網格和循環電流方法

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簡化基爾霍夫方程組的另一種方法是網格或環路電流法。 使用這種方法,可以自動滿足基爾霍夫的電流定律,並且我們編寫的環路方程也滿足基爾霍夫的電壓定律。 滿足基爾霍夫電流定律的方法是,為電路的每個獨立環路分配稱為網格或環路電流的閉合電流環路,並使用這些電流表示電路的所有其他數量。 由於迴路電流是閉合的,因此流入節點的電流也必須流出該節點。 因此,用這些電流寫節點方程式可導致恆等式。

讓我們首先考慮網格電流的方法。

我們首先註意到,網格電流方法僅適用於“平面”電路。 平面電路在平面上繪製時沒有交叉導線。 通常,通過重畫看似非平面的電路,可以確定它實際上是平面的。 對於非平面電路,請使用 迴路電流法 本章後面會介紹。

為了解釋網格電流的概念,可將電路的分支想像為“漁網”,然後將網格電流分配給網絡的每個網格。 (有時也有人說在電路的每個“窗口”中都分配了一個閉合電流環路。)

原理圖

“漁網”或電路圖

用一個簡單的圖表示電路的技術,稱為 圖表,功能非常強大。 以來 基爾霍夫定律不取決於組件的性質,您可以忽略具體組件,並用簡單的線段代替它們,稱為 分館 圖的 用圖形表示電路允許我們使用數學技術 圖論。 這有助於我們探索電路的拓撲性質並確定獨立的環路。 稍後返回此站點以閱讀有關該主題的更多信息。

網格電流分析的步驟:

  1. 為每個網格分配網格電流。 儘管方向是任意的,但習慣上使用順時針方向。

  2. 在每個網格周圍以與網格電流相同的方向應用基爾霍夫電壓定律(KVL)。 如果電阻器有兩個或更多的網格電流通過,則通過該電阻器的總電流將計算為網格電流的代數和。 換句話說,如果流過電阻器的電流的方向與環路的網狀電流的方向相同,則它的正號為正,否則為負。 像往常一樣考慮電壓源。如果它們的方向與網格電流相同,則在KVL方程中將它們的電壓視為正,否則為負。 通常,對於電流源,只有一個網狀電流流過該源,並且該電流的方向與該源的電流相同。 如果不是這種情況,請使用本章稍後介紹的更通用的環路電流方法。 對於包含分配給電流源的網格電流的迴路,無需編寫KVL方程。

  3. 求解網格電流的結果循環方程。

  4. 使用網格電流確定電路中任何需要的電流或電壓。

讓我們說明一下 該方法通過以下示例:

在下面的電路中找到當前的I。


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我們看到該電路中有兩個網格(或左右窗口)。 讓我們分配順時針網格電流J1 和J2 到網格。 然後我們寫出KVL方程,用歐姆定律表示電阻兩端的電壓:

-V1 + J.1*(Ri1+R1) - J2*R1 = 0

V2 - J.1*R1 + J.2*(R + R1)= 0

數值:

-12 + J.1* 17 - J.2* 2 = 0

6 - Ĵ1* 2 + J.2* 14 = 0

快遞J1 從第一個等式: J1 = 然後代入第二個方程式: 6 - 2 * + 14 *∫2 = 0

乘以17: 102 – 24 + 4 * J2 + 238 * J2 = 0 於是 J2 =

和J1 =

最後,所需的電流:

{使用TINA的翻譯器解決方案}
{Mesh current method}
Sys J1,J2
J1*(Ri1+R1)-J2*R1-V1=0
J1*R1+J2*(R1+R)+V2=0
結束;
J1 = [666.6667m]
J2 = [ - 333.3333m]
I:= J1-J2;
I = [1]
#Python解決方案!
將 numpy 導入為 n
#使用網格電流方法!
#我們有一個想要求解的線性方程組
#對於 I1,I2:
#I1*(Ri1+R1)+I2*Ri1-V1=0
#-V1+I1*Ri1+I2*(Ri1+R)+V2=0
#寫出係數矩陣:
A=n.array([[Ri1+R1,Ri1],[Ri1,Ri1+R]])
#寫出常量矩陣:
b=n.array([V1,V1-V2])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1=x[0]
I2=x[1]
打印(“I1=%.3f”%I1)
打印(“I2=%.3f”%I2)
我=I1
打印(“I=%.3f”%I)

讓我們用TINA檢查結果:


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接下來,讓我們再次解決前面的示例,但使用更通用的方法 迴路電流的方法。 使用此方法,關閉電流循環,稱為 迴路電流 不一定分配給電路的網格,而是任意分配 獨立循環。 您可以通過在每個循環中至少包含一個不包含在任何其他循環中的組件來確保這些循環是獨立的。 對於平面電路,獨立迴路的數量與網格的數量相同,這很容易看到。

確定獨立迴路數的更精確方法如下。

給定一個電路 b 分支機構 N 節點。 獨立循環數 l 是:

l = b –N + 1

這是由於以下事實:獨立的基爾霍夫方程組的數量必須等於電路中的分支,並且 我們已經知道只有 N-1 獨立節點方程。 因此,基爾霍夫方程的總數為

b = N-1 + l 因此 l = b –N + 1

該方程式也遵循圖論的基本定理,稍後將在此站點進行描述。

現在,讓我們通過使用循環電流方法再次解決上一個示例,但更簡單。 通過這種方法,我們可以自由地在網格或其他任何循環中使用循環,但讓循環與J一起使用1 在電路的左側網格中。 但是,對於第二個循環,我們選擇帶有J的循環2, 如下圖所示。 這種選擇的優點是J1 它將等於要求的電流I,因為它是流經R1的唯一環路電流。 這意味著我們不需要計算J2 在所有。 請注意,與“實際”電流不同,迴路電流的物理含義取決於我們將其分配給電路的方式。


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KVL方程:

J1 *(R1+Ri1)+ J2 * R. i1 - V.1 = 0

-V1+ J1 * Ri1+ J2 *(R + Ri)+ V.2 = 0

和所需的電流:I = J.1

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 *(15 + 12)+ 6 = 0

從第二個等式表達J2:

替換為第一個等式:

因此: J1 = I = 1 A.

更多例子。

例如1

在下面的電路中找到當前的I。


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在該電路中,我們使用環路電流的方法。 在電路的左窗口中,我們採用一個環路電流,用 I 因為它等於要求的電流。 另一個環路電流等於Is1源電流,因此我們直接將其表示為
IS1.

請注意,該迴路電流的方向為 任何監管機構都不批准 順時針方向,因為其方向由電流源決定。 但是,由於已經知道了該環路電流,因此無需為環路寫KVL方程 IS1 被採取。

因此,唯一要解決的方程是:

-V1 + I * R.2 + R1 *(我–我S1)= 0

於是

我=(V1 + R1 *IS1)/(R1 + R2)

數控

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

您還可以從Analysis / Symbolic Analysis / DC Result菜單中調用TINA的符號分析生成此結果:


或者,您可以通過解釋器求解KVL方程:

{TINA口譯員的解決方案}
{使用網格電流方法}
謝謝我
-V1 + I * R2 + R1 *(I – IS1)= 0
結束;
I = [3]

以下示例具有3個電流源,並且很容易通過環路電流的方法解決。

例如2

找到電壓V.

在此示例中,我們可以選擇三個迴路電流,以便每個迴路僅流過一個電流源。 因此,所有三個環路電流都是已知的,我們只需要使用它們來表達未知電壓V。

通過R得到電流的代數和3:

V =(IS3 - 一世S2)* R3=(10-5)* 30 = 150V。您可以使用TINA:進行驗證。


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接下來,讓我們再次解決我們已經解決的問題 基爾霍夫定律節點潛力方法 章節。

例如3

求出電阻器R的電壓V.4.


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R1 = R.3 = 100 ohm,R2 = R.4 = 50 ohm,R5 = 20 ohm,R6 = 40 ohm,R7 = 75歐姆。

在前面的章節中,至少要解決4個方程。

用迴路電流的方法解決這個問題,我們有四個獨立的迴路,但是通過適當選擇迴路電流,迴路電流之一將等於源電流Is。

根據上圖所示的環路電流,環路方程為:

VS1+I4*(R5+R6+R7) - 一世S*R6 -I3*(R5 + R6)= 0

VS2 - 一世3*(R1+R2) - 一世S*R2 +我2*(R1 + R2)= 0

-VS1 +我3*(R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6)+我S*(R2 +R4 + R6) - 一世4*(R5 + R6) - 一世2*(R1 + R2)= 0

未知電壓 V 可以用環路電流表示:

V = R.4 * (一世2 +我3)

數值:

100 + I4* 135-2 40 *-I3* 60 = 0

150 + I2* 150-2 50 *-I3* 150 = 0

-100 + I3* 360 2 + 140 *-I4* 60-I2* 150 = 0

V = 50 *(2 + I3)

我們可以使用克萊默法則來求解該方程組:

I4 = D.3/D

其中D是系統的決定因素。 D4, 我的決定因素4, 是通過將系統的右側替換為I的列而形成的4的係數。

有序形式的方程組:

– 60 *我3 + 135 * I4= -20

150 * I2-150 * I3 =-50

-150 * I2+ 360 * I3 - 60 *我4=-180

所以 行列式 D:

這個方程組的解決方案是:

V = R.4*(2 + I3)= 34.8485 V.

您可以通過TINA計算的結果來確認答案。


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{使用TINA的翻譯器解決方案}
系統I2,I3,I4
Vs2+I2*(R1+R2)-R2*Is-I3*(R1+R2)=0
-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+Is*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
Vs1+I4*(R5+R6+R7)-Is*R6-I3*(R5+R6)=0
結束;
I2 = [ - 1.6364]
I3 = [ - 1.303]
I4 = [ - 727.2727m]
五:= R4 *(為+ I3);
V = [34.8485]
#Python解決方案!
將 numpy 導入為 n
#我們有一個想要求解的線性方程組
#對於 I1、I2、I3、I4:
#I1=是
#Vs2+I2*(R1+R2)-R2*I1-I3*(R1+R2)=0
#-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+I1*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
#Vs1+I4*(R5+R6+R7)-I1*R6-I3*(R5+R6)=0
#寫出係數矩陣:
A=n.array([[1,0,0,0],[-R2,R1+R2,-(R1+R2),0],[R2+R4+R6,-(R1+R2),R1+R2+R3+R4+R5+R6,-(R5+R6)],[-R6,0,-(R5+R6),R5+R6+R7]])
#寫出常量矩陣:
b=n.array([Is,-Vs2,Vs1,-Vs1])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1,I2,I3,I4=x[0],x[1],x[2],x[3]
print(“I1= %.5f”%I1) #x[0]=I1
print(“I2= %.5f”%I2) #x[1]=I2
print(“I3= %.5f”%I3) #x[2]=I1
print(“I4= %.5f”%I4) #x[3]=I2
V=R4*(I1+I3)
打印(“V=%.5f”%V)

在此示例中,每個未知環路電流均為分支電流(I1,I3和I4); 因此,與TINA的DC分析結果進行比較,很容易檢查結果。


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