₁z₂ =（3 - 4j）（2 + 3j）= 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

或使用公式： z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j （-8 + 9）= 18 + j

我們認為如果使用公式，則比使用直接乘法組件時更容易出錯。

{TINA口譯員的解決方案}
z1：= 3-4 *Ĵ
z2：= 2 + 3 *Ĵ
z1 * z2 = [18 + 1 * j]的

#Python 解決方案：
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c

z1=複數('3-4j')
z2=複數('2+3j')
打印(“z1*z2=”,z1*z2)

以極性或指數形式給出的複數的乘法

要執行此操作，請將絕對值相乘並添加兩個複數的角度。讓：

然後使用指數函數的乘法規則：

或以極地形式

z₁ z₂ = r₁ r₂ φ₁+φ₂

注意：我們在計算時已使用此規則 Z Z ^*以上。由於共軛的角度與原始角度的符號相反，因此復數乘以其自身的共軛始終是實數；即其絕對值的平方： Z Z ^*= r²

例如，讓：

z₁ = 5∠30°和 z₂ = 4∠-60°

然後

z₁z₂ = 20∠-30°

或以指數形式

當數字是極性或指數形式時，乘法顯然更簡單。

但是，如果復數是以矩形形式給出的，則應考慮如上所示直接執行乘法，因為如果在將數字相乘之前將其轉換為極坐標形式，則還有其他步驟。要考慮的另一個因素是您希望答案是矩形形式還是極地/指數形式。例如，如果兩個數字均為矩形，但您希望它們的乘積為極性形式，則有必要立即將它們轉換然後相乘。

司

複數的除法有兩種：

以矩形形式給出的複數除法

要執行該運算，請將分子和分母乘以分母的共軛。分母變為實數，並且除法被減小為兩個複數的乘積，再除以實數，即分母的絕對值的平方。

例如，讓：

z₁ = 3 - 4j 和 z₂= 2 + 3j

讓我們用TINA的口譯員檢查這個結果：

{TINA口譯員的解決方案}
z1：= 3-4 *Ĵ
z2：= 2 + 3 *Ĵ
z1 / z2 = [ - 461.5385m-1.3077 * j]的

#Python 解決方案：
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c

z1=複數('3-4j')
z2=複數('2+3j')
打印（“z1/z2=”，z1/z2）

以極性或指數形式給出的複數除法

要執行操作，請除以絕對值（幅度）並從分子的角度減去分母的角度。讓：

然後使用指數函數的除法規則

或以極地形式

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁ - φ ₂

例如，讓：

z ₁ = 5 ∠30°和 z ₂ = 2 ∠-60°

然後

z ₁ / z₂ = 2.5∠90°

或以指數和矩形形式

讓我們用TINA的口譯員檢查這個結果：

{TINA口譯員的解決方案}
z1：= 5 * EXP（j * degtorad（30））
z2：= 2 * EXP（j * degtorad（-60））
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]的

#Python 解決方案：
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c

z1=5*(c.exp(複數(0,m.弧度(30))))
z2=2*(c.exp(複數(0,m.弧度(-60))))
打印（“z1/z2=”，z1/z2）

當數字為極數或指數形式時，除法顯然更簡單。

但是，如果復數是以矩形形式給出的，則應考慮如上所述使用複共軛方法直接執行除法，因為如果在將數字進行除法之前將其轉換為極坐標形式，則還有其他步驟。要考慮的另一個因素是您希望答案是矩形形式還是極地/指數形式。例如，如果兩個數字均為矩形，但您希望它們的商為極形式，則有必要立即將它們轉換然後除以。

現在讓我們通過更多數值問題來說明復數的使用。像往常一樣，我們將使用TINA的Interpreter檢查我們的解決方案。解釋器使用弧度，但它具有將弧度轉換為度數的標準函數，反之亦然。

例如1 找到極地代表：

z = 12 - j 48

或49.48∠– 75.96°

{TINA口譯員的解決方案}
Z：= 12-J * 48;
ABS（Z）= [49.4773]
弧（Z）= [ - 1.3258]
radtodeg（弧（Z））= [ - 75.9638]

#Python 解決方案：
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c

z=12-複數(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“度(arc(z))=”,m.度(c.phase(z)))

例如2 找到矩形表示：

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{TINA口譯員的解決方案}
Z：= 25 * EXP（j *（degtorad（125）））;
Z = [ - + 14.3394 20.4788 * j]的
的Re（Z）= [ - 14.3394]
IM（Z）= [20.4788]

#Python 解決方案：
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c

z=25*c.exp(複數(0,m.弧度(125)))
打印（“z =”，z）
print(“實數(z)=”,z.real)
打印（“imag（z）=”，z.imag）

例如3 找到以下複數的極坐標表示：

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

這四個數字的絕對值相同，因為絕對值與符號無關。只有角度不同。

{TINA口譯員的解決方案}
z1：= 12 + J * 48;
ABS（z1）= [49.4773]
弧（z1）= [1.3258]
radtodeg（弧（z1））= [75.9638]

z2：= 12-J * 48;
ABS（z2）= [49.4773]
弧（z2）= [ - 1.3258]
radtodeg（弧（z2））= [ - 75.9638]

z3：= - 12 + J * 48;
ABS（z3）= [49.4773]
弧（z3）= [1.8158]
radtodeg（弧（z3））= [104.0362]

z4：= - 12-J * 48：
ABS（z4）= [49.4773]
弧（z4）= [ - 1.8158]
radtodeg（弧（z4））= [ - 104.0362]

#Python 解決方案：
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c

z1=複數('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“弧(z1)=”,c.phase(z1))
print(“度(arc(z1))=”,m.度(c.phase(z1)))

z2=複數('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“弧(z2)=”,c.phase(z2))
print(“度(arc(z2))=”,m.度(c.phase(z2)))

z3=複數('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“弧(z3)=”,c.phase(z3))
print(“度(arc(z3))=”,m.度(c.phase(z3)))

z4=複數('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“弧(z4)=”,c.phase(z4))
print(“度(arc(z4))=”,m.度(c.phase(z4)))

TINA的arc（）函數確定任何復數的角度，然後自動將其正確正確放置在四個像限之一中。

但是，要小心使用棕褐色^-1 用於查找角度，因為僅在第一和第四象限（–90°φ<90°）。

自 z₁位於坐標系的第一象限，計算如下：

α₁ =棕褐色^-1（48 / 12）=棕褐色^-1（4）= 75.96°

自 z₄棕褐色位於坐標系的第三象限^-1不能正確返回角度。角度計算是：

α₄ = 180°+ 75.96°= 255.96°或-360°+ 255.96°= – 104.04°，與TINA計算得出的相同。

z₂位於坐標系的第四象限角度計算是：

α₂ =棕褐色^-1（-48 / 12）=棕褐色^-1（-4）= - 75.96°

z_3,但是，在坐標系的2nd象限中，所以棕褐色^-1沒有正確返回角度。角度計算是：

α₃ = 180°-75.96°= 104.04°。

例如4 我們有兩個複數： z₁= 4 - j 6和 z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

發現 z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

首先，我們使用TINA的Interpreter解決問題

{TINA口譯員的解決方案}
z1：= 4-J * 6;
z2：= 5 * EXP（j * degtorad（45））;
z3：= z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]的
z4：= z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]的
z5：= z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]的
z6：= z1 / z2;
z6 = [ - 282.8427m-1.4142 * j]的

注意TINA如何毫不費力地處理以不同形式給出的兩個複數。

如果沒有解釋程序，解決方案將更加複雜。為了能夠比較不同的乘法和除法，我們將首先確定 z₁ 和矩形的 z₂.