交流電流原理

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正弦電壓可用以下公式描述:

v(t)= V.M sin(ωt+Φ)或v(t)= V.M cos(ωt+Φ)

哪裡V(t)的電壓的瞬時值,單位為伏特(V)。
 VM電壓的最大值或峰值,單位為伏特(V)
 T週期:一個週期所需的時間,以秒為單位
 f頻率 - 1秒的周期數,以Hz(赫茲)或1 / s為單位。 f = 1 / T.
 ω角頻率,以弧度/秒錶示
ω= 2 *π* f或ω= 2 *π/ T.
 Φ初始階段以弧度或度數給出。 此數量確定正弦或餘弦波att = 0的值。
  注意:正弦電壓的幅度有時表示為V.EFF,有效或RMS值。 這與V有關M 根據關係VM=√2VEFF, 或大約VEFF = 0.707 V.M

以下是一些說明上述術語的示例。

歐洲家用電源插座中220 V AC電壓的特性:

有效值:VEFF = 220 V.
峰值:VM=√2* 220 V = 311 V

頻率:f = 50 1 / s = 50 Hz
角頻率:ω= 2 *π* f = 314 1 / s = 314 rad / s
週期:T = 1 / f = 20 ms
時間函數:v(t)= 311 sin(314 t)

讓我們使用TINA的Analysis / AC Analysis / Time Function命令查看時間函數。

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您可以檢查週期是T = 20m和那個V.M = 311 V.

 

美國家用電源插座中120 V AC電壓的特性:

有效值:VEFF = 120 V.
峰值:VM=√2120V = 169.68V≈170V.
頻率:f = 60 1 / s = 60 Hz
角頻率:ω= 2 *π* f = 376.8 rad /s≈377rad / s
週期:T = 1 / f = 16.7 ms
時間函數:v(t)= 170 sin(377 t)

注意,在這種情況下,時間函數可以給出為v(t)= 311 sin(314 t +Φ)或v(t)= 311 cos(314 t +Φ),因為在出口電壓的情況下我們不知道初始階段。

當幾個電壓同時存在時,初始階段起著重要作用。 一個很好的實際例子是三相繫統,其中存在相同峰值,形狀和頻率的三個電壓,每個電壓相對於其他電壓具有120°相移。 在60 Hz網絡中,時間函數是:

vA(t)= 170 sin(377 t)

vB(t)= 170 sin(377 t – 120°)

vC(t)= 170 sin(377 t + 120°)

下圖用TINA顯示了具有這些時間功能的電路作為TINA的電壓發生器。


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電壓差vAB= vA(t)– vB(t)顯示為通過TINA的分析/ AC分析/時間功能命令解決。

注意v的峰值AB (t)約為294 V,大於v的170 V峰值A(t)或vB(t)電壓,但也不僅僅是它們的峰值電壓之和。 這是由於相位差異。 我們將討論如何計算得到的電壓(即 Ö3 * 170 @ 本例後面的294)也在本章的後面 三相繫統 章。

正弦信號的特徵值

雖然交流信號在其周期內連續變化,但很容易定義一些特徵值來比較一個波與另一個波:這些是峰值,平均值和均方根(rms)值。

我們已經達到了峰值 VM ,這只是時間函數的最大值,正弦波的幅度。

有時使用峰 - 峰值(pp)值。 對於正弦電壓和電流,峰峰值是峰值的兩倍。

平均值 正弦波的值是正半週期值的算術平均值。 它也被稱為 絕對平均值 因為它與波形絕對值的平均值相同。 在實踐中,我們遇到這個波形 整流 帶有稱為全波整流器的電路的正弦波。

可以證明,正弦波的絕對平均值是:

VAV= 2 /πVM ≅0.637V.M

請注意,整個週期的平均值為零。
正弦電壓或電流的均方根或有效值對應於產生相同加熱功率的等效DC值。 例如,有效值為120 V的電壓在燈泡中產生與來自DC電壓源的120 V相同的加熱和照明功率。 可以證明正弦波的rms或有效值是:

VRMS = V.M /√2≅0.707V.M

對於電壓和電流,可以以相同的方式計算這些值。

有效值在實踐中非常重要。 除非另有說明,否則電源線AC電壓(例如110V或220V)以rms值給出。 大多數交流電錶都以均方根校準,表示有效值水平。

例如1 使用220 V rms值找出電網中正弦電壓的峰值。

VM = 220 / 0.707 = 311.17V

例如2 使用110 V rms值找出電網中正弦電壓的峰值。

VM = 110 / 0.707 = 155.58V

例如3 如果其有效值為220 V,則求出正弦電壓的(絕對)平均值。

Va = 0.637 * V.M = 0.637 * 311.17 = 198.26V

例如4 如果其有效值為110 V,則求出正弦電壓的絕對平均值。

示例2的電壓峰值為155.58 V,因此:

Va = 0.637 * V.M = 0.637 * 155.58 = 99.13V

例如5 找出絕對平均值之間的比率(V.a)和正弦波形的均方根(V)值。

V / Va = 0.707 / 0.637 = 1.11

請注意,您無法在交流電路中添加平均值,因為它會導致不正確的結果。

相量

正如我們在前一節中已經看到的那樣,在交流電路中經常需要增加相同頻率的正弦電壓和電流。 雖然可以使用TINA以數字方式添加信號,或採用三角關係,但使用所謂的更方便 相量 方法。 相量是表示正弦信號的幅度和相位的複數。 重要的是要注意相量不代表頻率,對於所有相量必須相同。

相量可以作為複數處理或者在圖形上表示為複平面中的平面箭頭。 圖形表示稱為相量圖。 使用相量圖,您可以通過三角形或平行四邊形規則在復平面中添加或減去相量。

有兩種形式的複數: 矩形極性.

矩形表示在forma +中 jb,在哪裡 j = Ö-1是虛構的單位。

極性表示形式為Aej j ,其中A是絕對值(幅度)和 f 是相對於正實軸的相量在逆時針方向上的角度。

我們將使用 無所畏懼 複數的字母。

現在讓我們看看如何從時間函數中導出相應的相量。

首先,假設電路中的所有電壓都以餘弦函數的形式表示。 (所有電壓都可以轉換為那種形式。)然後 相量 對應於v(t)= V的電壓M COS( w t+f)是:VM = V.Me jf ,也稱為複雜峰值。

例如,考慮電壓:v(t)= 10 cos( w t + 30°)

相應的相量是: V

我們可以用相同的方式從相量計算時間函數。 首先,我們以極性形式編寫相量,例如 VM = V.Me jr 然後相應的時間函數是

V(噸)= VM (COS(wt+r).

例如,考慮相量 VM = 10 – j20V

將它帶到極地形式:

因此時間函數是:v(t)= 22.36 cos(wt - 63.5°)V

相量通常用於定義AC電路中電壓和電流的複數有效值或均方根值。 給定v(t)= V.MCOS(wt+r)= 10cos(wt + 30°)

數值:

v(t)= 10 * cos(wT-30°)

複數有效(rms)值: V = 0.707 * 10 * e - j30° = 7.07 e - j30° = 6.13 - j 3.535

反之亦然:如果電壓的複雜有效值是:

V = – 10 + j 20 = 22.36 e j 116.5°

那麼複雜的峰值:

和時間功能: v(t)= 31.63 cos( wt + 116.5° )V

上述技術的簡短說明如下。 給定時間功能
VM (COS(
w t+r),讓我們來定義 複雜的時間功能 如:

v (t)= V.M e jr e jwt = VMe jwt = V.M (COS(r)+ j 罪(r))電子 jwt

哪裡 VM =VM e j r t = V.M (COS(r)+ j 罪(r))只是上面介紹的相量。

例如,複數時間函數v(t)= 10 cos(wt + 30°)

v (t)= VMe jwt = 10 e j30 e jwt = 10e jwt (cos(30)+ j 罪(30))= e jwt (8.66 +j5)

通過引入複雜時間函數,我們有一個包含實部和虛部的表示。 我們總是可以通過獲取結果的實際部分來恢復原始的實際時間函數:v(t)= Re {v(T)}

然而,複雜時間函數具有很大的優點,因為所考慮的AC電路中的所有復雜時間函數具有相同的ejwt 乘數,我們可以將其考慮在內,並與相量器一起工作。 而且,在實踐中我們不使用ejwt 根本沒有關係–只是從時間函數到相量再到相移的轉換。

為了演示使用相量的優勢,讓我們看一下以下示例。

例如6 找出電壓的總和和差異:

v1 = 100 cos(314 * t) v2 = 50 cos(314 * t-45°)

首先寫出兩個電壓的相量:

V1M = 100 V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35

因此:

V添加 = V1M + V2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e– j 14.63°

V = V1M - V2M = 64.65 + j35.35 = Ë73.68 j 28.67°

然後是時間功能:

v添加(t)= 139.89 * cos(wt - 14.63°)

v(t)= 73.68 * cos(wt + 28.67°)

正如這個簡單的例子所示,phasors的方法是解決AC問題的極其強大的工具。

讓我們使用TINA解釋器中的工具解決問題。

{TINA口譯員的解決方案}
{v1 + v2的計算}
v1:= 100
v2:= 50 * EXP(-pi / 4 * j)的
v2 = [35.3553-35.3553 * j]的
v1add:= v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]的
ABS(v1add)= [139.8966]
radtodeg(弧(v1add))= [ - 14.6388]

{v1-v2的計算}
v1sub:= v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]的
ABS(v1sub)= [73.6813]
radtodeg(弧(v1sub))= [28.6751]
#Python解決方案!
#計算v1+v2
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c
v1=100
v2=50*c.exp(複數(0,-c.pi/4))
打印(“v2 =”,v2)
vadd=v1+v2
打印(“vadd =”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“度(arc(vadd))=”,m.度(c.phase(vadd)))
#計算v1-v2
vsub=v1-v2
打印(“vsub =”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“度(arc(vsub))=”,m.度(c.phase(vsub)))

幅度和相位結果證實了手的計算。

現在讓我們使用TINA的AC分析檢查結果。

在進行分析之前,讓我們確保 AC的基本功能 我設定為 餘弦 ,在 編輯器選項 “視圖/選項”菜單中的對話框。 我們將解釋這個參數的作用 例如8.

電路和結果:

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結果再次相同。 以下是時間函數圖:


例如7 找出電壓的總和和差異:

v1 = 100 sin(314 * t)和 v2 = 50 cos(314 * t-45°)

這個例子提出了一個新問題。 到目前為止,我們要求所有時間函數都作為餘弦函數給出。 作為正弦給出的時間函數我們該怎麼做? 解決方案是將正弦函數轉換為餘弦函數。 使用三角關係sin(x)= cos(x-p/ 2)= COS(X-90°),我們的例子可以改寫如下:

v1 = 100 cos(314t – 90°) v2 = 50 cos(314 * t – 45°)

現在電壓的相量是:

V1M = 100 e - j 90° = -100 j V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35

因此:

V 添加 = V1M + V2M = 35.53 - j 135.35

V = V1M - V2M = – 35.53 - j 64.47

然後是時間功能:

v添加(t)= 139.8966 cos(wT-75.36°)

v(t)= 73.68 cos(wT-118.68°)

讓我們使用TINA解釋器中的工具解決問題。

{TINA口譯員的解決方案}
{v1 + v2的計算}
v1:= - 100 *∫
v2:= 50 * EXP(-pi / 4 * j)的
v2 = [35.3553 – 35.3553 * j]
v1add:= v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]的
ABS(v1add)= [139.8966]
radtodeg(弧(v1add))= [ - 75.3612]

{v1-v2的計算}
v1sub:= v1-v2
v1sub = [-35.3553 – 64.6447 * j]
ABS(v1sub)= [73.6813]
radtodeg(弧(v1sub))= [ - 118.6751]
#Python解決方案!
#計算v1+v2
將數學導入為 m
將 cmath 導入為 c
v1=100
v2=50*c.exp(複數(0,-c.pi/4))
打印(“v2 =”,v2)
vadd=v1+v2
打印(“vadd =”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“度(arc(vadd))=”,m.度(c.phase(vadd)))
#計算v1-v2
vsub=v1-v2
打印(“vsub =”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“度(arc(vsub))=”,m.度(c.phase(vsub)))

讓我們用TINA的AC分析檢查結果

單擊/點擊上面的電路以在線分析,或單擊此鏈接以在Windows下保存

 

例如8

找出電壓的總和和差異:

v1 = 100 sin(314 * t) v2 = 50 sin(314 * t-45°)

這個例子提出了另一個問題。 如果所有電壓都以正弦波形式給出並且我們也希望將結果看作正弦波怎麼辦? 我們當然可以將兩個電壓都轉換為餘弦函數,計算出答案,然後將結果轉換回正弦函數,但這不是必須的。 我們可以按照與餘弦波相同的方式從正弦波創建相量,然後僅將其幅度和相位用作結果中的正弦波的幅度和相位。

這顯然會產生與將正弦波轉換為餘弦波相同的結果。 正如我們在前面的例子中所看到的,這相當於乘以 - j 然後使用cos(x)= sin(x-90°)將其轉換回正弦波的關係。 這相當於乘以 j。 換句話說,因為 - j × j = 1,我們可以使用直接從正弦波的幅度和相位導出的相量來表示函數,然後直接返回它們。 此外,以相同的方式推理複雜時間函數,我們可以將正弦波視為複雜時間函數的虛部,並用餘弦函數補充它們以創建完整的複雜時間函數。

讓我們看一下使用正弦函數作為相量基數的示例的解決方案(將sin( w t)到真實單位相量(1))。

V1M = 100 V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35

因此:

V 添加 = V1M + V2M = 135.53 - j 35.35

V = V1M - V2M = 64.47+ j 35.35

請注意,相量與示例6完全相同,但不是時間函數:

v3(t)= 139.9sin(wt - 14.64°)

v4(t)= 73.68sin(wt + 28.68°)

如您所見,使用正弦函數很容易獲得結果,尤其是當我們的初始數據是正弦波時。 許多教科書更喜歡使用正弦波作為相量的基本函數。 實際上,您可以使用任何一種方法,但不要混淆它們。

創建相量時,將所有時間函數首先轉換為正弦或餘弦非常重要。 如果從正弦函數開始,則從相量函數返回到時間函數時,應使用正弦函數表示解決方案。 如果從餘弦函數開始,情況也是如此。

讓我們用TINA的交互模式解決同樣的問題。 由於我們希望使用正弦函數作為創建相量的基礎,因此請確保 AC的基本功能 被設置為 正弦 ,在 編輯器選項 “視圖/選項”菜單中的對話框。

 



用於製作波形之和與差異的電路和結果:


時間函數:

 


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