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ONDAS PERIÓDICAS

Redes de puentes

^{La mayoría de las funciones interesantes de los circuitos de CA (impedancia compleja, función de transferencia de voltaje y relación de transferencia de corriente) dependen de la frecuencia. La dependencia de una cantidad compleja de la frecuencia se puede representar en un plano complejo (diagrama de Nyquist) o en planos reales como gráficos separados del valor absoluto (gráfico de amplitud) y la fase (gráfico de fase).}

^{Las gráficas de Bode usan una escala vertical lineal para la gráfica de amplitud, pero dado que se utilizan unidades de dB, el efecto es que la escala vertical se representa de acuerdo con el logaritmo de la amplitud. La amplitud A se presenta como 20log10 (A). La escala horizontal de frecuencia es logarítmica.}

^{Hoy en día, pocos ingenieros dibujan diagramas de Bode a mano, confiando en cambio en computadoras. TINA dispone de unas instalaciones muy avanzadas para las parcelas de Bode. Sin embargo, comprender las reglas para dibujar diagramas de Bode mejorará su dominio de los circuitos. En los párrafos que siguen, presentaremos estas reglas y compararemos las curvas de aproximación en línea recta bosquejadas con las curvas exactas de TINA.}

^{La función a esbozar es generalmente un fracción o una relación con un polinomio numerador y un polinomio denominador. El primer paso es encontrar las raíces de los polinomios. Las raíces del numerador son las ceros de la función mientras que las raíces del denominador son polos.}

^{Los gráficos de Bode idealizados son gráficos simplificados formados por segmentos de línea recta. Los puntos finales de estos segmentos de línea recta proyectados en el eje de frecuencia caen en el polo y las frecuencias cero. Los polos a veces se llaman frecuencia de cortees de la red. Para expresiones más simples, sustituimos s por frecuencia: jw = s.}

^{Debido a que las cantidades que se grafican se grafican en una escala logarítmica, se pueden agregar las curvas que pertenecen a los diferentes términos del producto.}

^{Aquí hay un resumen de los principios importantes de los diagramas de Bode y las reglas para esbozarlos.}

^{La 3 dB El punto en un diagrama de Bode es especial, representando la frecuencia a la cual la amplitud ha aumentado desde un valor constante en 3 dB. Al convertir de A en dB a A en voltios / voltio, resolvemos 3 dB = 20 log10 A y obtenemos log10 A = 3/20 y, por lo tanto, . –3 dB el punto implica que A es 1 / 1.41 = 0.7.}

^{Una función de transferencia típica se ve así:}

Ahora veremos cómo se pueden esbozar rápidamente las funciones de transferencia como las anteriores (ganancia de la función de transferencia en dB versus frecuencia en Hz). Debido a que el eje vertical está representado en dB, es una escala logarítmica. Recordando que el producto de los términos en la función de transferencia se verá como la suma de los términos en el dominio logarítmico, veremos cómo esbozar los términos individuales por separado y luego agregarlos gráficamente para obtener el resultado final.

La curva del valor absoluto de un término de primer orden. s tiene una pendiente 20 dB / década que cruza el eje horizontal en w = 1. La fase de este término es 90° a cualquier frecuencia La curva de K *s también tiene una pendiente de 20 dB / década pero cruza el eje en w = 1 / K; es decir, donde el valor absoluto del producto ½K*s ½= 1.

El siguiente término de primer orden (en el segundo ejemplo), s^-1 = 1 / s, es similar: su valor absoluto tiene una pendiente de -20 dB / década; su fase es -90° en cualquier frecuencia y cruza el w-axis en w = 1. Del mismo modo, el valor absoluto del término K /s tiene una pendiente de -20 dB / década; la fase es -90° a cualquier frecuencia; pero cruza el w eje en w = K, donde el valor absoluto de la fracción

½K/s ½= 1.

El siguiente término de primer orden para dibujar es 1 + sT. La gráfica de amplitud es una línea horizontal hasta w₁ = 1 / T, después de lo cual se inclina hacia arriba a 20 dB / década. La fase es igual a cero en frecuencias pequeñas, 90° En altas frecuencias y 45.° at w₁ = 1 / T. Una buena aproximación para la fase es que es cero hasta 0.1 *w₁ = 0.1 / T y es casi 90° por encima de 10 *w₁ = 10 / T. Entre estas frecuencias, el diagrama de fase puede aproximarse mediante un segmento de línea recta que conecta los puntos (0.1 *w₁; 0) y (10 *w₁, 90°).

El último término de primer orden, 1 / (1 + sT), tiene una pendiente de –20 dB / década a partir de la frecuencia angular w₁= 1 / T. La fase es 0 a frecuencias pequeñas, -90° a altas frecuencias, y -45° at w₁ = 1 / T. Entre estas frecuencias, el diagrama de fase puede aproximarse mediante una línea recta que conecta los puntos (0.1 *w₁; 0) y (10 *w₁; - 90°).

Un factor multiplicador constante en la función se representa como una línea horizontal paralela a w-eje.

Los polinomios de segundo orden con raíces conjugadas complejas conducen a una trama de Bode más complicada que no se considerará aquí.

ejemplo 1

Encuentre la impedancia equivalente y bosqueje.

Puede usar el Análisis TINA para obtener la ecuación de la impedancia equivalente eligiendo Análisis - Análisis simbólico - Transferencia de CA.

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La impedancia total: Z (s) = R + sL = R (1 + sL / R)

... y la frecuencia de corte: w₁ = R / L = 5 / 0.5 = 10 rad / s f₁ = 1.5916 Hz

La frecuencia de corte puede verse como el punto de +3 dB en el diagrama de Bode. Aquí el punto de 3 dB significa 1.4 * R = 7.07 ohm.

También puede hacer que TINA trace las características de amplitud y fase cada una en su propio gráfico:

Tenga en cuenta que la gráfica de impedancia usa una escala vertical lineal, no logarítmica, por lo que no podemos usar la tangente de 20 dB / década. Tanto en las gráficas de impedancia como de fase, el eje x es el w eje escalado para frecuencia en Hz. Para el diagrama de impedancia, el eje y es lineal y muestra la impedancia en ohmios. Para el diagrama de fase, el eje y es lineal y muestra la fase en grados.

ejemplo 2

Encuentra la función de transferencia para V_C/V_S.Dibuja la gráfica de Bode de esta función.

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Obtenemos la función de transferencia utilizando la división de tensión:

La frecuencia de corte: w₁ = 1 / RC = 1 / 5 * 10^-6 = 200 krad / s f₁ = 31.83 kHz

Una de las características fuertes de TINA es su análisis simbólico: Análisis - 'Análisis simbólico' - Transferencia de CA o transferencia de CA semi-simbólica. Estos análisis le dan la función de transferencia de la red ya sea en forma simbólica completa o en forma semi-simbólica. En forma semi-simbólica, se utilizan los valores numéricos para los valores de los componentes y la única variable restante es s.

TINA dibuja la trama real de Bode, no una aproximación en línea recta. Para encontrar la frecuencia de corte real, use el cursor para localizar el punto de –3 dB.

En este segundo diagrama, utilizamos las herramientas de anotación de TINA para dibujar también los segmentos de línea recta.

Una vez más, el eje y es lineal y muestra la relación de voltaje en dB o la fase en grados. La x o w-axis representa la frecuencia en Hz.

En el tercer ejemplo, ilustramos cómo obtenemos la solución agregando los diferentes términos.

ejemplo 3

Encuentre la característica de transferencia de voltaje W = V₂/V_S y dibuja sus diagramas de Bode.
Encuentra la frecuencia donde la magnitud de W es mínima.
Obtenga la frecuencia donde el ángulo de fase es 0.

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La función de transferencia se puede encontrar usando 'Análisis simbólico' 'Transferencia de CA' en el menú de análisis de TINA.

O con 'Transferencia de CA semi-simbólica'.

Manualmente, utilizando unidades Mohm, nF, kHz:

Primero encuentra las raíces:

los ceros w₀₁ = 1 / (R₁C₁) = 10³ rad / s y w₀₂ = 1 / (R₂C₂) = 2 * 10³ rad / s

f₀₁ = 159.16 Hz y f₀₂ = 318.32 Hz

y postes w_P1 = 155.71 rad / s y w_P2 = 12.84 krad / s

f_P1= 24.78 Hz y f_P2 = 2.044 kHz

La función de transferencia en una llamada 'forma normal':

La segunda forma normalizada es más conveniente para dibujar el diagrama de Bode.

Primero, encuentre el valor de la función de transferencia en f = 0 (DC). Por inspección, es 1 o 0dB. Este es el valor inicial de nuestra aproximación en línea recta de W (s). Dibuje un segmento de línea horizontal desde DC hasta el primer polo o cero, en el nivel de 0dB.

Luego, ordene los polos y ceros por frecuencia ascendente:

f_P1= 24.78 Hz

f₀₁ = 159.16 Hz

f₀₂ = 318.32 Hz

f_P2 = 2.044 kHz

Ahora en el primer polo o cero (resulta ser un polo, f_P1), dibuje una línea, en este caso cayendo a 20 dB / década.

En el siguiente polo o cero, f_01,dibujar un segmento de línea nivelada que refleja el efecto combinado del polo y cero (sus pendientes se cancelan).

En f₀₂, el segundo y último cero, dibuja un segmento de línea ascendente (20dB / década) para reflejar el efecto combinado del polo / cero / cero.

En f_P2, el segundo y último polo, cambian la pendiente del segmento ascendente a una línea nivelada, lo que refleja el efecto neto de dos ceros y dos polos.

Los resultados se muestran en la gráfica de amplitud de Bode que sigue, donde los segmentos de línea recta se muestran como líneas finas de guión, punto, punto.

A continuación, dibujamos la línea gruesa de cal para resumir estos segmentos.

Finalmente, tenemos la función Bode calculada de TINA graficada en marrón.

Puede ver que cuando un polo está muy cerca de un cero, la aproximación en línea recta se desvía bastante de la función real. También tenga en cuenta la ganancia mínima en el diagrama de Bode anterior. Con una red algo complicada como esta, es difícil encontrar la ganancia mínima a partir de la aproximación en línea recta, aunque se puede ver la frecuencia con la que se produce la ganancia mínima.