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साइनसॉइडल स्रोतों के साथ एसी सर्किट के लिए थिएवेनिन की प्रमेय बहुत कुछ प्रमेय के समान है जो हमने डीसी सर्किट के लिए सीखा है। फर्क सिर्फ इतना है कि हमें विचार करना चाहिए मुक़ाबला के बजाय प्रतिरोध। संक्षिप्त रूप से कहा जाए तो एसी सर्किट के लिए थ्वेनिन के प्रमेय कहते हैं:
किसी भी दो टर्मिनल रैखिक सर्किट को वोल्टेज स्रोत (वी) से समतुल्य सर्किट द्वारा बदला जा सकता हैTh) और एक श्रृंखला प्रतिबाधा (जेडTh).
दूसरे शब्दों में, थिएवेन की प्रमेय एक जटिल सर्किट को बदलने की अनुमति देता है जिसमें एक साधारण समकक्ष सर्किट होता है जिसमें केवल एक वोल्टेज स्रोत होता है और एक श्रृंखला जुड़ा हुआ प्रतिबाधा होती है। सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों दृष्टिकोणों से प्रमेय बहुत महत्वपूर्ण है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि थिएवेन समकक्ष सर्किट केवल टर्मिनलों पर तुल्यता प्रदान करता है। जाहिर है, मूल सर्किट और Thévenin समकक्ष की आंतरिक संरचना काफी भिन्न हो सकती है। और एसी सर्किट के लिए, जहां प्रतिबाधा आवृत्ति पर निर्भर है, तुल्यता पर मान्य है एक केवल आवृत्ति।
Thévenin के प्रमेय का उपयोग करना विशेष रूप से लाभप्रद है जब:
· हम एक सर्किट के विशिष्ट भाग पर ध्यान केंद्रित करना चाहते हैं। सर्किट के बाकी हिस्सों को एक साधारण Thévenin समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
· हमें टर्मिनलों पर विभिन्न भार मूल्यों के साथ सर्किट का अध्ययन करना होगा। Thévenin समतुल्य का उपयोग करके हम हर बार जटिल मूल सर्किट का विश्लेषण करने से बच सकते हैं।
हम दो चरणों में Thévenin समकक्ष सर्किट की गणना कर सकते हैं:
1. गणना ZTh। सभी स्रोतों को शून्य पर सेट करें (ओपन सर्किट द्वारा शॉर्ट सर्किट और वर्तमान स्रोतों द्वारा वोल्टेज स्रोतों को बदलें) और फिर दो टर्मिनलों के बीच कुल प्रतिबाधा का पता लगाएं।
2. गणना Vगु। टर्मिनलों के बीच खुले सर्किट वोल्टेज का पता लगाएं।
नॉर्टन की प्रमेय, जो पहले से डीसी सर्किट के लिए प्रस्तुत की गई है, का उपयोग एसी सर्किट में भी किया जा सकता है। नॉर्टन के प्रमेय ने एसी सर्किटों पर लागू किया था कि नेटवर्क को एक से बदला जा सकता है वर्तमान स्रोत समानांतर में एक के साथ मुक़ाबला.
हम दो चरणों में नॉर्टन समतुल्य सर्किट की गणना कर सकते हैं:
1. गणना ZTh। सभी स्रोतों को शून्य पर सेट करें (ओपन सर्किट द्वारा शॉर्ट सर्किट और वर्तमान स्रोतों द्वारा वोल्टेज स्रोतों को बदलें) और फिर दो टर्मिनलों के बीच कुल प्रतिबाधा का पता लगाएं।
2. गणना Iगु। टर्मिनलों के बीच शॉर्ट सर्किट करंट का पता लगाएं।
अब कुछ सरल उदाहरण देखते हैं।
उदाहरण 1
एक आवृत्ति पर बिंदु A और B के लिए नेटवर्क के समान Thévenin का पता लगाएं: f = 1 kHz, vS(टी) = 10 cosडब्ल्यू ×टी। वी।
पहला कदम अंक ए और बी के बीच खुले सर्किट वोल्टेज को खोजना है:
ओपन सर्किट वोल्टेज का उपयोग करना वोल्टेज विभाजन:
= -0.065 - j2.462 = 2.463 ई-j91.5º V
टीना के साथ जाँच:
दूसरा चरण शॉर्ट सर्किट द्वारा वोल्टेज स्रोत को बदलना और बिंदु ए और बी के बीच प्रतिबाधा का पता लगाना है:
यहाँ Thévenin समतुल्य सर्किट है, केवल 1kHz की आवृत्ति पर मान्य है। हालांकि, हमें पहले सीटी की कैपेसिटी के लिए हल करना होगा। संबंध 1 / का उपयोग करनाwCT = 304 ओम, हम सी पाते हैंT = एक्सएनयूएमएक्स यूएफ
अब हमारे पास समाधान है: आरT = 301 ओम और सीT = 0.524 m F:
इसके बाद, हम थेना के समकक्ष सर्किट की हमारी गणना की जांच करने के लिए टीना के दुभाषिया का उपयोग कर सकते हैं:
वी एम: = 10;
च: = 1000;
ओम: = 2 * pi * च;
Z1: = R1 + j * ओम * एल;
Z2: = R2 / (1 + j * ओम * सी * R2);
वीटी: = वी एम * Z2 / (Z1 + Z2);
वीटी = [- 64.0391m-2.462 * j]
पेट (VT) = [2.4629]
पेट (VT) / sqrt (2) = [1.7415]
radtodeg (चाप (VT)) = [- 91.49]
ZT: = Replus ((R1 + j * ओम * एल), replus (R2, (1 / j / ओम / सी)));
ZT = [301.7035-303.4914 * j]
ABS (ZT) = [427.9393]
radtodeg (चाप (ZT)) = [- 45.1693]
सीटी: = - 1 / im (ZT) / ओम;
सीटी = [524.4134n]
गणित को एम के रूप में आयात करें
सीमैथ को सी के रूप में आयात करें
#आइए कॉम्प्लेक्स के प्रिंट को सरल बनाएं
अधिक पारदर्शिता के लिए #नंबर:
सीपी= लैम्ब्डा जेड : “{:.4एफ}” .फॉर्मेट(जेड)
#लैम्ब्डा का उपयोग करके रिप्लस को परिभाषित करें:
रिप्लस= लैम्ब्डा R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
वीएम=10
च = 1000
om=2*c.pi*f
Z1=जटिल(R1,ओम*L)
Z2=R2/complex(1,om*C*R2)
VT=VM*Z2/(Z1+Z2)
प्रिंट करें ("वीटी =", सीपी (वीटी))
प्रिंट करें ("abs(VT)= %.4f"%abs(VT))
प्रिंट(“abs(VT)/sqrt(VT)= %.4f”%(abs(VT)/m.sqrt(2)))
प्रिंट करें(“डिग्री(चाप(वीटी))= %.4f”%m.डिग्री(सी.चरण(वीटी)))
ZT=रिप्लस(कॉम्प्लेक्स(R1,om*L),रिप्लस(R2,1/1j/om/C))
प्रिंट(“ZT=”,cp(ZT))
प्रिंट(“abs(ZT)= %.4f”%abs(ZT))
प्रिंट करें(“डिग्री(चाप(ZT))= %.4f”%m.डिग्री(c.phase(ZT)))
Ct=-1/ZT.imag/om
प्रिंट करें ("सीटी =", सीटी)
ध्यान दें कि ऊपर दी गई लिस्टिंग में हमने एक फ़ंक्शन "प्रतिकृति" का उपयोग किया है। रेप्लस दो प्रतिबाधाओं के समानांतर बराबर के लिए हल करता है; यानी, यह दो समानांतर प्रतिबाधाओं के योग पर उत्पाद पाता है।
उदाहरण 2
सर्किट के बराबर नॉर्टन का पता लगाएं उदाहरण 1 में।
f = 1 kHz, vS(टी) = 10 cosडब्ल्यू ×टी। वी।
समान प्रतिबाधा समान है:
ZN= (0.301-j0.304) केW
अगला, शॉर्ट-सर्किट करेंट खोजें:
IN = (3.97-j4.16) mA
और हम टीना के परिणामों के खिलाफ हमारे हाथ की गणना की जांच कर सकते हैं। पहला खुला सर्किट प्रतिबाधा:
फिर शॉर्ट-सर्किट करंट:
और अंत में नॉर्टन समकक्ष:
अगला, हम नॉर्टन के बराबर सर्किट घटकों को खोजने के लिए टीना के दुभाषिया का उपयोग कर सकते हैं:
वी एम: = 10;
च: = 1000;
ओम: = 2 * pi * च;
Z1: = R1 + j * ओम * एल;
Z2: = R2 / (1 + j * ओम * सी * R2);
में: = वी एम / Z1;
= [3.9746m-4.1622m * j] में
पेट (IN) = [5.7552m]
पेट (IN) / sqrt (2) = [4.0695m]
radtodeg (चाप (IN)) = [- 46.3207]
ZN: = Replus ((R1 + j * ओम * एल), replus (R2, (1 / j / ओम / सी)));
ZN = [301.7035-303.4914 * j]
पेट (ZN) = [427.9393]
radtodeg (चाप (ZN)) = [- 45.1693]
सीएन: = - 1 / im (ZN) / ओम;
सीएन = [524.4134n]
गणित को एम के रूप में आयात करें
सीमैथ को सी के रूप में आयात करें
#आइए कॉम्प्लेक्स के प्रिंट को सरल बनाएं
अधिक पारदर्शिता के लिए #नंबर:
सीपी= लैम्ब्डा जेड : “{:.4एफ}” .फॉर्मेट(जेड)
#लैम्ब्डा का उपयोग करके रिप्लस को परिभाषित करें:
रिप्लस= लैम्ब्डा R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
वीएम=10
च = 1000
om=2*c.pi*f
Z1=जटिल(R1,ओम*L)
Z2=R2/complex(1,om*C*R2)
IN=VM/Z1
प्रिंट करें ("आईएन =", सीपी (आईएन))
प्रिंट(“abs(IN)= %.4f”%abs(IN))
प्रिंट(“डिग्री(चाप(आईएन))= %.4f”%m.डिग्री(c.phase(IN)))
प्रिंट(“abs(IN)/sqrt(2)= %.4f”%(abs(IN)/m.sqrt(2)))
ZN=रिप्लस(कॉम्प्लेक्स(R1,om*L),रिप्लस(R2,1/1j/om/C))
प्रिंट(“ZN=”,cp(ZN))
प्रिंट(“abs(ZN)= %.4f”%abs(ZN))
प्रिंट(“डिग्री(चाप(ZN))= %.4f”%m.डिग्री(c.phase(ZN)))
CN=-1/ZN.imag/om
प्रिंट करें ("सीएन =", सीएन)
उदाहरण 3
इस सर्किट में, लोड श्रृंखला-जुड़ा हुआ आरएल और सीएल है। ये लोड घटक सर्किट का हिस्सा नहीं हैं जिनके समकक्ष हम मांग रहे हैं। सर्किट के नॉर्टन समकक्ष का उपयोग करके लोड में वर्तमान का पता लगाएं।
v1(t) = 10 cos wटी वी; v2(t) = 20 cos (wटी + 30°) वी; v3(t) = 30 cos (wटी + 70°) वी;
v4(t) = 15 cos (wटी + 45°) वी; v5(t) = 25 cos (wटी + 50°) वी; f = 1 kHz।
सबसे पहले ओपन सर्किट समकक्ष प्रतिबाधा Z खोजेंeq हाथ से (भार के बिना)।
संख्यानुसार
ZN = Zeq = (13.93 - j5.85) ओम।
नीचे हम टीना का समाधान देखते हैं। ध्यान दें कि हमने मीटर का उपयोग करने से पहले शॉर्ट सर्किट के साथ सभी वोल्टेज स्रोतों को बदल दिया।
अब शॉर्ट-सर्किट करंट:
शॉर्ट-सर्किट करंट की गणना काफी जटिल है। संकेत: सुपरपोज़िशन का उपयोग करने के लिए यह एक अच्छा समय होगा। एक वोल्टेज स्रोत के लिए लोड करेंट (आयताकार रूप में) को एक समय में एक लेने के लिए एक दृष्टिकोण होगा। फिर कुल प्राप्त करने के लिए पांच आंशिक परिणामों का योग करें।
हम टीना द्वारा प्रदान किए गए मूल्य का उपयोग करेंगे:
iN(t) = 2.77 cos (डब्ल्यू ×टी 118.27°) एक
इसे सभी को एक साथ रखना (नेटवर्क को अपने नॉर्टन समकक्ष के साथ बदलना, लोड घटकों को आउटपुट में फिर से जोड़ना, और लोड में एक एमीटर सम्मिलित करना), हमारे पास उस लोड वर्तमान के लिए समाधान है जिसे हमने मांगा था:
हाथ की गणना के द्वारा, हम वर्तमान विभाजन का उपयोग करके लोड कर सकते हैं:
अंत में
I = (- 0.544 - जे 1.41) ए
और समय समारोह
i (t) = 1.51 cos (डब्ल्यू ×टी - एक्सएनएनएक्स°) एक{मेश करंट विधि द्वारा शॉर्टसर्किट करंट}
ओम: = 2000 * pi;
V1: = 10;
V2:=20*exp(j*pi/6);
V3:=30*exp(j*pi/18*7);
V4:=15*exp(j*pi/4);
V5:=25*exp(j*pi/18*5);
Sys J1,J2,J3,J4
J1*(R-j*2/om/C)+V1+J2*j/om/C+J3*j/om/C=0
J1*j/om/C+J2*(j*om*L-j/om/C)+V4-V2=0
J1*j/om/C+J3*(R+j*om*L-j/om/C)-J4*j*om*L+V3+V5-V4=0
-J3*j*om*L+J4*(R+j*om*L)-V3=0
अंत;
J3=[-1.3109E0-2.4375E0*j]
{'मारे गए' नेटवर्क की बाधा}
ZLC:=j*om*L/(1-sqr(om)*L*C);
ZRL:=j*om*L*R/(R+j*om*L);
ZN:=(R+ZLC)/(1+j*om*C*(R+ZLC))+R+ZRL;
ZN=[1.3923E1-5.8456E0*j]
I:=J3*ZN/(ZN+RL-j/om/C);
मैं=[-5.4381ई-1-1.4121ई0*जे]
गणित को एम के रूप में आयात करें
सीमैथ को सी के रूप में आयात करें
#आइए कॉम्प्लेक्स के प्रिंट को सरल बनाएं
अधिक पारदर्शिता के लिए #नंबर:
सीपी= लैम्ब्डा जेड : “{:.4एफ}” .फॉर्मेट(जेड)
om=2000*c.pi
वी1=10
V2=20*c.exp(1j*c.pi/6)
V3=30*c.exp(1j*c.pi/18*7)
V4=15*c.exp(1j*c.pi/4)
V5=25*c.exp(1j*c.pi/18*5)
#हमारे पास समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली है
#जिसे हम J1,J2,J3,J4 के लिए हल करना चाहते हैं:
#J1*(R-j*2/om/C)+V1+J2*j/om/C+J3*j/om/C=0
#J1*j/om/C+J2*(j*om*L-j/om/C)+V4-V2=0
#J1*j/om/C+J3*(R+j*om*L-j/om/C)-J4*j*om*L+V3+V5-V4=0
#-J3*j*om*L+J4*(R+j*om*L)-V3=0
n के रूप में numpy आयात करें
#गुणांकों का मैट्रिक्स लिखें:
A=n.array([[complex(R,-2/om/C),1j/om/C,1j/om/C,0],
[1जे/ओम/सी,1जे*ओम*एल-1जे/ओम/सी,0,0],
[1j/om/C,0,R+1j*om*L-1j/om/C,-1j*om*L],
[0,0,-1ज*ओम*एल,आर+1जे*ओम*एल]])
b=n.array([-V1,V2-V4,V4-V3-V5,V3])
J1,J2,J3,J4=n.linalg.solve(A,b)
प्रिंट(“J3=”,cp(J3))
#'मारे गए' नेटवर्क की बाधा
ZLC=1j*om*L/(1-om**2*L*C)
ZRL=1j*om*L*R/(R+1j*om*L)
ZN=(R+ZLC)/(1+1j*om*C*(R+ZLC))+R+ZRL
प्रिंट(“ZN=”,cp(ZN))
I=J3*ZN/(ZN+RL-1j/om/C)
प्रिंट करें(“I=”,cp(I))
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