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傅里叶定理 指出任何周期波形都可以通过添加适当加权的各种频率的正弦和余弦项来合成。该定理在其他教科书中已有详细介绍，因此我们仅总结结果并展示一些示例。

令我们的周期函数为 f (t) = f (t ±nT) 其中T是一个周期的时间，n是整数。

w₀= 2p/ T 基本角频率。

由 傅立叶定理， 周期函数可以写成以下总和：

哪里

A_n 和B._n 是 傅里叶系数 总和是 傅立叶级数.

另一种形式，可能更实用一些：

哪里

A₀ = C.₀ 是 DC 或平均值，A₁，B₁ 和C.₁ 是基波分量，其他是调和项。

虽然可能只需要几个项来近似某些波形，但其他波形则需要许多项。

一般来说，包含的项越多，近似值就越好，但对于包含阶跃的波形，例如矩形脉冲， 吉布斯现象 发挥作用。随着项数的增加，超调变得集中在更小的时间段内。

An 甚至功能 f(t) = f(-t)（轴对称）仅需要余弦项。

An 奇怪的功能 f(t) = – f(-t)（点对称）仅需要正弦项。

带有的波形 镜面或半波对称 只有 奇 傅里叶表示中的谐波。

这里我们不会处理傅里叶级数展开，而只会使用给定的正弦和余弦之和作为电路的激励。

在本书的前面几章中，我们讨论了正弦激励。如果电路是线性的，则 叠加定理 已验证。对于具有非正弦周期性激励的网络，叠加使我们能够 一次计算每个傅里叶正弦项产生的电流和电压。计算完所有内容后，我们最终总结了响应的谐波分量。

确定周期性电压和电流的不同项有点复杂，事实上，它可能会产生过多的信息。在实践中，我们只想简单地进行测量。我们可以使用以下方法测量不同的谐波项 谐波分析仪， 频谱分析仪、波形分析仪或傅立叶分析仪。 所有这些都是 复杂并且可能产生比需要更多的数据。有时仅通过平均值来描述周期信号就足够了。但平均测量有几种类型。

平均 价值观

简单平均 or DC 术语在傅里叶表示中被视为 A₀

该平均值可以使用 Deprez 等仪器来测量 直流仪表。

有效的价值 or 有效值 （均方根）具有以下定义：

这是最重要的平均值，因为电阻器中耗散的热量与有效值成正比。许多数字和一些模拟电压表可以测量电压和电流的有效值。

绝对平均值

这个平均值已经不再重要了；早期的仪器测量这种形式的平均值。

如果我们知道电压或电流波形的傅里叶表示，我们还可以计算平均值，如下所示：

简单平均 or DC 术语在傅里叶表示中被视为 A₀ = C.₀

有效的价值 or 有效值 （均方根）对电压的傅立叶级数积分后为：

克里尔因子 是平均值的一个非常重要的比率：

高次谐波项有效值之比 到基波谐波的有效值：

这里似乎存在一个矛盾——我们用谐波分量来求解网络，但我们测量的是平均量。

让我们通过简单的例子说明方法：

实施例1

求时间函数和电压 v 的有效（均方根）值_C（T）

如果R = 5欧姆，则C = 10 mF和v（t）=（100 + 200 cos（w₀t）+ 30 cos（3 w₀t – 90°））V，其中基本角频率为 w₀= 30 krad / s。

尝试用叠加定理来解决这个问题。

第一步是找到作为频率函数的传递函数。为简单起见，使用替换： s = j w

现在替换组件值并且 s = jk w₀其中k = 0; 1; 这个例子中的3和 w₀= 30 克拉德/秒。 在V，A，欧姆， mF和Mrad / s单位：

使用表格来组织数值求解的步骤会很有帮助：

我们可以在另一个表中总结叠加求解的步骤。正如我们已经看到的，要找到分量的复峰值，我们应该将激励分量的复峰值乘以复传递函数的值:

最后，我们可以给出知道各分量的复峰值的时间函数：

v_C(t) = 100 + 110 余弦(w₀t - 56.3°）+ 6.51 cos（3w₀t - 167.5°) V

电压的有效值（rms）为：

正如您所看到的，TINA 的测量仪器测量该均方根值。

例子2

求时间函数和电流 i(t) 的有效（rms）值

如果R = 5欧姆，则C = 10 mF和v（t）=（100 + 200 cos（w₀t）+ 30 cos（3w₀t – 90°））V，其中基本角频率为 w₀= 30 krad / s。

尝试使用叠加定理来解决问题。

求解步骤与例1类似，但传递函数不同。

现在代入数值并 s = jk w_0,其中k = 0; 1; 本例中为3。

在V，A，欧姆， mF和Mrad / s单位：

在数值求解过程中使用表格会很有帮助：

我们可以在另一个表中总结叠加的步骤。正如我们已经看到的，要找到某个分量的峰值，我们应该将该激励分量的复峰值乘以复传递函数的值。使用激励分量的复峰值：

最后，知道了组件的复峰值，我们可以表述时间函数：

i（t）= 32.4 cos（w₀t + 33.7°）+ 5.85 cos（3w₀t - 77.5°) [一个]

T电流有效值：

您通常可以对解决方案的一部分进行健全性检查。例如，电容器可以具有直流电压，但不能具有直流电流。

例子3

获取电压V的时间函数_ab if R₁= 12 ohm，R₂ = 14 欧姆，L = 25 mH，并且

C = 200 mF、发电机电压为v(t)=(50 + 80 cos(w₀t）+ 30 cos（2 w₀t + 60°））V， 其中基频为f₀ = 50 赫兹。

第一步是找到传递函数：

代入 V、A、ohm、mH、mF、kHz 单位的数值：

合并两个表：

k V Sk		V ABK
0 50		50
1 80		79.3é-j66.3
2 30 ej60		29.7é-j44.7

最后是时间函数：

v_ab（t）= 50 + 79.3 cos（w₁t - 66.3°）+ 29.7 cos（2w₁t - 44.7°) [V]

和有效值：

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