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Ya hemos mostrado cómo los métodos elementales de análisis de circuitos de CC pueden extenderse y usarse en circuitos de CA para resolver el pico complejo o los valores efectivos de voltaje y corriente y la impedancia o admitancia compleja. En este capítulo, resolveremos algunos ejemplos de división de voltaje y corriente en circuitos de CA.
ejemplo 1
Encuentra los voltajes v1(t) y v2(t), dado que vs(T)= 110cos (2p50t).
Primero obtengamos este resultado mediante un cálculo manual usando la fórmula de división de voltaje.
El problema puede considerarse como dos impedancias complejas en serie: la impedancia de la resistencia R1, Z1=R1 ohmios (que es un número real), y la impedancia equivalente de R2 y yo2 en series, Z2 = R2 + j w L2.
Sustituyendo las impedancias equivalentes, el circuito se puede volver a dibujar en TINA de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que hemos utilizado un nuevo componente, una impedancia compleja, ahora disponible en TINA v6. Puede definir la dependencia de frecuencia de Z mediante una tabla a la que puede llegar haciendo doble clic en el componente de impedancia. En la primera fila de la tabla puede definir la impedancia de CC o una impedancia compleja independiente de la frecuencia (hemos hecho lo último aquí, para el inductor y la resistencia en serie, a la frecuencia dada).
Usando la fórmula para la división de voltaje:
V1 = Vs*Z1 / (Z1 + Z2)
V2 = Vs*Z2 / (Z1 + Z2)
Numéricamente:
Z1 = R1 = 10 ohms
Z2 = R2 + j w L = 15 + j 2*p* 50 * 0.04 = 15 + j 12.56 ohmios
V1= 110 * 10 / (25+j12.56) = 35.13-j17.65 V = 39.31 e –j26.7 ° V
V2= 110 * (15+j12.56) / (25 +j12.56) = 74.86 +j17.65 V = 76.92 e j 13.3° V
La función de tiempo de los voltajes:
v1(t) = 39.31 cos (wt - 26.7°) V
v2(t) = 76.9 cos (wt + 13.3°) V
Comprobemos el resultado con TINA usando Análisis / Análisis AC / Calcular nodal voltajesV1
V2
A continuación, verifiquemos estos resultados con el intérprete de TINA:
f: = 50;
om: = 2 * pi * f;
VS: = 110;
v1:=VS*R1/(R1+R2+j*om*L2);
v2:=VS*(R2+j*om*L2)/(R1+R2+j*om*L2);
v1 = [35.1252-17.6559 * j]
v2 = [74.8748 + 17.6559 * j]
abs (v2) = [76.9283]
radtodeg (arc (v2)) = [13.2683]
abs (v1) = [39.313]
radtodeg (arc (v1)) = [- 26.6866]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
f = 50
om=2*c.pi*f
VS=110
v1=VS*R1/complex(R1+R2,om*L2)
v2=VS*complex(R2,om*L2)/complex(R1+R2,om*L2)
imprimir(“v1=”,cp(v1))
imprimir(“v2=”,cp(v2))
imprimir(“abs(v1)= %.4f”%abs(v1))
imprimir(“grados(arco(v1))= %.4f”%m.grados(c.fase(v1)))
imprimir(“abs(v2)= %.4f”%abs(v2))
print(“arc(v2)*180/pi= %.4f”%(c.phase(v2)*180/c.pi))
Tenga en cuenta que al usar el intérprete no tuvimos que declarar los valores de los componentes pasivos. Esto se debe a que estamos utilizando el intérprete en una sesión de trabajo con TINA en la que el esquema está en el editor de esquemas. El intérprete de TINA busca en este esquema la definición de los símbolos de componentes pasivos introducidos en el programa del intérprete.
Finalmente, usemos el diagrama fasorial de TINA para demostrar este resultado. Conectando un voltímetro al generador de voltaje, seleccionando el Análisis / Análisis AC / Diagrama fasorial comando, establecer los ejes y agregar las etiquetas, dará el siguiente diagrama. Tenga en cuenta que Ver / Vector estilo de etiqueta fue establecido en Amplitud para este diagrama.
El diagrama muestra que Vs es la suma de los fasores V1 y V2, Vs = V1 + V2.
Al mover los fasores también podemos demostrar que V2 es la diferencia entre Vs y V1, V2 = Vs – V1.
Esta figura también demuestra la resta de vectores. El vector resultante debe comenzar desde la punta del segundo vector, V1.
De manera similar podemos demostrar que V1 = Vs – V2. De nuevo, el vector resultante debe comenzar desde la punta del segundo vector, V1.
Por supuesto, ambos diagramas fasoriales pueden considerarse como un diagrama de regla de triángulo simple para Vs = V1 + V2 .
Los diagramas de fasores anteriores también demuestran la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL).
Como hemos aprendido en nuestro estudio de los circuitos de CC, el voltaje aplicado de un circuito en serie es igual a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie. Los diagramas fasoriales demuestran que KVL también es cierto para los circuitos de CA, ¡pero solo si usamos fasores complejos!
ejemplo 2
En este circuito, R1 representa la resistencia de CC de la bobina L; juntos modelan un inductor del mundo real con su componente de pérdida. Encuentre el voltaje a través del condensador y el voltaje a través de la bobina del mundo real.
L = 1.32 h, R1 = 2 kohms, R2 = 4 kohms, C = 0.1 mF, VS(t) = 20 cos (wt) V, f = 300Hz.
V2
Resolviendo a mano usando la división de voltaje:
= 13.91 e j 44.1° V
y
v1(t) = 13.9 cos (w ×t + 44°) V
= 13.93 e –j 44.1° V
y
v2(t) = 13.9 cos (w ×t - 44.1°) V
Observe que a esta frecuencia, con estos valores de componentes, las magnitudes de los dos voltajes son casi iguales, pero las fases son de signo opuesto.
Una vez más, dejemos que TINA haga el tedioso trabajo resolviendo para V1 y V2 con el intérprete:
om: = 600 * pi;
V: = 20;
v1:=V*(R1+j*om*L)/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v1) = [13.9301]
180 * arc (v1) / pi = [44.1229]
v2:=V*(replus(R2,1/j/om/C))/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v2) = [13.9305]
180 * arc (v2) / pi = [- 44.1211]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
#Defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=600*c.pi
V = 20
v1=V*complex(R1,om*L)/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
imprimir(“abs(v1)= %.4f”%abs(v1))
print(“180*arc(v1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v1)/c.pi))
v2=V*complex(Replus(R2,1/1j/om/C))/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
imprimir(“abs(v2)= %.4f”%abs(v2))
print(“180*arc(v2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v2)/c.pi))
Y finalmente, eche un vistazo a este resultado utilizando el diagrama fasorial de TINA. Conectando un voltímetro al generador de voltaje, invocando el Análisis / Análisis AC / Diagrama fasorial comando, establecer los ejes y agregar las etiquetas producirá el siguiente diagrama (tenga en cuenta que hemos establecido Ver / Vector estilo de etiqueta a Real + j * Imag para este diagrama):
ejemplo 3
La fuente actual iS(t) = 5 cos (wt) A, la resistencia R = 250 mohm, el inductor L = 53 uH y la frecuencia f = 1 kHz. Encuentre la corriente en el inductor y la corriente en la resistencia.
Usando la fórmula para la división actual:
iR(t) = 4 cos (w ×t + 37.2°) A
Similar:
iL(t) = 3 cos (w ×t - 53.1°)
Y usando el intérprete en TINA:
om: = 2 * pi * 1000;
es: = 5;
iL: = es * R / (R + j * om * L);
iL = [1.8022-2.4007 * j]
iR: = es * j * om * L / (R + j * om * L);
iR = [3.1978 + 2.4007 * j]
abs (iL) = [3.0019]
radtodeg (arc (iL)) = [- 53.1033]
abs (iR) = [3.9986]
radtodeg (arc (iR)) = [36.8967]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
om=2*c.pi*1000
I = 5
iL=i*R/complejo(R+1j*om*L)
imprimir(“iL=”,cp(iL))
iR=complejo(i*1j*om*L/(R+1j*om*L))
imprimir(“iR=”,cp(iR))
imprimir(“abs(iL)= %.4f”%abs(iL))
imprimir(“grados(arco(iL))= %.4f”%m.grados(c.fase(iL)))
imprimir(“abs(iR)= %.4f”%abs(iR))
imprimir(“grados(arco(iR))= %.4f”%m.grados(c.fase(iR)))
También podemos demostrar esta solución con un diagrama fasorial:
El diagrama fasorial muestra que la corriente del generador IS es el vector resultante de las corrientes complejas IL e IR. También demuestra la ley de la corriente de Kirchhoff (KCL), que muestra que la corriente IS que ingresa al nodo superior del circuito es igual a la suma de IL e IR, las corrientes complejas que salen del nodo.
ejemplo 4
Determinar i0(t) i1(t) y yo2(t) Los valores de los componentes y el voltaje, la frecuencia y la fase de la fuente se proporcionan en el siguiente esquema.
i0
i1
i2
En nuestra solución, utilizaremos el principio de división actual. Primero encontramos la expresión para la corriente total i0:
I0M = 0.315 e j 83.2° A y i0(t) = 0.315 cos (w ×t + 83.2°) A
Luego, utilizando la división de corriente, encontramos la corriente en el condensador C:
I1M = 0.524 e j 91.4° A y i1(t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) A
Y la corriente en el inductor:
I2M = 0.216 e–j 76.6° A y i2(t) = 0.216 cos (w ×t - 76.6°) A
Con anticipación, buscamos la confirmación de nuestros cálculos manuales utilizando el intérprete de TINA.
V: = 10;
om: = 2 * pi * 1000;
I0: = V / ((1 / j / om / C1) + replus ((1 / j / om / C), (R + j * om * L)));
I0 = [37.4671m + 313.3141m * j]
abs (I0) = [315.5463m]
180 * arc (I0) / pi = [83.1808]
I1: = I0 * (R + j * om * L) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I1 = [- 12.489m + 523.8805m * j]
abs (I1) = [524.0294m]
180 * arc (I1) / pi = [91.3656]
I2: = I0 * (1 / j / om / C) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I2 = [49.9561m-210.5665m * j]
abs (I2) = [216.4113m]
180 * arc (I2) / pi = [- 76.6535]
{Control: I1 + I2 = I0}
abs (I1 + I2) = [315.5463m]
importar matemáticas como m
importar cmath como c
#Simplifiquemos la impresión de complejos.
#números para una mayor transparencia:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
#Primero defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
V = 10
om=2*c.pi*1000
I0=V/complex((1/1j/om/C1)+Replus(1/1j/om/C,R+1j*om*L))
imprimir(“I0=”,cp(I0))
imprimir(“abs(I0)= %.4f”%abs(I0))
print(“180*arc(I0)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I0)/c.pi))
I1=I0*complex(R,om*L)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
imprimir(“I1=”,cp(I1))
imprimir(“abs(I1)= %.4f”%abs(I1))
print(“180*arc(I1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I1)/c.pi))
I2=I0*complex(1/1j/om/C)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
imprimir(“I2=”,cp(I2))
imprimir(“abs(I2)= %.4f”%abs(I2))
print(“180*arc(I2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I2)/c.pi))
#Control: I1+I2=I0
print(“abs(I1+I2)= %.4f”%abs(I1+I2))
Otra forma de resolver esto sería encontrar primero el voltaje a través de la impedancia compleja paralela de ZLR Y ZC. Conociendo este voltaje, podríamos encontrar las corrientes i1 2 luego dividiendo este voltaje primero por ZLR y luego por ZC. A continuación mostraremos la solución para el voltaje a través de la impedancia compleja paralela de ZLR Y ZC. Tendremos que usar el principal de la división de voltaje en el camino:
VRLCM = 8.34 e j 1.42° V
y
IC = I1= VRLCM*jwC = 0.524 e j 91.42° A
y por lo tanto
iC (t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) UNA.
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