KIRCHHOFF在交流電路中的法律

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THÉVENIN和NORTON等效電路

交流電路中的節點電位和網狀電流法

正如我們已經看到的，具有正弦激勵的電路可以使用 复阻抗 對於元素和 複雜的高峰 or 複雜 均方根值 用於電流和電壓。使用基爾霍夫定律的複數值版本，可以採用節點和網格分析技術以類似於直流電路的方式求解交流電路。在本章中，我們將通過基爾霍夫定律的例子來說明這一點。

例如1

求出電流i的幅度和相角_vs（t）的 if
v_S（t）= V._SM cos 2p英尺; 我（t）=我_SM cos 2p英尺; V_SM = 10 V; 一世_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5歐姆; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

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我們總共有10個未知的電壓和電流，即：i，i_C1中，_R中，_L中，_C2在_C1在_R在_L在_C2 和v_IS。（如果我們對電壓和電流使用複雜的峰值或均方根值，則總共有20個實數方程！）

方程式：

循環或網格方程：for M₁ - V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_主義 = 0

歐姆定律 V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

N的節點方程₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

對於系列元素 I = I_C1M

解決方程組，您可以找到未知電流：

i_vs （t）= 1.81 cos（wt + 79.96°）一個

解決如此龐大的複雜方程組非常複雜，因此我們沒有詳細顯示。每個複數方程都產生兩個實數方程，因此我們僅通過TINA解釋器計算的值來顯示解決方案。

使用TINA的解釋器的解決方案：

{TINA口譯員的解決方案}
OM：= 20000 * PI;
VS：= 10;
方法是：= 1;
系統Ic1，Ir，IL，Ic2，Vc1，Vr，VL，Vc2，Vis，Ivs
Vs=Vc1+Vr{M1}
Vr=VL{M2}
Vr=Vc2{M3}
Vc2=可見光{M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is{N1}
{歐姆定律}
Ic1 = j的* OM * C1 * Vc1
VR = R *銥
VL = j的* OM * L * IL
Ic2 = j的* OM * C2 * Vc2
IVS = Ic1
結束;
IVS = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]的
ABS（IVS）= [1.8089]
fiIvs：= 180 *弧（IVS）/ PI
fiIvs = [79.9613]

#Python解決方案
將 sympy 導入為 s
將 cmath 導入為 c
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=20000*c.pi
VS=10
是=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2),#M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
打印（IVS）
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

使用TINA的解決方案：

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要用手解決此問題，請使用複數阻抗。例如，R，L和C₂ 並聯連接，因此您可以通過計算並聯等效值來簡化電路。 || 表示阻抗的等效並聯：

數值：

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使用阻抗的簡化電路：

有序形式的方程： I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

有四個未知數- I; I_Z; V_C1; V_Z –並且我們有四個方程，因此有可能解決。

特快 I 在從等式中替換其他未知數之後：

數控

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根據TINA的口譯員的結果。

{使用阻抗Z的解決方案}
OM：= 20000 * PI;
VS：= 10;
方法是：= 1;
Z：= replus（R，replus（j * OM * L，1 / J / OM / C2））;
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]的
我
我= j的* OM * C1 *（VS-Z *（I + IS））
結束;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]的
ABS（I）= [1.8089]
180 *弧（I）/ PI = [79.9613]

#Python解決方案
將 sympy 導入為 s
將 cmath 導入為 c
Replus= 拉姆達 R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
VS=10
是=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
打印('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[複數(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,I))[0]][0]
打印（“我=”，cp（I））
print(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.phase(I)/c.pi=”,cp(180*c.phase(I)/c.pi))

那麼，電流的時間函數為：

i（t）= 1.81 cos（wt + 80°）一個

您可以使用相量圖檢查基爾霍夫的當前規則。下圖是通過檢查i中的節點方程而開發的_Z = i + i_G1形成。第一個圖顯示了由平行四邊形規則相加的相量，第二個圖顯示了相量相加的三角形規則。

現在讓我們使用TINA的相量圖功能演示KVR。由於等式中的源電壓為負，因此將電壓表“向後”連接。相量圖說明了基爾霍夫電壓定律的原始形式。

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第一個相量圖使用平行四邊形規則，而第二個相量圖使用三角形規則。

以V形式說明KVR_C1 + V._Z - V._S = 0時，我們再次將電壓表反向連接到電壓源。您可以看到相量三角形是閉合的。

請注意，TINA允許您使用正弦或餘弦函數作為基本函數。根據所選的功能，在相量圖中看到的複振幅可能相差90º。您可以在“查看”，“選項”，“ AC的基本功能”下設置基本功能。在我們的示例中，我們始終以餘弦函數為基礎。

例如2

查找滿足以下條件的所有組件的電壓和電流：

v_S（t）= 10 cos wt V， i_S（t）= 5 cos（w t + 30°）mA;

C₁ = 100 nF， C₂ = 50 nF， R₁ = R.₂ = 4 k; L = 0.2 H， f = 10 kHz。

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令未知數為“無源”元件的電壓和電流以及電壓源的電流的複峰值（i_VS）和電流源的電壓（v_IS）。總共有十二個複雜的未知數。我們有三個獨立的節點，四個獨立的循環（標記為M_I）和五個可以用五個“歐姆定律”表徵的無源元素-總共有3 + 4 + 5 = 12個等式：

節點方程對於N.₁ I_VSM = I_R1M +我_C2M

對於N.₂ I_R1M = I_LM +我_C1M

對於N.₃ I_C2M +我_LM +我_C1M +I_sM = I_R2M

循環方程對於M.₁ V_SM = V._C2M + V._R2M

對於M.₂ V_SM = V._C1M + V._R1M+ V._R2M

對於M.₃ V_LM = V._C1M

對於M.₄ V_R2M = V._主義

歐姆定律 V_R1M = R.₁*I_R1M

V_R2M = R.₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

不要忘記，任何復雜的方程都可能導致兩個實方程，因此Kirchhoff的方法需要進行許多計算。使用微分方程組（此處不討論）解決電壓和電流的時間函數要簡單得多。首先，我們顯示由TINA的口譯員計算的結果：

{TINA口譯員的解決方案}
F：= 10000;
VS：= 10;
S：= 0.005 * EXP（j * PI / 6）;
OM：= 2 * PI * F;
sys ir1，ir2，ic1，ic2，iL，vr1，vr2，vc1，vc2，vL，vis，ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=可見 {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
結束;
ABS（vr1）= [970.1563m]
ABS（vr2）= [10.8726]
ABS（ic1）= [245.6503u]
ABS（ic2）= [3.0503m]
ABS（vc1）= [39.0965m]
ABS（vc2）= [970.9437m]
ABS（IL）= [3.1112u]
ABS（VL）= [39.0965m]
ABS（IVS）= [3.0697m]
180 + radtodeg（弧（IVS））= [58.2734]
ABS（VIS）= [10.8726]
radtodeg（弧（VIS））= [ - 2.3393]
radtodeg（弧（vr1））= [155.1092]
radtodeg（弧（vr2））= [ - 2.3393]
radtodeg（弧（ic1））= [155.1092]
radtodeg（弧（ic2））= [ - 117.1985]
radtodeg（弧（vc2））= [152.8015]
radtodeg（弧（vc1））= [65.1092]
radtodeg（弧（IL））= [ - 24.8908]
radtodeg（弧（VL））= [65.1092]

#Python解決方案
將 sympy 導入為 s
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
F = 10000
VS=10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
打印（“abs（vr1）=”，cp（abs（vr1）））
打印（“abs（vr2）=”，cp（abs（vr2）））
打印（“abs（ic1）=”，cp（abs（ic1）））
打印（“abs（ic2）=”，cp（abs（ic2）））
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+度(相位(ivs))=”,cp(180+m.度(c.相位(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“度(相位(vis))=”,cp(m.度(c.相位(vis))))
print(“度(相位(vr1))=”,cp(m.度(c.相位(vr1))))
print(“度(相位(vr2))=”,cp(m.度(c.相位(vr2))))
print(“度(相位(ic1))=”,cp(m.度(c.相位(ic1))))
print(“度(相位(ic2))=”,cp(m.度(c.相位(ic2))))
print(“度(相位(vc2))=”,cp(m.度(c.相位(vc2))))
print(“度(相位(vc1))=”,cp(m.度(c.相位(vc1))))
print(“度(相位(iL))=”,cp(m.度(c.相位(iL))))
print(“度(相位(vL))=”,cp(m.度(c.相位(vL))))

現在嘗試使用替換手動簡化方程式。第一個等式9。進入式5

V_S = V._C2 + R₂ I_R2一個。）

然後是eq.8和eq.9。進入eq 5。

V_S = V._C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 灣）

然後是eq 12。，eq。 10。和我_L來自eq。 2到eq.6。

V_C1 = V._L = jw李_L = jwL（我_R1 - 一世_C1）= jw李_R1 -jw令wC₁ V_C1