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Como vimos en el capítulo anterior, la impedancia y la admitancia pueden manipularse usando las mismas reglas que se usan para los circuitos de CC. En este capítulo demostraremos estas reglas calculando la impedancia total o equivalente para circuitos de CA en serie, en paralelo y en serie en paralelo.
ejemplo 1
Encuentre la impedancia equivalente del siguiente circuito:
R = 12 ohmios, L = 10 mH, f = 159 Hz
Los elementos están en serie, por lo que nos damos cuenta de que deben agregarse sus impedancias complejas:
Zeq = ZR + ZL = R + j w L = 12 + j* 2 *p* 159 * 0.01 = (12 + j 9.99) ohm = 15.6 ej39.8° ohm.
Yeq = 1 /Zeq = 0.064 e– j 39.8° S = 0.0492 - j 0.0409 S
Podemos ilustrar este resultado usando medidores de impedancia y el diagrama de fasores en
TINA v6. Como el medidor de impedancia de TINA es un dispositivo activo y vamos a utilizar dos de ellos, debemos organizar el circuito para que los medidores no se influyan entre sí.
Hemos creado otro circuito solo para medir las impedancias de las piezas. En este circuito, los dos medidores no "ven" la impedancia del otro.
La Análisis / Análisis AC / Diagrama fasorial El comando dibujará los tres fasores en un diagrama. Utilizamos el Etiquetado automático comando para agregar los valores y el línea comando del Editor de diagramas para agregar las líneas auxiliares discontinuas para la regla de paralelogramo.
El circuito para medir las impedancias de las partes.
Diagrama de fasor que muestra la construcción de Zeq con la regla del paralelogramo
Como muestra el diagrama, la impedancia total, Zeq, se puede considerar como un vector resultante complejo derivado usando el regla de paralelogramo De las impedancias complejas. ZR y ZL.
ejemplo 2
Encuentre la impedancia y la admitancia equivalentes de este circuito paralelo:
R = 20 ohm, C = 5 mF, f = 20 kHz
La entrada:
La impedancia mediante la Za = Z1 Z2 / (Z1 + Z2 ) Fórmula para impedancias paralelas:
Otra forma en que TINA puede resolver este problema es con su intérprete:
om: = 2 * pi * 20000;
Z: = Replus (R, (1 / j / om / C))
Z = [125.8545m-1.5815 * j]
Y: = 1 / R + j * om * C;
Y = [50m + 628.3185m * j]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Primero defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
om=2*c.pi*20000
Z=Replus(R,1/complejo(0,1/om/C))
imprimir(“Z=”,cp(Z))
Y=complejo(1/R,om*C)
imprimir(“Y=”,cp(Y))
ejemplo 3
Encuentre la impedancia equivalente de este circuito paralelo. Utiliza los mismos elementos que en el Ejemplo 1:
R = 12 ohm y L = 10 mH, en f = frecuencia 159 Hz.
Para circuitos paralelos, a menudo es más fácil calcular primero la admitancia:
Yeq = YR + YL = 1 / R + 1 / (j*2*p*f * L) = 1 / 12 - j / 10 = 0.0833 - j 0.1 = 0.13 e–j 50° S
Zeq = 1 / Yeq = 7.68 e j 50° ohm.
Otra forma en que TINA puede resolver este problema es con su intérprete:
f: = 159;
om: = 2 * pi * f;
Zeq: = replus (R, j * om * L);
Zeq = [4.9124 + 5.9006 * j]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Primero defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
f = 159
om=2*c.pi*f
Zeq=Replus(R,complejo(1j*om*L))
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
ejemplo 4
Encuentre la impedancia de un circuito en serie con R = 10 ohmios, C = 4 mF, y L = 0.3 mH, a una frecuencia angular w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.957 kHz).
Z = R + j w L - j / wC = 10 + j 5*104 * 3 * 10-4 – j / (5 * 104 * 4 * 10-6 ) = 10 + j 15 - j 5
Z = (10 + j 10) ohmios = 14.14 correoj 45° ohms
El circuito para medir las impedancias de las partes.
El diagrama de fasores generado por TINA.
Comenzando con el diagrama fasorial anterior, usemos el triángulo o la regla de construcción geométrica para encontrar la impedancia equivalente. Comenzamos moviendo la cola de ZR a la punta de ZL. Luego movemos la cola de ZC a la punta de ZR. Ahora la resultante Zeq cerrará exactamente el polígono a partir de la cola del primer ZR fasor y terminando en la punta de ZC.
El diagrama fasorial que muestra la construcción geométrica de Zeq
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = ZR + j * ZL-j * ZC;
Z = [10 + 10 * j]
abs (Z) = [14.1421]
radtodeg (arco (Z)) = [45]
{Otra manera}
Zeq: = R + j * om * L + 1 / j / om / C;
Zeq = [10 + 10 * j]
Abs (Zeq) = [14.1421]
fi: = arco (Z) * 180 / pi;
fi = [45]
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importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=ZR+1j*ZL-1j*ZC
imprimir(“Z=”,cp(Z))
imprimir(“abs(Z)= %.4f”%abs(Z))
imprimir(“grados(arco(Z))= %.4f”%m.grados(c.fase(Z)))
#Otra manera
Zeq=R+1j*om*L+1/1j/om/C
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
imprimir(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
fi=c.fase(Z)*180/c.pi
imprimir(“fi=”,cp(fi))
Verifique sus cálculos utilizando los TINA Menú de análisis Calcular voltajes nodales. Cuando hace clic en el medidor de impedancia, TINA presenta tanto la impedancia como la admitancia, y proporciona los resultados en formas algebraicas y exponenciales.
Dado que la impedancia del circuito tiene una fase positiva como un inductor, podemos llamarlo un circuito inductivo–¡Al menos en esta frecuencia!
ejemplo 5
Encuentre una red en serie más simple que pueda reemplazar el circuito en serie del ejemplo 4 (a la frecuencia dada).
Notamos en el ejemplo 4 que la red es inductivo, por lo que podemos reemplazarlo por una resistencia de 4 ohmios y una reactancia inductiva de 10 ohmios en serie:
XL = = 10 w* L = 50 * 103 L
® L = 0.2 mH
No olvide que, dado que la reactancia inductiva depende de la frecuencia, esta equivalencia es válida solo para una frecuencia.
ejemplo 6
Encuentre la impedancia de tres componentes conectados en paralelo: R = 4 ohmios, C = 4 mF, y L = 0.3 mH, a una frecuencia angular w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.947 kHz).
Al notar que este es un circuito paralelo, resolvemos primero la admitancia:
1/Z = 1 / R + 1 / j w L + jwC = 0.25 - j / 15 +j0.2 = 0.25 +j 0.1333
Z = 1 / (0.25 + j 0.133) = (0.25 - j 0.133) /0.0802 = 3.11 - j 1.65 = 3.5238 e–j 28.1° ohms
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = 1 / (1 / R + 1 / j / ZL-1 / j / ZC);
Z = [3.1142-1.6609 * j]
abs (Z) = [3.5294]
fi: = radtodeg (arco (Z));
fi = [- 28.0725]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
#Defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=1/(1/R+1/1j/ZL-1/1j/ZC)
imprimir(“Z=”,cp(Z))
imprimir(“abs(Z)= %.4f”%abs(Z))
fi=m.grados(c.fase(Z))
imprimir(“fi= %.4f”%fi)
#de otra manera
Zeq=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C))
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
imprimir(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
print(“grados(arco(Zeq))= %.4f”%m.grados(c.fase(Zeq)))
El intérprete calcula la fase en radianes. Si desea fase en grados, puede convertir de radianes a grados multiplicando por 180 y dividiendo por p. En este último ejemplo, verá una forma más simple: utilice la función integrada del intérprete, radtodeg. También hay una función inversa, degtorad. Tenga en cuenta que la impedancia de esta red tiene una fase negativa como un condensador, por lo que decimos que, a esta frecuencia, es una circuito capacitivo.
En el ejemplo 4 colocamos tres componentes pasivos en serie, mientras que en este ejemplo colocamos los mismos tres elementos en paralelo. La comparación de las impedancias equivalentes calculadas a la misma frecuencia revela que son totalmente diferentes, incluso su carácter inductivo o capacitivo.
ejemplo 7
Encuentre una red en serie simple que pueda reemplazar el circuito paralelo del ejemplo 6 (a la frecuencia dada).
Esta red es capacitiva debido a la fase negativa, por lo que intentamos reemplazarla con una conexión en serie de una resistencia y un condensador:
Zeq = (3.11 - j 1.66) ohm = Re –j / wCe
Re = 3.11 ohm w* C = 1 / 1.66 = 0.6024
por lo tanto
Re = 3.11 ohm
C = 12.048 mF
Podría, por supuesto, reemplazar el circuito paralelo con un circuito paralelo más simple en ambos ejemplos
ejemplo 8
Encuentre la impedancia equivalente del siguiente circuito más complicado a una frecuencia f = 50 Hz:
om: = 2 * pi * 50;
Z1: = R3 + j * om * L3;
Z2: = replus (R2,1 / j / om / C);
Zeq: = R1 + Replus (Z1, Z2);
Zeq = [55.469-34.4532 * j]
abs (Zeq) = [65.2981]
radtodeg (arco (Zeq)) = [- 31.8455]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
#Defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=2*c.pi*50
Z1=R3+1j*om*L3
Z2=Replus(R2,1/1j/om/C)
Zeq=R1+Replus(Z1,Z2)
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
imprimir(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
print(“grados(arco(Zeq))= %.4f”%m.grados(c.fase(Zeq)))
Necesitamos una estrategia antes de comenzar. Primero reduciremos C y R2 a una impedancia equivalente, ZRC. Entonces, viendo que ZRC está en paralelo con los L3 y R3 conectados en serie, calcularemos la impedancia equivalente de su conexión en paralelo, Z2. Finalmente, calculamos Zeq como la suma de Z1 Y Z2.
Aquí está el cálculo de ZRC:
Aquí está el cálculo de Z2:
Y por último:
Zeq = Z1 + Z2 = (55.47 - j 34.45) ohm = 65.3 e–j31.8° ohm
según el resultado de TINA.
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