週期波形

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傅里葉定理 指出可以通過添加各種頻率的適當加權正弦和余弦項來合成任何週期波形。 該定理在其他教科書中已廣為人知,因此我們僅對結果進行總結並舉例說明。

令我們的周期函數為f(t)= f(t ±n T)其中T是一個週期的時間,n是整數。

w0= 2p/ T. 基本角頻率。

傅立葉定理, 週期函數可以寫為以下總和:

哪裡

An 和B.n傅里葉係數 總和是 傅立葉系列.

另一種形式,可能更實用:

哪裡

A0 = C.0 是DC或平均值A1,B1 和C.1 是基本成分,其他是諧波項。

雖然僅需幾個術語即可近似某些波形,而另一些則需要許多術語。

通常,包含的項越多,近似效果越好,但是對於包含階躍的波形(例如矩形脈衝), 吉布斯現象 發揮作用。 隨著項數的增加,過衝會集中在更短的時間內。

An 甚至功能 f(t)= f(-t)(軸對稱)僅需要餘弦項。

An 奇怪的功能 f(t)= – f(-t)(點對稱)僅需要正弦項。

帶有的波形 鏡面或半波對稱 只有 傅立葉表示中的諧波。

在這裡,我們將不處理傅立葉級數展開,而只會使用給定的正弦和余弦之和作為電路的激勵。

在本書的前幾章中,我們討論了正弦激勵。 如果電路是線性的,則 疊加定理 已驗證。 對於具有非正弦週期激勵的網絡,疊加使我們能夠 一次計算每個傅立葉正弦項引起的電流和電壓。 計算所有參數後,我們最終總結了響應的諧波分量。

確定週期性電壓和電流的不同項有點複雜,實際上,這可能會導致信息過載。 實際上,我們只想進行測量。 我們可以使用 諧波分析儀, 頻譜分析儀,波分析儀或傅立葉分析儀。 所有這些都是 複雜,可能會產生比所需更多的數據。 有時僅通過其平均值來描述週期信號就足夠了。 但是,有幾種平均測量值。

平均 價值

簡單平均 or DC 該術語在傅立葉表示中被視為A0

可以使用Deprez等工具測量該平均值 直流儀器。

有效的價值 or RMS (均方根)具有以下定義:

這是最重要的平均值,因為電阻器中的散熱與有效值成正比。 許多數字電壓表和一些模擬電壓表可以測量電壓和電流的有效值。

絕對平均值

這個平均值不再重要。 早期的儀器測量這種形式的平均值。

如果我們知道電壓或電流波形的傅立葉表示,我們還可以如下計算平均值:

簡單平均 or DC 該術語在傅立葉表示中被視為A0 = C.0

有效的價值 or RMS (均方根)在積分電壓的傅立葉級數後為:

克里爾因子 是平均值的非常重要的比率:

它是高次諧波項的有效值之比 到基本諧波的有效值:

這裡似乎有一個矛盾-我們根據諧波分量來求解網絡,但是我們測量的是平均數量。

讓我們通過簡單的例子說明方法:

例如1

找到時間函數和電壓v的有效(rms)值C(t)的


如果R = 5歐姆,則C = 10 mF和v(t)=(100 + 200 cos(w0t)+ 30 cos(3 w0t – 90°))V,其中基本角頻率為 w0= 30 krad / s。

嘗試使用疊加定理解決問題。

第一步是找到作為頻率函數的傳遞函數。 為簡單起見,請使用替換:s = j w

現在替換組件值,並s = jk w0其中k = 0; 1; 這個例子中的3和 w0= 30 krad / s。 在V,A,歐姆, mF和Mrad / s單位:

使用表格來組織數值解的步驟是有幫助的:

k

W(jk)=

0

1

3

我們可以在另一個表中總結疊加解決方案的步驟。 正如我們已經看到的,要找到一個分量的複數峰值,我們應該將激勵分量的複數峰值乘以復數傳遞函數的值:

k

V

W

VCk

0

100

1

100

1

200

0.55e-j56.3°

110e-j56.3°

3

30e-j90°

0.217e-j77.5°

6.51e-j167.5°

最後,我們可以給出時間函數,以了解組件的複雜峰值:

vC(t)= 100 + 110 cos(w0t - 56.3°)+ 6.51 cos(3w0t - 167.5°) V

電壓的均方根值(有效值)為:

如您所見,TINA的測量儀器可測量該均方根值。

例如2

找到時間函數和當前i(t)的有效(rms)值


如果R = 5歐姆,則C = 10 mF和v(t)=(100 + 200 cos(w0t)+ 30 cos(3w0t – 90°))V,其中基本角頻率為 w0= 30 krad / s。

嘗試使用疊加定理解決問題。


解決方案的步驟與示例1相似,但是傳遞函數不同。

現在用數值代替s = jk w0,其中k = 0; 1; 本例中為3。

在V,A,歐姆, mF和Mrad / s單位:

在數值解過程中使用表格會很有幫助:

k

W(jk)=

0

1

3

我們可以在另一個表中總結疊加的步驟。 正如我們已經看到的,要找到一個分量的峰值,我們應該將該激勵的該分量的複數峰值乘以復數傳遞函數的值。 使用激勵分量的複數峰值:

k

VSk

W(JK)

Ik

0

100

0

0

1

200

Ë0.162j33.7°

Ë32.4j33.7°

3

Ë30-j90°

Ë0.195j12.5°

Ë5.85-j77.5°

最後,了解組件的複雜峰值,我們可以陳述時間函數:

i(t)= 32.4 cos(w0t + 33.7°)+ 5.85 cos(3w0t - 77.5°) [一個]

T他的有效值是:

您通常可以對解決方案的一部分進行完整性檢查。 例如,電容器可以具有直流電壓,但是沒有直流電流。

例如3

獲得電壓V的時間函數ab if R1= 12 ohm,R2 = 14歐姆,L = 25 mH,並且


C = 200 mF.發電機電壓為v(t)=(50 + 80 cos(w0t)+ 30 cos(2 w0t + 60°))V, 其中基頻為f0 = 50 Hz。

第一步是找到傳遞函數:

用V,A,ohm,mH,mF,kHz單位替換數值:

合併兩個表:

k V Sk V ABK
0 5050
1 80Ë79.3-j66.3
2 30 ej60Ë29.7-j44.7

最後是時間函數:

vab(t)= 50 + 79.3 cos(w1t - 66.3°)+ 29.7 cos(2w1t - 44.7°) [V]

和均方根值:


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