基爾霍夫的法律

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疊加定理

節點潛在方法

許多電路過於復雜，無法使用上一章中描述的串聯或併聯電路規則或轉換為更簡單電路的技術來解決。對於這些電路，我們需要更通用的解決方法。基爾霍夫定律給出了最通用的方法，該定律允許通過線性方程組的解來計算電路的所有電路電壓和電流。

那裡有兩個基爾霍夫定律，電壓定律和當前法。這兩個定律可用於確定電路的所有電壓和電流。

基爾霍夫（Kirchhoff）的電壓定律（KVL）指出，環路的電壓上升和電壓下降的代數和必須為零。

上述定義中的迴路表示電路中的閉合路徑；也就是說，一條路徑沿一個方向離開一個節點，並從另一個方向返回到同一節點。

在我們的示例中，我們將使用順時針方向進行循環；但是，如果使用逆時針方向，將獲得相同的結果。

為了沒有錯誤地應用KVL，我們必須定義所謂的參考方向。未知電壓的參考方向從假定電壓的+號指向–號。想像一下使用電壓表。您可以將電壓表的正極探頭（通常為紅色）放在組件的參考+端子上。如果實際電壓為正，則其方向與我們假定的方向相同，並且我們的解決方案和電壓表都將顯示為正值。

在推導電壓的代數和時，必須給參考方向與環路方向一致的那些電壓分配一個加號，在相反情況下給它們分配負號。

陳述基爾霍夫電壓定律的另一種方法是：串聯電路的施加電壓等於串聯元件兩端的壓降之和。

以下簡短示例說明了基爾霍夫電壓定律的使用。

找出電阻R兩端的電壓_2, 鑑於源電壓，V_S = 100 V，電阻R兩端的電壓₁是V₁ = 40 V.

下圖可以使用TINA Pro版本6及更高版本創建，其中原理圖編輯器中提供了繪圖工具。

使用基爾霍夫電壓定律的解決方案： -V_S + V.₁ + V.₂= 0或V_S = V.₁ + V.₂

因此： V₂ = V._S - V.₁ = 100-40 = 60V

請注意，通常我們不知道電阻器的電壓（除非我們對其進行測量），因此我們需要使用基爾霍夫定律。

基爾霍夫電流定律（KCL）指出，進入和離開電路中任何節點的所有電流的代數和為零。

接下來，我們給離開節點的電流加上一個+號，給進入節點的電流給一個–號。

這是一個說明基爾霍夫現行法律的基本示例。

找到當前的我₂ 如果源電流 I_S = 12 A，和我₁ = 8 A.

在圓圈節點使用基爾霍夫現行定律： -I_S +我₁ +我₂ = 0，因此： I₂= I_S - 一世₁ = 12 - 8 = 4 A，你可以用TINA查看（下圖）。

在下一個示例中，我們將同時使用基爾霍夫定律和歐姆定律來計算電阻兩端的電流和電壓。

在下圖中，您會注意到 電壓箭頭 以上電阻器。這是一個新的組件 TINA的版本6類似於電壓表。如果將其連接到組件上，則箭頭將確定參考方向（與電壓表進行比較，請想像將紅色探針放在箭頭的尾部，將黑色探針放在尖端）。運行直流分析時，組件上的實際電壓將顯示在箭頭上。

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要開始使用基爾霍夫電流定律，我們看到所有組件的電流都相同，因此我們用I表示該電流。

根據基爾霍夫電壓定律： V_S = V.₁+V₂+V₃

現在使用歐姆定律： V_S= I * R₁+ I * R.₂+ I * R.₃

從這裡開始，電路的電流為：

I = V_S/（R₁+R₂+R₃）= 120 /（10 + 20 + 30）= 2 A.

最後，電阻的電壓：

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R.₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R.₃ = 2 * 30 = 60 V.

只需運行TINA的交互式DC分析，即可在電壓箭頭上看到相同的結果。

在下一個更複雜的電路中，我們同時使用基爾霍夫定律和歐姆定律，但是我們發現我們最多求解線性方程組。

電路中基爾霍夫定律的獨立應用總數是電路分支的數目，而未知數的總數（每個分支的電流和電壓）是該數目的兩倍。但是，通過在每個電阻上也使用歐姆定律通過簡單的方程式定義施加的電壓和電流，我們得到一個方程式系統，其中未知數與方程式數量相同。

查找支路電流I1，I2，I3 在下面的電路中。

單擊/點擊上面的電路以在線分析，或單擊此鏈接以在Windows下保存

方程組如下：

圓圈節點的節點方程：

- I₁ - I₂- 一世₃ = 0

或乘以-1

I₁+ I₂+我₃ = 0

迴路L1的迴路方程式（使用順時針方向），包含V₁，R₁ 和R.₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

對於包含V的循環L2₂，R₂ 和R.₃

I₃*R₃ - 一世₂*R₂ +V₂ = 0

替換組件值：

I₁+我₂+我₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 *我₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

表達我₁ 使用節點方程：我₁ = -I₂ - 一世₃

然後將其替換為第二個等式：

-V₁- （一世₂ +我₃）* R₁ -I₃*R₃ = 0 or -8-（我₂ +我₃）* 40 - 我₃* 40 = 0

表達我₂ 並將其代入第三個方程式，您已經可以計算出₃:

I₂ = –（V₁ +我₃*（R₁+R₃））/ R₁ or I₂ = - （8 + I₃* 80）/ 40

I₃*R₃ + R₂*（V₁ +我₃*（R₁+R₃））/ R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 *（8 + I₃* 80）/ 40 + 16 = 0

和： I₃ = –（V₂ + V.₁*R₂/R₁）/（R₃+（R₁+R₃）* R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

因此 I₃ = – 0.25安; I₂ = - （8-0.25 * 80）/ 40 = 0.3 A. 和 I₁ = –（0.3-0.25）= – 0.05 A

或者： I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA。

現在，讓我們用TINA的解釋器求解相同的方程式：

{TINA口譯員的解決方案}
系統I1，I2，I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
結束;
I1 = [ - 50m]
I2 = [300m]
I3 = [ - 250m]

#Python解決方案
將 numpy 導入為 np，將 sympy 導入為 s
#我們有一個線性系統
#我們想要解決的方程：
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
打印（溶膠）

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
打印(“I1=%.3f”%x[0])
#I2
打印(“I2=%.3f”%x[1])
#I3
打印(“I3=%.3f”%x[2])

最後讓我們檢查一下結果使用TINA：

接下來，讓我們分析以下更複雜的電路，並確定其支路電流和電壓。

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讓我們通過在組件上添加電壓和電流箭頭來表示未知的電壓和電流，並顯示將使用基爾霍夫方程的環路（L1，L2，L3）和節點（N1，N2）。

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這是一套循環（使用順時針方向）和節點的Kirchhoff方程。

-I_L+我_R1- 一世_s= 0（對於N1）

- 一世_R1+我_R2+我_s3 = 0 （對於N2）

-V_s1- V._R3+ V._Is+ V._L = 0 （對於L1）

-V_Is+ V._s2 +V_R2+V_R1 = 0 （對於L2）

-V_R2- V._s2+ V._s3 = 0 （對於L3）

應用歐姆定律：

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = –我_L*R₃

這是9個未知數和9個方程式。解決此問題的最簡單方法是使用TINA

口譯員。但是，如果我們被迫使用手工計算，我們會注意到，通過將最後的四個方程式代入L5，L4，L1循環方程式，可以輕鬆地將這組方程式簡化為2個未知數的系統。此外，通過添加方程式（L3）和（L2），我們可以消除V._Is，將問題減少到4未知數的4方程組（I_L,I_R1 I_R2，I_s3）。找到這些電流後，我們可以輕鬆確定V_L， V_R1，V_R2，和V._R3 使用最後四個方程（歐姆定律）。

代入V_L,V_R1，V_R2 ,V_R3 :

-I_L+我_R1- 一世_s= 0（對於N1）

- 一世_R1+我_R2+我_s3 = 0 （對於N2）

-V_s1+我_L*R₃+ V._Is+我_L*R_L = 0 （對於L1）

-V_Is+ V._s2 +我_R2*R₂+我_R1*R₁ = 0 （僅限 L2）

- 一世_R2*R₂- V._s2+ V._s3 = 0 （對於L3）

添加（L1）和（L2）我們得到

-I_L+我_R1- 一世_s= 0（對於N1）

- 一世_R1+我_R2+我_s3 = 0 （對於N2）

-V_s1+我_L*R₃+我_L*R_L + V._s2 +我_R2*R₂+我_R1*R₁ = 0 （L1）+（L2）

- 一世_R2*R₂- V._s2+ V._s3 = 0 （對於L3）

替換了分量值之後，這些方程式的解就很容易了。

-I_L+I_R1- 2 = 0 （對於N1）

-I_R1 +我_R2 +我_S3 = 0 （對於N2）

-120 – +我_L* 90 +我_L* 20 + 60 + I._R2* 40 +我_R1* 30 = 0（L₁）+（長₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 （對於L.₃)

來自L.₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A. （I）

從N.₂ I_S3 - 一世_R1 =-5.25 （II）

來自L.₁+L₂ 我110_L + 30我_R1 = -150 （III）

對於N.₁ I_R1 - 一世_L = 2 （IV）

通過-30乘以（IV）並添加到（III）我140_L = -210 於是 I_L = – 1.5安

替換我_L 進入（IV） I_R1 = 2 +（ - 1.5）= 0.5 A.

和我_R1 加到（II） I_S3 = -5.25 + I._R1 = -4,75 A.

和電壓： V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = –我_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = – 30 V； V_Is = V._S1+V_R3-V_L = 285 V.

{TINA的口譯員對原始方程的求解}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-IS + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 +顯示-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
結束;
IL = [ - 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [ - 4.75]
的VI = [285]
VL = [ - 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Python解決方案
#Ax=b
將 numpy 導入為 np，將 sympy 導入為 s
#使用 numpy.solve 的符號解
#方程式：
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-可見-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#解決：
#IL,IR1,IR2,
#Is3，可見光，VL，
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL，
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-可見-VL，
VR1+VR2+Vs2-可見光，
VR2+Vs2-Vs3，
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
打印（溶膠）

#使用numpy.linalg解決的另一種方法
A=np.數組(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1]
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] 可見=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
打印(“IL=%.3f”%x[0])
打印(“IR1=%.3f”%x[1])
打印(“IR2=%.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis=%.3f”%x[4])
打印(“VL=%.3f”%x[5])
打印(“VR1=%.3f”%x[6])
打印(“VR2=%.3f”%x[8])
打印(“VR3=%.3f”%x[7])

使用解釋器求解簡化的方程組：

{TINA的口譯員對簡化的方程組的求解}
系統II，Ir1，Ir2，Is3
-il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
結束;
IL = [ - 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [ - 4.75]

我們還可以輸入電壓的表達式，並讓TINA的解釋器計算它們：

IL：= - 1.5;
Ir1：= 0.5;
Ir2：= 5.25;
Is3：= - 4.75;
VL：= 11 * RL;
Vr1：= Ir1 * R1
Vr2：= Ir2 * R2;
Vr3：= - 金正日* R3;
的VI：= Vs1-VL + Vr3;
VL = [ - 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
的VI = [285]

我們可以通過簡單地打開TINA的直流交互模式或使用分析/直流分析/節點電壓來使用TINA檢查結果

疊加定理

節點潛在方法