KIRCHHOFF का विज्ञापन

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सुपरस्पेशियन सिद्धांत

नोड संभावित धातु

कई सर्किट श्रृंखला या समानांतर सर्किट के नियमों या पिछले अध्यायों में वर्णित सरल सर्किट में रूपांतरण की तकनीक का उपयोग करके हल करने के लिए बहुत जटिल हैं। इन सर्किटों के लिए हमें अधिक सामान्य समाधान विधियों की आवश्यकता है। किरचॉफ के नियमों द्वारा सबसे सामान्य विधि दी गई है, जो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान द्वारा सभी सर्किट वोल्टेज और सर्किट की धाराओं की गणना की अनुमति देती है।

वहाँ दॊ है किरचॉफ कानून, वोल्टेज कानून और वर्तमान कानून। इन दोनों कानूनों का उपयोग सर्किट के सभी वोल्टेज और धाराओं को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

किरचॉफ के वोल्टेज कानून (KVL) में कहा गया है कि एक लूप के चारों ओर वोल्टेज का बीजीय योग बढ़ जाता है और वोल्टेज गिर जाता है।

उपरोक्त परिभाषा में एक लूप का अर्थ है सर्किट में एक बंद रास्ता; वह मार्ग, जो एक दिशा में एक नोड छोड़ता है और उसी नोड से दूसरी दिशा में लौटता है।

हमारे उदाहरणों में, हम छोरों के लिए दक्षिणावर्त दिशा का उपयोग करेंगे; हालाँकि, अगर वामावर्त दिशा का उपयोग किया जाता है तो वही परिणाम प्राप्त किए जाएंगे।

केवीएल को त्रुटि के बिना लागू करने के लिए, हमें तथाकथित संदर्भ दिशा को परिभाषित करना होगा। अज्ञात वोल्टेज की संदर्भ दिशा ग्रहण किए गए वोल्टेज से + से - के संकेत को इंगित करती है। एक वाल्टमीटर का उपयोग करने की कल्पना करें। आप घटक के संदर्भ + टर्मिनल पर वाल्टमीटर की सकारात्मक जांच (आमतौर पर लाल) जगह पर करेंगे। यदि वास्तविक वोल्टेज सकारात्मक है, तो यह उसी दिशा में है जैसा हमने माना था, और हमारे समाधान और वाल्टमीटर दोनों एक सकारात्मक मूल्य दिखाएंगे।

जब वोल्टेज के बीजीय योग को प्राप्त करते हैं, तो हमें उन वोल्टेज पर एक प्लस साइन असाइन करना चाहिए जहां संदर्भ दिशा लूप की दिशा से सहमत है, और विपरीत मामले में नकारात्मक संकेत।

किरचॉफ के वोल्टेज कानून को बताने का एक और तरीका है: एक श्रृंखला सर्किट का लागू वोल्टेज, श्रृंखला तत्वों में वोल्टेज की बूंदों के योग के बराबर होता है।

निम्न संक्षिप्त उदाहरण किरचॉफ के वोल्टेज कानून के उपयोग को दर्शाता है।

रोकनेवाला आर के पार वोल्टेज का पता लगाएं_2, स्रोत वोल्टेज, वी_S = 100 V और कि प्रतिरोधक आर के पार वोल्टेज₁वी है₁ = एक्सएनएनएक्स वी।

नीचे का आंकड़ा टीना प्रो संस्करण 6 और इसके बाद के संस्करण के साथ बनाया जा सकता है, जिसमें योजनाबद्ध संपादक में ड्राइंग टूल उपलब्ध हैं।

Kirchhoff के वोल्टेज कानून का उपयोग कर समाधान: -V_S + वी₁ + वी₂= 0, या वी_S वी =₁ + वी₂

इसलिये: V₂ वी =_S - वी₁ = 100-40 = 60V

ध्यान दें कि आम तौर पर हम प्रतिरोधों के वोल्टेज को नहीं जानते हैं (जब तक कि हम उन्हें मापते नहीं हैं), और हमें समाधान के लिए किरचॉफ के दोनों कानूनों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

किरचॉफ के वर्तमान कानून (केसीएल) में कहा गया है कि एक सर्किट में किसी भी नोड में प्रवेश करने और छोड़ने वाले सभी धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य है।

निम्नलिखित में, हम एक नोड को छोड़ने के लिए धाराओं को + + संकेत देते हैं और नोड में प्रवेश करने वाली धाराओं पर हस्ताक्षर करते हैं।

किरचॉफ के वर्तमान कानून को प्रदर्शित करने वाला एक बुनियादी उदाहरण यहां दिया गया है।

वर्तमान मैं खोजें₂ यदि स्रोत वर्तमान I_S = 12 A, और मैं₁ = एक्सएनयूएमएक्स ए।

सर्किल नोड में किर्चॉफ के वर्तमान कानून का उपयोग करना: -I_S + मैं₁ + मैं₂ = 0, इसलिए: I₂= I_S - मैं₁ = 12 - 8 = 4 A, जैसा कि आप टीना का उपयोग करके जांच सकते हैं (अगला आंकड़ा)

अगले उदाहरण में, हम किरचॉफ के कानूनों और ओम के नियम दोनों का उपयोग करेंगे ताकि प्रतिरोधों के पार और वोल्टेज की गणना की जा सके।

नीचे दिए गए आंकड़े में, आप नोट करेंगे वोल्टेज एरो प्रतिरोधों के ऊपर। यह एक नया घटक उपलब्ध है टीना का संस्करण 6 और एक वाल्टमीटर की तरह काम करता है। यदि आप इसे एक घटक में जोड़ते हैं, तो तीर संदर्भ दिशा निर्धारित करता है (वोल्टमीटर की तुलना करने के लिए, तीर की पूंछ पर लाल जांच और टिप पर काली जांच की कल्पना करें)। जब आप डीसी विश्लेषण चलाते हैं, तो घटक पर वास्तविक वोल्टेज तीर पर प्रदर्शित किया जाएगा।

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किरचॉफ के वर्तमान कानून का उपयोग करना शुरू करने के लिए, हम देखते हैं कि सभी घटकों के माध्यम से धाराएं समान हैं, इसलिए आइए वर्तमान को I के रूप में निरूपित करते हैं।

किरचॉफ के वोल्टेज कानून के अनुसार: V_S वी =₁+V₂+V₃

अब ओम के नियम का उपयोग कर रहे हैं: V_S= मैं आर *₁+ आई * आर₂+ आई * आर₃

और यहाँ से सर्किट की धारा:

मैं = वी_S/ (आर₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

अंत में प्रतिरोधों का वोल्टेज:

V₁= मैं आर *₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = मैं * आर₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = मैं * आर₃ = 2 * 30 = 60 V

केवल टीना के इंटरेक्टिव डीसी विश्लेषण को चलाने से वोल्टेज एरो पर समान परिणाम दिखाई देंगे।

इस अगले, अधिक जटिल सर्किट में, हम किर्चॉफ के नियमों और ओम के कानून दोनों का उपयोग करते हैं, लेकिन हम पाते हैं कि हम समीकरणों के एक रैखिक प्रणाली को हल करते हैं।

किर्चॉफ के कानूनों के एक सर्किट में स्वतंत्र अनुप्रयोगों की कुल संख्या सर्किट शाखाओं की संख्या है, जबकि अज्ञात की कुल संख्या (प्रत्येक शाखा का वर्तमान और वोल्टेज) दो बार है। हालांकि, प्रत्येक रोकनेवाला पर ओम के नियम का उपयोग करके और लागू वोल्टेज और धाराओं को परिभाषित करने वाले सरल समीकरणों में, हमें समीकरण की एक प्रणाली मिलती है, जहां अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के समान होती है।

शाखा धाराओं I1, I2, I3 का पता लगाएं नीचे सर्किट में।

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समीकरणों का सेट निम्नानुसार है:

चक्करदार नोड के लिए नोडल समीकरण:

- I₁- I₂- मैं₃ = 0

या गुणा करके -1

I₁+ I₂+ मैं₃ = 0

लूप एल 1 के लिए लूप समीकरण (घड़ी की दिशा का उपयोग करके), जिसमें वी होता है₁, आर₁ और आर₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

और लूप L2 के लिए, जिसमें वी है₂, आर₂ और आर₃

I₃*R₃ - मैं₂*R₂ +V₂ = 0

घटक मूल्यों को प्रतिस्थापित करना:

I₁+ मैं₂+ मैं₃ = 0 -8 + 40 * मैं₁ - 40 * I₃ = 0 40 * मैं₃ -20 * मैं₂ + 16 = 0

एक्सप्रेस I₁ नोडल समीकरण का उपयोग: मैं₁ = -I₂ - मैं₃

फिर इसे दूसरे समीकरण में स्थान दें:

-V₁- (मैं₂ + मैं₃) * आर₁ -मैं₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + मैं₃) * एक्सएनयूएमएक्स - आई₃* 40 = 0

एक्सप्रेस I₂ और इसे तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें, जहाँ से आप पहले से ही I की गणना कर सकते हैं₃:

I₂ = - (वि)₁ + मैं₃* (आर₁+R₃)) / आर₁ or I₂ = - (एक्सएनयूएमएक्स + आई₃* 80) / 40

I₃*R₃ + आर₂* (वी₁ + मैं₃* (आर₁+R₃)) / आर₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I)₃* 80) / 40 + 16 = 0

और: I₃ = - (वि)₂ + वी₁*R₂/R₁) / (आर₃+ (आर₁+R₃) * आर₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

इसलिए I₃ = - 0.25 ए; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A और I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 ए

या: I₁ = -50 mA; I₂ = एक्सएनयूएमएक्स मा; I₃ = -250 mA

अब टीना के दुभाषिया के साथ समान समीकरणों को हल करते हैं:

{टीना के दुभाषिया द्वारा समाधान}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
अंत;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#पायथन द्वारा समाधान
NP के रूप में numpy, s के रूप में sympy आयात करें
#हमारे पास एक रेखीय प्रणाली है
#समीकरण जिन्हें हम हल करना चाहते हैं:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
सोल = एस.हल करें([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
प्रिंट(सोल)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(ए,बी)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#मैं1
प्रिंट करें ("I1= %.3f"%x[0])
#मैं2
प्रिंट करें ("I2= %.3f"%x[1])
#मैं3
प्रिंट करें ("I3= %.3f"%x[2])

अंत में जाँच करते हैं टीना का उपयोग कर परिणाम:

अगला, चलो निम्नलिखित और भी अधिक जटिल सर्किट का विश्लेषण करते हैं और इसकी शाखा धाराओं और वोल्टेज का निर्धारण करते हैं।

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आइए घटकों में वोल्टेज और वर्तमान तीरों को जोड़कर अज्ञात वोल्टेज और धाराओं को निरूपित करते हैं, और छोरों (एल 1, एल 2, एल 3) और नोड्स (एन 1, एन 2) को भी दिखाते हैं, जहां हम किर्चोफ के समीकरणों का उपयोग करेंगे।

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यहाँ का सेट है Kirchhoff छोरों के लिए समीकरण (घड़ी की दिशा का उपयोग करके) और नोड्स।

-I_L+ मैं_R1- मैं_s= 0(N1 के लिए)

- मैं_R1+ मैं_R2+ मैं_s3 = 0 (N2 के लिए)

-V_s1- वी_R3+ वी_Is+ वी_L = 0 (L1 के लिए)

-V_Is+ वी_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (L2 के लिए)

-V_R2- वी_s2+ वी_s3 = 0 (L3 के लिए)

ओम का नियम लागू करना:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - मैं_L*R₃

यह 9 अज्ञात और 9 समीकरण हैं। इसे हल करने का सबसे आसान तरीका टीना का उपयोग करना है

दुभाषिया। हालाँकि, अगर हमें हाथ की गणना का उपयोग करने के लिए दबाया जाता है, तो हम ध्यान दें कि समीकरणों के इस सेट को L5, L4, L1 लूप समीकरणों में अंतिम 2 समीकरणों को प्रतिस्थापित करके 3 अज्ञात की प्रणाली में आसानी से कम किया जा सकता है। इसके अलावा, समीकरणों (L1) और को जोड़कर (L2), हम V को समाप्त कर सकते हैं_Is4 अज्ञात (I) के लिए 4 समीकरणों की एक प्रणाली के लिए समस्या को कम करने_L,I_R1 I_R2,I_s3)। जब हमें ये धाराएँ मिल जाती हैं, तो हम आसानी से V निर्धारित कर सकते हैं_एल, V_R1, वी_R2, और वी_R3 अंतिम चार समीकरणों (ओम के नियम) का उपयोग करना।

वशीकरण V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ मैं_R1- मैं_s= 0(N1 के लिए)

- मैं_R1+ मैं_R2+ मैं_s3 = 0 (N2 के लिए)

-V_s1+ मैं_L*R₃+ वी_Is+ मैं_L*R_L = 0 (L1 के लिए)

-V_Is+ वी_s2 + मैं_R2*R₂+ मैं_R1*R₁ = 0 (के लिए L2)

- मैं_R2*R₂- वी_s2+ वी_s3 = 0 (L3 के लिए)

जोड़ना (L1) और (L2) हमें मिलता है

-I_L+ मैं_R1- मैं_s= 0(N1 के लिए)

- मैं_R1+ मैं_R2+ मैं_s3 = 0 (N2 के लिए)

-V_s1+ मैं_L*R₃+ मैं_L*R_L + वी_s2 + मैं_R2*R₂+ मैं_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- मैं_R2*R₂- वी_s2+ वी_s3 = 0 (L3 के लिए)

घटक मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद, इन समीकरणों का समाधान आसानी से आता है।

-I_L+I_R1- 2 = 0 (N1 के लिए)

-I_R1 + मैं_R2 + मैं_S3 = 0 (N2 के लिए)

-120 - + मैं_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (एल)₁) + (एल₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (एल के लिए₃)

एल से₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (मैं)

एन से₂ I_S3 - मैं_R1 = - 5.25 से (द्वितीय)

एल से₁+L₂ 110 मैं_L + एक्सएनएनएक्स I_R1 = -150 (Iii)

और एन के लिए₁ I_R1 - मैं_L = 2 (चतुर्थ)

गुणा (IV) –30 द्वारा और (III) में जोड़ें 140 मैं_L = -210 इसलिये I_L = - 1.5 ए

पदार्थ मैं_L में (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

और मैं_R1 में (द्वितीय) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 ए

और वोल्टेज: V_R1 = I_R1*R₁ = एक्सएनयूएमएक्स वी; V_R2 = I_R2*R₂ = एक्सएनयूएमएक्स वी;

V_R3 = - मैं_L*R₃= एक्सएनयूएमएक्स वी; V_L = I_L*R_L = - 30 वी; V_Is वी =_S1+V_R3-V_L = एक्सएनएनएक्स वी

{टीना के दुभाषिया द्वारा मूल समीकरणों का समाधान}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-है + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + विज़-वीएल = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
वीएल = आईएल * आर एल
अंत;
आईएल = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
विज़ = [285]
वीएल = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#पायथन द्वारा समाधान
#कुल्हाड़ी=बी
NP के रूप में numpy, s के रूप में sympy आयात करें
numpy.solve का उपयोग करके #प्रतीकात्मक समाधान
#समीकरण:
#आईएल=-है+आईआर1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#विज़=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#वीएल=आईएल*आरएल
#के लिए हल:
#आईएल,आईआर1,आईआर2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
सोल = एस.हल करें([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
वीएस1+वीआर3-विज़-वीएल,
VR1+VR2+Vs2-विज़,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
प्रिंट(सोल)

#numpy.linalg का उपयोग करके हल करने की एक और विधि
ए=एनपी.सरणी(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,आर1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,आर2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[आरएल,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(ए,बी)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
प्रिंट करें(“IL= %.3f”%x[0])
प्रिंट करें(“IR1= %.3f”%x[1])
प्रिंट करें(“IR2= %.3f”%x[2])
प्रिंट करें(“Is3= %.3f”%x[3])
प्रिंट करें(“विज़= %.3f”%x[4])
प्रिंट करें(“VL= %.3f”%x[5])
प्रिंट करें(“VR1= %.3f”%x[6])
प्रिंट करें(“VR2= %.3f”%x[8])
प्रिंट करें(“VR3= %.3f”%x[7])

दुभाषिया का उपयोग कर समीकरणों के कम सेट का समाधान:

{टीना के दुभाषिया द्वारा समीकरणों के घटे सेट का समाधान}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
अंत;
इल = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

हम वोल्टेज के लिए भाव भी दर्ज कर सकते हैं और टीना के दुभाषिया की गणना कर सकते हैं:

इल: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
वीएल: = इल * आर एल;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - इल * R3;
विज़: = Vs1-Vl + Vr3;
वीएल = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
विज़ = [285]