KOMPLEKS NUMARALARI

TINACloud-ni ishga tushirish va ularni Internetda tahlil qilish uchun Interaktiv DC rejimini tanlash uchun Quyidagi misollarni bosing yoki bosing.
TINACloud-ga arzon narxlardagi ma'lumotni oling va misollarni tahrirlang yoki o'zingizning davrlarini yarating

MOSH VA LOP KOMMUNIKATORINI YO'NALIShLAR

ALTERNATING MUDDATI PRINCIPLLARI

Ushbu va keyingi boblarda biz juda muhim mavzuni taqdim etamiz: AC yoki alternativ oqim. Nominal o'zgaruvchan oqim juda aniq emas va odatda sinusoidal kuchlanish va oqimlari bo'lgan davrlarni qamrab oladi; ammo alternativ oqim har qanday tasodifiy oqim to'lqin shaklini ham anglatishi mumkin. AC kuchlanishining ahamiyati shundaki, bunday turdagi kuchlanish butun dunyo bo'ylab uy va sanoatdagi asosiy elektr energiyasi uchun ishlatiladi. Bundan tashqari, ko'plab elektronika, telekommunikatsiya va sanoat ilovalari uchun asosdir.

Sinusoidal to'lqin shakllari va ular bilan bog'liq bo'lgan davrlarni boshqarish uchun biz fazo usullari deb ataladigan oddiy va oqilona usuldan foydalanamiz. Fasorlar sinusoidal miqdorlarni ifodalash uchun ideal bo'lgan murakkab sonlarning xususiyatlariga asoslangan. Ushbu bobda murakkab sonlar va ularning faoliyati haqida asosiy faktlarni umumlashtiramiz. Bundan tashqari, TINA tarjimoni murakkab sonlar bilan hisob-kitoblarni qanday qilishni osonlashtiradi.

Kompleks sonlar ikki qismdan iborat: a haqiqiy qism (x), bu haqiqiy raqam va shunga o'xshash xayoliy qism (y), bu haqiqiy son bilan ko'paytiriladi , hayoliy birlik. Kompleks son z, shuning uchun quyidagicha ta'riflanishi mumkin:

z = x + jy

qayerda .

Murakkab raqamlar misoli:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Kompleks sonlar dastlab XVII asrda ko'p sonli ko'payishlarning ildizlarini ifodalash uchun joriy qilingan, ammo ularni faqat haqiqiy sonlar bilan ifodalash mumkin emas edi. Masalan, x tenglamaning ildizlari²+ 2x + 2 = 0 sifatida faqat ta'riflanishi mumkin va , yoki yozuvni ishlatish , z₁= 1 + j va z₂= 1- j. Ifodalarning xususiyatlarini o'rganish uchun yangi belgi yordamida matematiklar teoremalarni isbotlay oldilar va shu vaqtgacha qiyin bo'lgan, hal qilishning iloji bo'lmagan bo'lsa ham muammolarni echishga muvaffaq bo'ldilar. Bu hozirgi kunda matematikada va muhandislikda keng qo'llaniladigan murakkab algebra va murakkab funktsiyalarni ishlab chiqishga olib keldi.

Murakkab sonlarning geometrik ifodasi

To'rtburchak shakl

Kompleks sonni har doim uning haqiqiy va murakkab qismlariga ajratish mumkinligi sababli, biz murakkab sonni ikki o'lchovli tekislikdagi nuqta sifatida ifodalashimiz mumkin. Kompleks sonning haqiqiy qismi bu nuqtaning haqiqiy o'qga proektsiyasi, va sonning xayoliy qismi - xayoliy o'qga proektsiyasi. Agar murakkab son haqiqiy va xayoliy qismlar yig'indisi sifatida ifodalangan bo'lsa, unda deymiz to'rtburchaklar or algebraik shakl.

Quyidagi rasm kompleks sonni ko'rsatadi z = 2 + 4j

Polar va exponential shakl

Yuqoridagi rasmdan ko'rinib turibdiki, A nuqta o'qning uzunligi bilan ham ifodalanishi mumkin, r (shuningdek, mutlaq qiymat, kattalik yoki amplituda deb ham ataladi) va uning burchagi (yoki fazasi), φ yo'nalishini musbat gorizontal o'qga nisbatan Bu qutb murakkab sonning shakli. U r ∠ deb belgilanadi φ.

Keyingi qadam juda muhim. Kutupsal shaklda murakkab son ham yozilishi mumkin exponential shakl:

Ushbu oddiy ibora shunchaki ajralib turadi, unda odatiy haqiqiy raqam o'rniga eksponentda xayoliy raqam mavjud. Ushbu murakkab eksponensial eksponensial funktsiyadan haqiqiy dalil bilan juda farq qiladi. Holbuki e^x x> 0 ortishi uchun kattaligi bilan tez o'sadi va x <0 ga kamayadi, funktsiyasi har qanday φ uchun bir xil kattalik (z = 1) mavjud. Bundan tashqari, uning murakkab qiymatlari birlik doirasiga to'g'ri keladi.

Eulerning formulasi murakkab sonlarning to'rtburchak, qutbli va eksponentsial shakllari o'rtasida birlashtiruvchi bog'lanishni ta'minlaydi:

z = x + jy = re ^jφ = r (kos φ + j gunoh φ )

qayerda

va φ = tan^-1(Y / x).

Yuqoridagi misol uchun, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

shuning uchun .

Yoki aksincha:

Ilovaga qarab ikkala shaklni ishlatishda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Masalan, sonlar to'rtburchaklar shaklida bo'lganda, qo'shib qo'yish yoki ayirish osonroq, ko'paytirish va bo'linish esa eksponensial shaklda bo'lganda osonroq bo'ladi.

Kompleks raqamli operatsiyalar

Murakkab raqamlar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan operatsiyalar haqiqiy sonlar uchun bajarilgan operatsiyalarga o'xshaydi. Qoidalar va ba'zi yangi ta'riflar quyida keltirilgan.

J bilan operatsiyalar

Bilan operatsiyalar j oddiygina tasavvur birligining ta'rifidan kelib chiqib,

Tez va aniq ishlash uchun ushbu qoidalarni eslab qolishingiz kerak:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Tasdiqlovchi:

j² = -1 oddiy ta'rifdan kelib chiqadi , beri

1 /jBiz 1 /jby j / j = 1 va oling j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Murakkab konjugat

Murakkab sonning kompleks kontseptsiyasi osonlik bilan olinadi va juda muhimdir. To'rtburchak shaklda murakkab sonning murakkab konyungusini olish uchun, tasavvuriy qismning belgisini o'zgartiring. Eksponent shaklda bir qator uchun buni bajarish uchun uning mutlaq qiymatini bir xil saqlab, murakkab sonning burchagi o'zgartirilsin.

Murakkab sonning murakkab konyungati z tez-tez ishlatiladi z^*.

Kompleks sonni hisobga olgan holda z= a + jb, uning murakkab konjugatidir z^*= a- jb.

If z eksponent shaklda berilgan, , uning murakkab konjugatidir

Yuqoridagi ta'riflardan foydalanib, murakkab sonning murakkab konjugat bilan ko'paytirilishi kompleks sonning mutlaq qiymatini beradi:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Bundan tashqari, har qanday murakkab sonni va uning konjugatini qo'shsangiz yoki olib tashlasak, quyidagi munosabatlarga egamiz:

z + z ^* = 2a

shuning uchun

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Xuddi shunday:

z - z ^* =j2b

shuning uchun

Im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Tasdiqlovchi:

yoki haqiqiy va hayoliy qismlarni ko'paytirish va ulardan foydalanish j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Raqamli misollar:

To'rtburchak shaklda:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Polar shaklda

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Eksponent shaklda:

Qo'shish va ayirish

Murakkab sonlarni qo'shish va ayirish oson - biz faqat haqiqiy va xayoliy qismlarni alohida qo'shishimiz kerak. Masalan, agar

z₁ = 3 - 4j va z₂= 2 + 3j

so'ng

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Shubhasiz, biz ushbu operatsiyalar uchun to'rtburchaklar shakldan foydalanishimiz kerak. Agar raqamlar eksponent yoki qutb shaklida berilgan bo'lsa, avval ularni Euler formulasi yordamida to'rtburchaklar shaklga o'tkazishimiz kerak.

Ko'paytirish

Murakkab sonlarni ko'paytirishning ikkita usuli mavjud -

To'rtburchak shaklda berilgan murakkab sonlarni ko'paytirish

Amaliyotni bajarish uchun bitta raqamning haqiqiy va xayoliy qismlarini boshqa raqamning haqiqiy va xayoliy qismlariga navbat bilan ko'paytiring va identifikatsiyadan foydalaning. j²= -1.

z₁z₂ = (A.₁ + jb₁) (A.₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Murakkab sonlar soni berilganida, yuqoridagi formuladan foydalanish shart emas. Masalan, ruxsat bering

z₁ = 3 - 4j va z₂= 2 + 3j

Komponentlarning to'g'ridan-to'g'ri aylanishi bilan:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

yoki quyidagi formuladan foydalanib: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Formulani to'g'ridan-to'g'ri ko'paytirsangiz ham, xatolik yuzaga kelishi ehtimoli ko'proq.

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python tomonidan yechim:
matematikani m sifatida import qiling
c sifatida import cmath

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
chop etish(“z1*z2=”,z1*z2)

Polar yoki eksponent shaklda berilgan murakkab sonlarni ko'paytirish

Ushbu amalni bajarish uchun mutlaq qiymatlarni ko'paytiring va ikkita murakkab sonning burchlarini qo'shing. Qani:

Keyin eksponent funktsiyalarni ko'paytirish qoidani ishlatib:

yoki qutb shaklida

z₁ z₂ = r₁ r₂ Φ₁+ ph₂

Eslatma: Biz hisob-kitob qilganimizda, ushbu qoidani allaqachon ishlatganmiz zz ^*yuqorida Konyugat burchagi asl burchakning teskari belgisiga ega bo'lganligi sababli, o'z konyugatiga ko'paytiriladigan murakkab son har doim haqiqiy son bo'ladi; ya'ni uning mutlaq qiymatining kvadratiga: zz ^*= r²

Misol uchun:

z₁ = 5 ∠ 30 ° va z₂ = 4 ∠ -60 °

so'ng

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

yoki eksponent shaklda

Raqamlar qutbli yoki eksponent shaklda bo'lganda ko'payish aniq.

Ammo, agar kompleks sonlar to'rtburchaklar shaklida berilgan bo'lsa, ko'paytirishni to'g'ridan-to'g'ri yuqorida ko'rsatilganidek bajarishni o'ylab ko'rishingiz kerak, chunki agar siz ularni ko'paytirmasdan oldin qutb shakliga aylantirsangiz, qo'shimcha qadamlar mavjud. Ko'rib chiqadigan yana bir omil bu siz javoblarni to'rtburchaklar shaklida yoki qutb / eksponent shaklida bo'lishini xohlaysizmi. Masalan, agar ikkita raqam to'rtburchaklar shaklida bo'lsa, lekin ularning qutb shaklida bo'lishini istasangiz, ularni darhol aylantirish va keyin ularni ko'paytirish mantiqiy bo'ladi.

taqsimlash

Kompleks sonlarni ajratishning ikkita usuli mavjud -

To'rtburchak shaklda berilgan murakkab sonlarni taqsimlash

Amaliyotni bajarish uchun, hisoblagich va maxrajni maxraj konjugatiga ko'paytiring. Mahsulot haqiqiy raqamga aylanadi va bo'linish ikkita murakkab sonning ko'payishiga va haqiqiy songa bo'linish, maxrajning mutlaq qiymatining kvadratiga kamayadi.

Misol uchun:

z₁ = 3 - 4j va z₂= 2 + 3j

Ushbu natijani TINA ning Tarjimoniga tekshiring:

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python tomonidan yechim:
matematikani m sifatida import qiling
c sifatida import cmath

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
chop etish(“z1/z2=”,z1/z2)

Polar yoki eksponent shaklda berilgan murakkab sonlar bo'limi

Operatsiyani amalga oshirish uchun mutlaq qiymatlarni (kattaliklarni) ajratib oling va matematika burchagini summaning burchagidan chiqaring. Qani:

keyin eksponent funktsiyalarni ajratish qoidasini qo'llash

yoki qutb shaklida

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Misol uchun:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° va z ₂ = 2 ∠ -60 °

so'ng

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

yoki eksponentsial va to'rtburchaklar shakllarda

Ushbu natijani TINA ning Tarjimoniga tekshiring:

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python tomonidan yechim:
matematikani m sifatida import qiling
c sifatida import cmath

z1=5*(c.exp(murakkab(0,m.radian(30))))
z2=2*(c.exp(murakkab(0,m.radian(-60))))
chop etish(“z1/z2=”,z1/z2)

Raqamlar qutbli yoki eksponensial shaklda bo'lganda, bo'linish aniqroq bo'ladi.

Ammo, agar kompleks sonlar to'rtburchaklar shaklida berilgan bo'lsa, yuqorida ko'rsatilgandek, kompleks konjugat usulidan foydalanib, bo'linishni to'g'ridan-to'g'ri bajarishni o'ylab ko'rishingiz kerak, chunki raqamlarni ajratmasdan oldin qutb shakliga o'tkazsangiz qo'shimcha qadamlar mavjud. Ko'rib chiqadigan yana bir omil bu siz javoblarni to'rtburchaklar shaklida yoki qutb / eksponent shaklida bo'lishini xohlaysizmi. Masalan, agar ikkita raqam to'rtburchaklar shaklida bo'lsa, lekin ularning qutb shaklida bo'lishini istasangiz, ularni darhol aylantirish va keyin ularni ajratish mantiqiy bo'ladi.

Keling, biz murakkab sonlarni ko'p sonli muammolar bilan qo'llashni misol qilib keltiramiz. Odatdagidek, TINA ning interpretatori yordamida echimlarimizni tekshiramiz. Tarjimonlar radyanlar bilan ishlaydi, ammo radyanlarni darajalarga yoki aksincha o'zgartirishi uchun standart funktsiyalarga ega.

misol 1 Polar vakili toping:

z = 12 - j 48

yoki 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
boshq (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Python tomonidan yechim:
matematikani m sifatida import qiling
c sifatida import cmath

z=12-kompleks(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.faza(z))
print(“daraja(arc(z))=”,m.degrees(c.faza(z)))

misol 2 To'rtburchaklar ko'rinishini toping:

z = 25 ga ^j¹²⁵ ^°

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python tomonidan yechim:
matematikani m sifatida import qiling
c sifatida import cmath

z=25*c.exp(murakkab(0,m.radian(125)))
chop etish(“z=”,z)
chop etish(“real(z)=”,z.real)
chop etish(“imag(z)=”,z.imag)

misol 3 Quyidagi kompleks raqamlarning polar ifodasini toping:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Barcha to'rtta raqamning mutlaq qiymatlari bir xil, chunki mutlaq qiymat belgilarga bog'liq emas. Faqat burchaklar farq qiladi.

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
boshq (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (boshq (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
boshq (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (boshq (z4)) = [- 104.0362]

#Python tomonidan yechim:
matematikani m sifatida import qiling
c sifatida import cmath

z1=kompleks('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
chop etish(“arc(z1)=”,c.faza(z1))
print(“daraja(arc(z1))=”,m.degrees(c.faza(z1)))

z2=kompleks('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
chop etish(“arc(z2)=”,c.faza(z2))
print(“daraja(arc(z2))=”,m.degrees(c.faza(z2)))

z3=kompleks('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
chop etish(“arc(z3)=”,c.faza(z3))
print(“daraja(arc(z3))=”,m.degrees(c.faza(z3)))

z4=murakkab('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
chop etish(“arc(z4)=”,c.faza(z4))
print(“daraja(arc(z4))=”,m.degrees(c.faza(z4)))

TINA ning boshq () funktsiyasi har qanday murakkab sonning burchagini aniqlaydi va uni to'rtta to'rtlikning biriga to'g'ri joylashtiradi.

Biroq tanni ishlatish bilan ehtiyot bo'ling^-1 burchakni topish funktsiyasi, chunki u faqat birinchi va to'rtinchi kvadrantlarda (-90 °) qaytish bilan cheklangan.φ<90 °).

chunki z₁koordinata tizimining dastlabki kvadrantida joylashgan, hisoblash quyidagilar:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

chunki z₄koordinata sistemasining uchinchi kvadrantida joylashgan^-1burchagi to'g'ri qaytarilmaydi. Burchakni hisoblash:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° yoki -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, bu TINA tomonidan hisoblangan bilan bir xil.

z₂koordinata tizimining to'rtinchi kvadrantida joylashgan. Burchakni hisoblash:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Biroq, koordinata tizimining 2nd kvadrantida, shuning uchun tan^-1burchakka to'g'ri qaytarilmaydi. Burchakni hisoblash:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

misol 4 Ikki murakkab raqam mavjud: z₁= 4 - j 6 va z₂ = 5 ga^j⁴⁵ ^° .

topish z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Avval TINA ning interpretatoridan foydalanib muammoni hal qilamiz

{TINA tarjimoni tomonidan hal qilingan}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Qanday qilib TINA har xil shakllarda berilgan ikkita murakkab sonni qanday qilib osonlikcha ishlasa bo'ladi.

Tarjimonsiz echim murakkabroq. Ko'paytirish va bo'lishning turli usullarini taqqoslashimiz uchun avval qutb shaklini aniqlaymiz z₁ va to'rtburchak shakli z₂.

Keyinchalik, eng oson shakllardan foydalangan holda to'rtta echimni topamiz: qo'shish va ayirish uchun to'rtburchaklar, ko'paytirish va bo'lish uchun eksponent.