वैकल्पिक पाठ्यक्रम का सिद्धांत

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एक sinusoidal वोल्टेज समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

v (t) = वी_M sin (tt + Φ) या v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

उपरोक्त शर्तों को स्पष्ट करने के लिए यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

यूरोप में घरेलू बिजली के आउटलेट में 220 V AC वोल्टेज के गुण:

प्रभावी मूल्य: वी_{उड़ानों} = एक्सएनएनएक्स वी
पीक मान: वी_M= =2 * 220 वी = 311 वी

आवृत्ति: f = 50 1 / s = 50 Hz
कोणीय आवृत्ति: X = 2 * = * f = 314 1 / s = 314 rad / s
अवधि: T = 1 / f = 20 एमएस
समय समारोह: v (t) = 311 पाप (314 t)

आइए टीना विश्लेषण / एसी विश्लेषण / टाइम फ़ंक्शन कमांड का उपयोग करके समय फ़ंक्शन देखें।

अमेरिका में घरेलू विद्युत आउटलेट में 120 V AC वोल्टेज के गुण:

प्रभावी मूल्य: वी_{उड़ानों} = एक्सएनएनएक्स वी
पीक मान: वी_M= =2 120 V = 169.68 V UM 170 V
आवृत्ति: f = 60 1 / s = 60 Hz
कोणीय आवृत्ति: X = 2 * X * f = 376.8 रेड / s ≈ 377 रेड / एस
अवधि: T = 1 / f = 16.7 एमएस
समय समारोह: v (t) = 170 पाप (377 t)

ध्यान दें कि इस मामले में समय फ़ंक्शन v (t) = 311 पाप (314 t + () या v (t) = 311 cos (314 t +,) के रूप में दिया जा सकता है, क्योंकि आउटलेट वोल्टेज के मामले में शुरुआती चरण की जानकारी नहीं है।

प्रारंभिक चरण एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है जब कई वोल्टेज एक साथ मौजूद होते हैं। एक अच्छा व्यावहारिक उदाहरण तीन-चरण प्रणाली है, जहां एक ही चोटी के मूल्य, आकार और आवृत्ति के तीन वोल्टेज मौजूद हैं, जिनमें से प्रत्येक में दूसरों के सापेक्ष एक 120 ° चरण बदलाव है। एक 60 हर्ट्ज नेटवर्क में, समय के कार्य हैं:

v_A(t) = 170 पाप (377 t)

v_B(t) = १ t० पाप (३ t t टी - १२० °)

v_C(t) = 170 पाप (377 t + 120 °)

टीना के साथ किए गए निम्नलिखित आंकड़े इन समय कार्यों को टीना के वोल्टेज जनरेटर के रूप में दिखाते हैं।

वोल्टेज अंतर v_AB= वी_A(t) - वी_B(टी) टीना के विश्लेषण / एसी विश्लेषण / टाइम फंक्शन कमांड द्वारा हल के रूप में दिखाया गया है।

ध्यान दें कि वी के शिखर_AB (t) लगभग 294 V, 170 V peaksof v से बड़ा है_A(t) या वी_B(t) वोल्टेज, लेकिन यह भी केवल उनके चरम वोल्टेज का योग नहीं है। यह चरण अंतर के कारण है। हम चर्चा करेंगे कि परिणामी वोल्टेज (जो है) की गणना कैसे करें Ö3 * 170 @ 294 इस मामले में) बाद में इस अध्याय में और अलग में भी तीन चरण प्रणाली अध्याय.

साइनसोइडल संकेतों के लक्षण

हालांकि एक एसी सिग्नल लगातार अपनी अवधि के दौरान बदलता रहता है, एक लहर की दूसरे से तुलना करने के लिए कुछ विशिष्ट मानों को परिभाषित करना आसान है: ये शिखर, औसत और रूट-मीन-स्क्वायर (आरएमएस) मान हैं।

हम पहले ही चोटी के मूल्य से मिल चुके हैं V_M , जो कि समय समारोह का अधिकतम मूल्य है, साइनसोइडल तरंग का आयाम।

कभी-कभी चोटी-से-शिखर (पीपी) मूल्य का उपयोग किया जाता है। साइनसॉइडल वोल्टेज और धाराओं के लिए, चोटी-से-चोटी का मूल्य चोटी का मूल्य दोगुना है।

RSI औसत मूल्य साइन लहर सकारात्मक आधे चक्र के लिए मानों का अंकगणितीय औसत है। इसे भी कहा जाता है पूर्ण औसत चूंकि यह तरंग के निरपेक्ष मान के औसत के समान है। व्यवहार में, हम इस तरंग का सामना करते हैं सुधार एक पूर्ण तरंग सुधारक नामक सर्किट के साथ साइन वेव।

यह दिखाया जा सकता है कि साइनसोइडल तरंग का पूर्ण औसत है:

V_AV= एक्सएनयूएमएक्स /। वी_M X एक्सएनयूएमएक्स वी_M

ध्यान दें कि एक पूरे चक्र का औसत शून्य है।
एक sinusoidal वोल्टेज या वर्तमान के आरएमएस या प्रभावी मूल्य समान डीसी मूल्य के समान ताप शक्ति का उत्पादन करते हैं। उदाहरण के लिए, एक्सएनयूएमएक्स वी के प्रभावी मूल्य वाला एक वोल्टेज प्रकाश बल्ब में एक ही हीटिंग और प्रकाश शक्ति का उत्पादन करता है जैसा कि डीसी वोल्टेज स्रोत से एक्सएनयूएमएक्स वी करता है। यह दिखाया जा सकता है कि साइनसोइडल तरंग का आरएमएस या प्रभावी मूल्य है:

V_{आरएमएस} वी =_M / X2 √ 0.707 V_M

इन मूल्यों की गणना वोल्टेज और धाराओं दोनों के लिए समान तरीके से की जा सकती है।

अभ्यास में आरएमएस मूल्य बहुत महत्वपूर्ण है। जब तक अन्यथा इंगित न किया जाए, rms मानों में पावर लाइन AC वोल्टेज (जैसे 110V या 220V) दिए गए हैं। अधिकांश एसी मीटर आरएमएस में कैलिब्रेट किए जाते हैं और आरएमएस स्तर को इंगित करते हैं।

उदाहरण 1 220 V rms मान के साथ एक विद्युत नेटवर्क में साइनसोइडल वोल्टेज के चरम मूल्य का पता लगाएं।

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 वी

उदाहरण 2 110 V rms मान के साथ एक विद्युत नेटवर्क में साइनसोइडल वोल्टेज के चरम मूल्य का पता लगाएं।

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 वी

उदाहरण 3 साइनसोयोडल वोल्टेज का पूर्ण (पूर्ण) औसत ज्ञात करें यदि इसका आरएमएस मान 220 V है।

V_a = एक्सएनयूएमएक्स * वी_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 वी

उदाहरण 4 साइनसॉइडल वोल्टेज का पूर्ण औसत ज्ञात करें यदि इसका आरएमएस मान 110 V है।

उदाहरण 2 is155.58 V से वोल्टेज का शिखर और इसलिए:

V_a = एक्सएनयूएमएक्स * वी_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 वी

उदाहरण 5 निरपेक्ष औसत (V) के बीच का अनुपात ज्ञात कीजिए_a) और साइनसोइडल तरंग के लिए आरएमएस (वी) मान।

वी / वी_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

ध्यान दें कि आप एक एसी सर्किट में औसत मान नहीं जोड़ सकते क्योंकि यह अनुचित परिणामों की ओर जाता है।

phasors

जैसा कि हम पहले से ही पिछले अनुभाग में देख चुके हैं, अक्सर एसी सर्किट में एक ही आवृत्ति के साइनसोइडल वोल्टेज और धाराओं को जोड़ना आवश्यक होता है। यद्यपि टीना का उपयोग करते हुए संकेतों को जोड़ना संभव है, या त्रिकोणमितीय संबंधों को नियोजित करके, तथाकथित का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है phasor तरीका। एक चरण एक जटिल संख्या है जो एक साइनसोइडल सिग्नल के आयाम और चरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फ़ेसर आवृत्ति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, जो सभी फ़ेज़रों के लिए समान होना चाहिए।

एक चरण को एक जटिल संख्या के रूप में संभाला जा सकता है या जटिल विमान में प्लेनर तीर के रूप में रेखांकन किया जा सकता है। ग्राफिक प्रतिनिधित्व को चरणबद्ध आरेख कहा जाता है। फेजर आरेखों का उपयोग करते हुए, आप त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा एक जटिल विमान में चरण जोड़ सकते हैं या घटा सकते हैं।

जटिल संख्या के दो रूप हैं: आयताकार और ध्रुवीय.

आयताकार प्रतिनिधित्व फॉर्म + में है jb, कहाँ ज = Ö-1 काल्पनिक इकाई है।

ध्रुवीय प्रतिनिधित्व एई के रूप में है^{j j} , जहां A पूर्ण मान (आयाम) है और f वामावर्त दिशा में सकारात्मक वास्तविक अक्ष से चरण का कोण है।

हम इस्तेमाल करेंगे पिन जटिल मात्रा के लिए पत्र।

अब देखते हैं कि किसी समय फ़ंक्शन से संबंधित फ़ेसर को कैसे प्राप्त किया जाए।

पहले, मान लें कि सर्किट में सभी वोल्टेज कॉशन फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किए गए हैं। (सभी वोल्टेज उस रूप में परिवर्तित किए जा सकते हैं।) फिर द phasor v (t) = V के वोल्टेज के अनुरूप_M क्योंकि ( w t+f) वी है_M वी =_Me ^jf , जिसे जटिल शिखर मूल्य भी कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, वोल्टेज पर विचार करें: v (t) = 10 cos ( w टी + 30°)

इसी चरण है: V

हम उसी तरह एक चरण से समय समारोह की गणना कर सकते हैं। पहले हम चरण को ध्रुवीय रूप में लिखते हैं उदा V_M वी =_Me ^jr और फिर इसी समय कार्य है

वी (टी) = वी_M (Cos (wt+r).

उदाहरण के लिए, चरण पर विचार करें V_M = 10 - j20 वी

इसे ध्रुवीय रूप में लाना:

और इसलिए समय समारोह है: v (t) = 22.36 cos (wटी - एक्सएनएनएक्स^°) वी

फ़ासर्स अक्सर एसी सर्किट में वोल्टेज और धाराओं के जटिल प्रभावी या आरएमएस मूल्य को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। V (t) = V दिया गया_Mक्योंकि (wt+r) = 10cos (wटी + 30°)

संख्यानुसार:

v (t) = 10 * कॉस (wटी 30°)

जटिल प्रभावी (आरएमएस) मूल्य: V = 0.707 * 10 * e^{- j30°} = एक्सएनयूएमएक्स ई^{- j30°} = 6.13 - j 3.535

इसके विपरीत: यदि वोल्टेज का जटिल प्रभावी मूल्य है:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e ^{j 116.5°}

तब जटिल शिखर मूल्य:

और समय समारोह: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) वी

उपरोक्त तकनीकों का संक्षिप्त औचित्य इस प्रकार है। एक टाइम फंक्शन दिया
V_M (Cos ( w t+r), चलो परिभाषित करते हैं जटिल समय समारोह के रूप में:

v (t) = वी_M e ^jr e ^jwt = V_Me ^jwt वी =_M (Cos (r) + j पाप (r)) ई ^jwt

जहां V_M =V_M e ^{j r t} वी =_M (Cos (r) + j पाप (r)) बस ऊपर पेश किया गया चरण है।

उदाहरण के लिए, v (t) = 10 cos (wटी + 30°)

v (t) = V_Me ^jwt = एक्सएनयूएमएक्स ई ^j30 e ^jwt = 10e ^jwt (cos (30) + j sin (30)) = ई ^jwt (8.66 +j5)

जटिल समय समारोह की शुरुआत करके, हमारे पास एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग दोनों के साथ एक प्रतिनिधित्व है। हम हमेशा अपने परिणाम का वास्तविक हिस्सा लेकर समय के मूल वास्तविक कार्य को प्राप्त कर सकते हैं: v (t) = Re {v(टी)}

हालांकि जटिल समय फ़ंक्शन का बड़ा फायदा है, क्योंकि एसी सर्किट में सभी जटिल समय के कार्यों में एक ही ई है^jwt गुणक, हम इसे बाहर कर सकते हैं और बस चरणबद्ध तरीके से काम कर सकते हैं। इसके अलावा, व्यवहार में हम ई का उपयोग नहीं करते हैं^jwt समय-कार्यों से चरणबद्धों और पीठ पर सभी परिवर्तनों का हिस्सा।

फ़ासर्स का उपयोग करने के लाभ को प्रदर्शित करने के लिए, आइए निम्न उदाहरण देखें।

उदाहरण 6 वोल्टेज का योग और अंतर ज्ञात कीजिए:

v₁ = 100 cos (314 * t) और v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

पहले दोनों वोल्टेज के चरण लिखें:

V_1M = 100 V_2M= एक्सएनयूएमएक्स ई ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

इसलिये:

V_{जोड़ना} = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- जे 14.63°}

V_नीचे = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 ई ^{j 28.67°}

और फिर समय कार्य:

v_{जोड़ना}(t) = 139.89 * कॉस (wटी - एक्सएनएनएक्स°)

v_नीचे(t) = 73.68 * कॉस (wt + 28.67°)

जैसा कि यह सरल उदाहरण दिखाता है, phasors.is की विधि एसी समस्याओं को हल करने के लिए एक अत्यंत शक्तिशाली उपकरण है।

आइए टीना के दुभाषिया में उपकरणों का उपयोग करके समस्या को हल करें।

आयाम और चरण परिणाम हाथ की गणना की पुष्टि करते हैं।

अब टीना के एसी विश्लेषण का उपयोग करके परिणाम की जांच करें।

विश्लेषण करने से पहले, आइए सुनिश्चित करें कि एसी के लिए बेस फंक्शन आईए सेट करने के लिए कोज्या में संपादक विकल्प दृश्य / विकल्प मेनू से संवाद बॉक्स। हम इस पैरामीटर की भूमिका के बारे में बताएंगे उदाहरण 8.

सर्किट और परिणाम:

उदाहरण 7 वोल्टेज का योग और अंतर ज्ञात कीजिए:

v₁ = 100 पाप (314 * t) और v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

यह उदाहरण एक नया प्रश्न लाता है। अब तक हमने आवश्यक किया है कि सभी समय के कार्यों को कॉशन कार्यों के रूप में दिया जाए। साइन के रूप में दिए गए टाइम फंक्शन के साथ हम क्या करेंगे? इसका उपाय साइन फ़ंक्शन को एक कोसिन फ़ंक्शन में बदलना है। त्रिकोणमितीय संबंध पाप (x) = कॉस (x-) का उपयोग करनाp/ 2) = क्योंकि (एक्स 90°), हमारे उदाहरण के रूप में निम्नानुसार प्रत्यारोपित किया जा सकता है:

v₁ = 100 कॉस (314t - 90)°) और v₂ = 50 कॉस (314 * टी - 45°)

अब वोल्टेज के चरण हैं:

V_1M = एक्सएनयूएमएक्स ई ^{- j 90°} = -100 j V_2M= एक्सएनयूएमएक्स ई ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

इसलिये:

V _{जोड़ना} = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _नीचे = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

और फिर समय कार्य:

v_{जोड़ना}(t) = 139.8966 cos (wटी 75.36°)

v_नीचे(t) = 73.68 cos (wटी 118.68°)

आइए टीना के दुभाषिया में उपकरणों का उपयोग करके समस्या को हल करें।

आइए टीना के एसी विश्लेषण के साथ परिणाम की जांच करें

उदाहरण 8

v₁ = 100 पाप (314 * t) और v₂ = 50 पाप (314 * t-45°)

यह उदाहरण एक और मुद्दे को सामने लाता है। क्या होगा अगर सभी वोल्टेज साइन लहरों के रूप में दिए जाते हैं और हम साइन लहर के रूप में परिणाम देखना चाहते हैं? हम निश्चित रूप से दोनों वोल्ट को कॉज़ेन फ़ंक्शंस में बदल सकते हैं, उत्तर की गणना कर सकते हैं, और परिणाम को साइन फ़ंक्शन में वापस बदल सकते हैं - लेकिन यह आवश्यक नहीं है। हम साइन तरंगों से उसी तरह से चरण बना सकते हैं जैसे हमने कोसाइन तरंगों से किया था और फिर परिणाम में साइन तरंगों के आयाम और चरण के रूप में उनके आयाम और चरणों का उपयोग करते हैं।

यह स्पष्ट रूप से साइन तरंगों को कॉशन तरंगों में बदलने के समान परिणाम देगा। जैसा कि हम पिछले उदाहरण में देख सकते हैं, यह गुणा करने के बराबर है -j और फिर cos (x) = sin (x-90) का उपयोग करना°) इसे एक साइन लहर में बदलने के लिए संबंध। यह गुणा करने के बराबर है j। दूसरे शब्दों में, चूंकि -j × j = 1, हम फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए साइन तरंगों के आयाम और चरणों से सीधे प्राप्त किए गए चरणों का उपयोग कर सकते हैं और फिर सीधे उनके पास लौट सकते हैं। साथ ही, जटिल समय के कार्यों के बारे में उसी तरीके से तर्क देते हुए, हम साइन तरंगों को जटिल समय के कार्यों के काल्पनिक भागों के रूप में मान सकते हैं और उन्हें पूर्ण जटिल समय फ़ंक्शन बनाने के लिए कॉशन फ़ंक्शन के साथ पूरक कर सकते हैं।

आइए चरणों के आधार के रूप में साइन फ़ंक्शन का उपयोग करके इस उदाहरण का समाधान देखें (पाप को बदलना) w t) वास्तविक इकाई चरण (1))।

V_1M = 100 V_2M= एक्सएनयूएमएक्स ई ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

इसलिये:

V _{जोड़ना} = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _नीचे = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

ध्यान दें कि चरण 6 में बिल्कुल समान हैं, लेकिन समय कार्य नहीं:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

जैसा कि आप देख सकते हैं, साइन कार्यों का उपयोग करके परिणाम प्राप्त करना बहुत आसान है, खासकर जब हमारे प्रारंभिक डेटा साइन लहरें हैं। कई पाठ्यपुस्तक फासर्स के आधार फ़ंक्शन के रूप में साइन लहर का उपयोग करना पसंद करती हैं। व्यवहार में, आप या तो विधि का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन उन्हें भ्रमित न करें।

जब आप चरण बनाते हैं, तो यह बहुत महत्वपूर्ण है कि सभी समय के कार्य पहले या तो साइन या कोसाइन में परिवर्तित हो जाते हैं। यदि आप साइन फ़ंक्शंस से शुरू करते हैं, तो आपके समाधान को फ़ाइनर्स से समय के फ़ंक्शंस पर लौटते समय साइन फ़ंक्शंस के साथ दर्शाया जाना चाहिए। यदि आप कोसाइन फ़ंक्शंस से शुरू करते हैं, तो यह सच है।

आइए टीना की इंटरएक्टिव मोड का उपयोग करके उसी समस्या को हल करें। चूंकि हम चरण बनाने के लिए आधार के रूप में साइन कार्यों का उपयोग करना चाहते हैं, इसलिए सुनिश्चित करें कि द एसी के लिए बेस फंक्शन इसके लिए सेट है ज्या में संपादक विकल्प दृश्य / विकल्प मेनू से संवाद बॉक्स।

और समय कार्य:

 

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