एसी CIRCUITS में KIRCHHOFF का विज्ञापन

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थ्वेनिन और नॉर्टन एक्वायर्ड सर्किट

NODE POTENTIAL और MESH CURCUITS में MURH CURRENT METHOD

जैसा कि हमने पहले ही देखा है, साइनसोइडल उत्तेजना के साथ सर्किट का उपयोग करके हल किया जा सकता है जटिल बाधाएं तत्वों के लिए और जटिल शिखर or जटिल आरएमएस मूल्यों धाराओं और वोल्टेज के लिए। किरचॉफ के कानूनों के जटिल मूल्यों के संस्करण का उपयोग करते हुए, डीसी सर्किट के समान तरीके से एसी सर्किट को हल करने के लिए नोडल और मेष विश्लेषण तकनीकों को नियोजित किया जा सकता है। इस अध्याय में हम इसे किरचॉफ के कानूनों के उदाहरणों के माध्यम से दिखाएंगे।

उदाहरण 1

वर्तमान का आयाम और चरण कोण ज्ञात करें i_vs(टी) if
v_S(टी) = वी_SM कॉस 2pफुट; मैं (टी) = मैं_SM कॉस 2pफुट; V_SM = एक्सएनयूएमएक्स वी; मैं_SM = एक्सएनयूएमएक्स ए; f = 1 kHz;

आर = एक्सएनयूएमएक्स ओम; एल = एक्सएनयूएमएक्स एमएच; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

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कुल मिलाकर हमारे पास 10 अज्ञात वोल्टेज और धाराएं हैं, अर्थात्: i, i_C1,_R,_L,_C2में_C1में_Rमें_Lमें_C2 और वी_IS। (यदि हम वोल्टेज और धाराओं के लिए जटिल शिखर या आरएमएस मूल्यों का उपयोग करते हैं, तो हमारे पास कुल मिलाकर 20 वास्तविक समीकरण हैं!)

समीकरण:

लूप या मेष समीकरण: के लिए M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_वाद = 0

ओम का नियम V_RM = आर *I_RM

V_LM = j*w* एल *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

एन के लिए नोडल समीकरण₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

श्रृंखला तत्वों के लिए I = I_C1M

समीकरणों की प्रणाली को हल करके आप अज्ञात वर्तमान को पा सकते हैं:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) एक

जटिल समीकरणों की इतनी बड़ी प्रणाली को हल करना बहुत जटिल है, इसलिए हमने इसे विस्तार से नहीं दिखाया है। प्रत्येक जटिल समीकरण दो वास्तविक समीकरणों की ओर जाता है, इसलिए हम टीना के दुभाषिया के साथ गणना किए गए मूल्यों द्वारा ही समाधान दिखाते हैं।

टीना इंटरप्रेटर का उपयोग कर समाधान:

{टीना के दुभाषिया द्वारा समाधान}
ओम: = 20000 * pi;
बनाम: = 10;
है: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
बनाम=वीसी1+वीआर {एम1}
वीआर=वीएल {एम2}
वीआर=वीसी2 {एम3}
Vc2=विज़ {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-है {N1}
{ओम के नियम}
Ic1 = j * ओम * C1 * Vc1
Vr = आर * आईआर
वीएल = j * ओम * एल * आईएल
Ic2 = j * ओम * C2 * Vc2
IVS = Ic1
अंत;
IVS = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
पेट (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * चाप (Ivs) / अनुकरणीय
fiIvs = [79.9613]

#पायथन द्वारा समाधान
सिम्पी को एस के रूप में आयात करें
सीमैथ को सी के रूप में आयात करें
सीपी= लैम्ब्डा जेड : “{:.4एफ}” .फॉर्मेट(जेड)
om=20000*c.pi
बनाम=10
है=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.प्रतीक ('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
प्रिंट(आईवीएस)
प्रिंट(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
प्रिंट(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

टीना का उपयोग कर समाधान:

हाथ से इस समस्या को हल करने के लिए, जटिल बाधाओं के साथ काम करें। उदाहरण के लिए, आर, एल और सी₂ समानांतर में जुड़े हुए हैं, इसलिए आप सर्किट को उनके समानांतर बराबर गणना करके सरल बना सकते हैं। || प्रतिबाधा के समानांतर बराबर का मतलब है:

संख्यानुसार:

प्रतिबाधा का उपयोग सरलीकृत सर्किट:

क्रमबद्ध रूप में समीकरण: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

चार अज्ञात हैं- I; I_Z; V_C1; V_Z - और हमारे पास चार समीकरण हैं, इसलिए एक समाधान संभव है।

व्यक्त I समीकरणों से अन्य अज्ञात को प्रतिस्थापित करने के बाद:

संख्यानुसार

टीना के दुभाषिया के परिणाम के अनुसार।

{प्रतिबाधा जेड} का उपयोग कर समाधान
ओम: = 20000 * pi;
बनाम: = 10;
है: = 1;
जेड: = replus (आर, replus (जे * ओम * एल, 1 / j / ओम / C2));
जेड = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
मैं
मैं = j * ओम * C1 * (बनाम-जेड * (मैं Is +))
अंत;
मैं = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
पेट (आई) = [1.8089]
180 * चाप (आई) / अनुकरणीय = [79.9613]

#पायथन द्वारा समाधान
सिम्पी को एस के रूप में आयात करें
सीमैथ को सी के रूप में आयात करें
रिप्लस= लैम्ब्डा R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
बनाम=10
है=1
Z=रिप्लस(R,रिप्लस(1j*om*L,1/1j/om/C2))
प्रिंट('Z=',cp(Z))
I=s.प्रतीक('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) for Z in Tuple(s.linsolve(A,I))[0]][0]
प्रिंट करें(“I=”,cp(I))
प्रिंट(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
प्रिंट(“180*c.phase(I)/c.pi=”,cp(180*c.phase(I)/c.pi))

वर्तमान का समय कार्य, तब है:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) एक

आप चरणोर आरेखों का उपयोग करके किरचॉफ के वर्तमान नियम की जांच कर सकते हैं। नीचे दिए गए चित्र को i में नोड समीकरण की जांच करके विकसित किया गया था_Z = आई + आई_G1प्रपत्र। पहला आरेख समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा जोड़े गए चरणों को दिखाता है, दूसरा चरणबद्ध जोड़ के त्रिकोणीय नियम को दिखाता है।

अब टीएनए के फेजर आरेख सुविधा का उपयोग करके KVR प्रदर्शित करते हैं। चूंकि समीकरण में स्रोत वोल्टेज नकारात्मक है, हम वाल्टमीटर को "पीछे की ओर" से जोड़ते हैं। फेजर आरेख किर्चॉफ के वोल्टेज नियम के मूल रूप को दर्शाता है।

पहले चरण का आरेख समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करता है, जबकि दूसरा त्रिकोणीय नियम का उपयोग करता है।

केवीआर को फॉर्म वी में वर्णन करने के लिए_C1 + वी_Z - वी_S = 0, हमने वोल्टमीटर को फिर से वोल्टेज स्रोत से जोड़ा है। आप देख सकते हैं कि चरण त्रिकोण बंद हो गया है।

ध्यान दें कि टीना आपको आधार फ़ंक्शन के रूप में साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करने देता है। चुने गए फ़ंक्शन के आधार पर, फ़ेसर आरेखों में देखे गए जटिल आयाम 90º तक भिन्न हो सकते हैं। आप आधार फ़ंक्शन को 'व्यू' 'विकल्प' 'एसी के लिए बेस फ़ंक्शन' के तहत सेट कर सकते हैं। हमारे उदाहरणों में हमने हमेशा एक आधार के रूप में कॉशन फ़ंक्शन का उपयोग किया।

उदाहरण 2

सभी घटकों के वोल्टेज और धाराओं का पता लगाएं यदि:

v_S(t) = 10 cos wटी वी, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = आर₂ = एक्सएनयूएमएक्स के; L = 4 H, f = 10 kHz।

अज्ञात को 'निष्क्रिय' तत्वों के वोल्टेज और धाराओं के जटिल शिखर मान, साथ ही वोल्टेज स्रोत का वर्तमान मान दें (i)_VS) और वर्तमान स्रोत का वोल्टेज (v)_IS)। कुल मिलाकर, बारह जटिल अज्ञात हैं। हमारे पास तीन स्वतंत्र नोड्स हैं, चार स्वतंत्र छोरों (एम के रूप में चिह्नित)_I), और पाँच निष्क्रिय तत्व जो पाँच "ओम के नियमों" की विशेषता हो सकते हैं - कुल मिलाकर 3 + 4 + 5 = 12 समीकरण हैं:

नोडल समीकरण एन के लिए₁ I_{वीएसएम} = I_R1M + मैं_C2M

एन के लिए₂ I_R1M = I_LM + मैं_C1M

एन के लिए₃ I_C2M + मैं_LM + मैं_C1M +I_sM = I_R2M

लूप समीकरण प्रपत्र₁ V_SM वी =_C2M + वी_R2M

प्रपत्र₂ V_SM वी =_C1M + वी_R1M+ वी_R2M

प्रपत्र₃ V_LM वी =_C1M

प्रपत्र₄ V_R2M वी =_वाद

ओम का नियम V_R1M = आर₁*I_R1M

V_R2M = आर₂*I_R2M

I_C1m = जे *w*C₁*V_C1M

I_C2m = जे *w*C₂*V_C2M

V_LM = जे *w* एल * मैं_LM

यह मत भूलो कि किसी भी जटिल समीकरण से दो वास्तविक समीकरण बन सकते हैं, इसलिए किर्चोफ़ की पद्धति को कई गणनाओं की आवश्यकता होती है। विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करके वोल्टेज और धाराओं के समय के कार्यों को हल करना बहुत सरल है (यहां चर्चा नहीं की गई है)। पहले हम टीना के दुभाषिया द्वारा गणना किए गए परिणाम दिखाते हैं:

{टीना के दुभाषिया द्वारा समाधान}
च: = 10000;
बनाम: = 10;
रों: = 0.005 * exp (जे * pi / 6);
ओम: = 2 * pi * च;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
आईवीएस=आईआर1+आईसी2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
बनाम=vc2+vr2 {4}
बनाम=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=विज़ {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
अंत;
पेट (vr1) = [970.1563m]
पेट (vr2) = [10.8726]
पेट (ic1) = [245.6503u]
पेट (ic2) = [3.0503m]
पेट (vc1) = [39.0965m]
पेट (vc2) = [970.9437m]
पेट (IL) = [3.1112u]
पेट (वीएल) = [39.0965m]
पेट (IVS) = [3.0697m]
180 + radtodeg (चाप (IVS)) = [58.2734]
पेट (विज़) = [10.8726]
radtodeg (चाप (विज़)) = [- 2.3393]
radtodeg (चाप (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (चाप (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (चाप (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (चाप (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (चाप (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (चाप (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (चाप (IL)) = [- 24.8908]
radtodeg (चाप (वीएल)) = [65.1092]

#पायथन द्वारा समाधान
सिम्पी को एस के रूप में आयात करें
गणित को एम के रूप में आयात करें
सीमैथ को सी के रूप में आयात करें
सीपी= लैम्ब्डा जेड : “{:.4एफ}” .फॉर्मेट(जेड)
च = 10000
बनाम=10
एस=0.005*सी.एक्सपी(1जे*सी.पीआई/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.प्रतीक('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL बनाम IVs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
प्रिंट(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
प्रिंट(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
प्रिंट(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
प्रिंट(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
प्रिंट(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
प्रिंट(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
प्रिंट(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
प्रिंट(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
प्रिंट(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
प्रिंट करें(“180+डिग्री(चरण(ivs))=”,cp(180+m.डिग्री(c.phase(ivs))))
प्रिंट(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(विज़))=",सीपी(एम.डिग्री(सी.चरण(विज़))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(वीआर1))=",सीपी(एम.डिग्री(सी.चरण(वीआर1))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(वीआर2))=",सीपी(एम.डिग्री(सी.चरण(वीआर2))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(आईसी1))=",सीपी(एम.डिग्री(सी.चरण(आईसी1))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(आईसी2))=",सीपी(एम.डिग्री(सी.चरण(आईसी2))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(vc2))=",cp(m.डिग्री(c.phase(vc2))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(vc1))=",cp(m.डिग्री(c.phase(vc1))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(iL))=",cp(m.डिग्री(c.phase(iL))))
प्रिंट करें ("डिग्री(चरण(वीएल))=",सीपी(एम.डिग्री(सी.चरण(वीएल))))

अब प्रतिस्थापन द्वारा हाथ से समीकरणों को सरल बनाने का प्रयास करें। पहले स्थानापन्न eq.9। eq 5 में।

V_S वी =_C2 + आर₂ I_R2ए।)

उसके बाद eq.8 और eq.9। eq 5 में।

V_S वी =_C1 + आर₂ I_R2 + आर₁ I_R1 ख।)

तब eq 12।, eq। 10। और मैं_Leq से 2 को eq.6 में।

V_C1 वी =_L = जेwLI_L = जेwएल (मैं_R1 - मैं_C1) = जेwLI_R1 - जेwल जwC₁ V_C1