ZÁSADY ALTERNATÍVNEHO AKTUÁLNEHO

Kliknite alebo ťuknite na nižšie uvedené okruhy príkladov, aby ste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktívny DC na analýzu online.
Získajte lacný prístup k TINACloudu na úpravu príkladov alebo vytvorenie vlastných okruhov

KOMPLEXNÉ ČÍSLA

PASÍVNE KOMPONENTY V AC CIRCUITS

Sínusové napätie možno opísať rovnicou:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) alebo v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

kde	v (t)	Okamžitá hodnota napätia vo voltoch (V).
	V_M	Maximálna alebo maximálna hodnota napätia vo voltoch (V)
	T	Perioda: Čas potrebný na jeden cyklus v sekundách
	f	Frekvencia - počet periód v 1 sekundách, v Hz (Hertz) alebo 1 / s. f = 1 / T
	ω	Uhlová frekvencia vyjadrená v radiánoch / s ω = 2 * π * f alebo ω = 2 * π / T.
	Φ	Počiatočná fáza uvedená v radiánoch alebo stupňoch. Táto veličina určuje hodnotu sínusovej alebo kosínusovej vlny att = 0.
		Poznámka: Amplitúda sínusového napätia sa niekedy vyjadruje ako V_eff, efektívna alebo RMS hodnota. Týka sa to V_M podľa vzťahu V_M= √2V_eff,alebo približne V_eff= 0.707 V_M

Tu je niekoľko príkladov na ilustráciu vyššie uvedených podmienok.

Vlastnosti striedavého napätia 220 V v domácich elektrických zásuvkách v Európe:

Efektívna hodnota: V_eff= 220 V
Maximálna hodnota: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvencia: f = 50 1 / s = 50 Hz
Uhlová frekvencia: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Obdobie: T = 1 / f = 20 ms
Časová funkcia: v (t) = 311 sin (314 t)

Pozrime sa na funkciu času pomocou príkazu Analýza / AC analýza / časová funkcia TINA.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Môžete skontrolovať, že obdobie je T = 20m a že V_M= 311 V.

Vlastnosti striedavého napätia 120 V v domácej elektrickej zásuvke v USA:

Efektívna hodnota: V_eff= 120 V
Maximálna hodnota: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvencia: f = 60 1 / s = 60 Hz
Uhlová frekvencia: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Obdobie: T = 1 / f = 16.7 ms
Časová funkcia: v (t) = 170 sin (377 t)

Všimnite si, že v tomto prípade môže byť časová funkcia zadaná buď ako v (t) = 311 sin (314 t + Φ) alebo v (t) = 311 cos (314 t + Φ), pretože v prípade výstupného napätia nepoznajú počiatočnú fázu.

Počiatočná fáza hrá dôležitú úlohu, keď je súčasne prítomných niekoľko napätí. Dobrým praktickým príkladom je trojfázový systém, kde sú prítomné tri napätia s rovnakou špičkovou hodnotou, tvarom a frekvenciou, z ktorých každá má fázový posun 120 ° voči ostatným. V sieti 60 Hz sú časové funkcie:

v_A(t) = 170 hriech (377 t)

v_B(t) = 170 sín (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 hriech (377 t + 120 °)

Nasledujúci obrázok s TINA zobrazuje obvod s týmito časovými funkciami ako napäťové generátory TINA.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Rozdiel napätia v_AB= v_A(t) - v_B(t) sa zobrazí ako vyriešený príkazom TINA Analysis / AC Analysis / Time Function.

Všimnite si, že vrchol v_AB (t) je približne 294 V, väčšie ako 170 V peaksof v_A(t) alebo v_B(t) napätie, ale tiež nie len súčet ich špičkových napätí. Je to spôsobené fázovým rozdielom. Budeme diskutovať o tom, ako vypočítať výsledné napätie (čo je Ö3 170 * @ 294 v tomto prípade) neskôr v tejto kapitole a \ t Trojfázové systémy kapitola.

Charakteristické hodnoty sínusových signálov

Aj keď sa striedavý signál v priebehu doby plynule mení, je ľahké definovať niekoľko charakteristických hodnôt pre porovnanie jednej vlny s druhou: Ide o hodnoty špičky, priemeru a stredného štvorca (rms).

Už sme dosiahli maximálnu hodnotu V_M , čo je jednoducho maximálna hodnota časovej funkcie, amplitúda sínusovej vlny.

Niekedy sa použije hodnota špička-špička (pp). Pre sínusové napätie a prúdy je hodnota špička-špička dvojnásobná ako maximálna hodnota.

priemerná hodnota Sínusovej vlny je aritmetický priemer hodnôt kladného polcyklu. Tiež sa nazýva absolútny priemer pretože je rovnaká ako priemer absolútnej hodnoty tvaru vlny. V praxi sa stretávame s týmto priebehom rektifikácia sínusová vlna s obvodom nazývaným usmerňovač s plnou vlnou.

Je možné preukázať, že absolútny priemer sínusovej vlny je:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Všimnite si, že priemer celého cyklu je nula.
Rms alebo efektívna hodnota sínusového napätia alebo prúdu zodpovedá ekvivalentnej hodnote DC produkujúcej rovnaký vykurovací výkon. Napríklad napätie s účinnou hodnotou 120 V produkuje rovnaký výkon ohrevu a osvetlenia v žiarovke ako 120 V zo zdroja jednosmerného napätia. Je možné preukázať, že rms alebo efektívna hodnota sínusovej vlny je:

V_RMS = V_M/ √2 ≅ 0.707 V_M

Tieto hodnoty sa dajú vypočítať rovnakým spôsobom pre napätie a prúdy.

Hodnota rms je v praxi veľmi dôležitá. Pokiaľ nie je uvedené inak, napájacie napätie elektrického vedenia (napr. 110V alebo 220V) sú uvedené v hodnotách rms. Väčšina meračov AC je kalibrovaná v rms a indikuje úroveň rms.

Príklad 1 Nájdite špičkovú hodnotu sínusového napätia v elektrickej sieti s hodnotou 220 V rms.

V_M = 220 / 0.707 = V 311.17

Príklad 2 Nájdite špičkovú hodnotu sínusového napätia v elektrickej sieti s hodnotou 110 V rms.

V_M = 110 / 0.707 = V 155.58

Príklad 3 Nájdite (absolútny) priemer sínusového napätia, ak jeho hodnota rms je 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = V 198.26

Príklad 4 Nájdite absolútny priemer sínusového napätia, ak jeho hodnota rms je 110 V.

Vrchol napätia z príkladu 2 is155.58 V a teda:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = V 99.13

Príklad 5 Nájdite pomer medzi absolútnym priemerom (V_a) a hodnoty rms (V) pre sínusový priebeh.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Všimnite si, že nemôžete pridať priemerné hodnoty v AC obvode, pretože to vedie k nesprávnym výsledkom.

fázory

Ako sme už videli v predchádzajúcej časti, v striedavých obvodoch je často potrebné pridať sínusové napätie a prúdy rovnakej frekvencie. Hoci je možné pridať signály číselne pomocou TINA, alebo pomocou trigonometrických vzťahov, je vhodnejšie použiť tzv. Phasor metóda, Fázor je komplexné číslo predstavujúce amplitúdu a fázu sínusového signálu. Je dôležité poznamenať, že fázor nepredstavuje frekvenciu, ktorá musí byť rovnaká pre všetky fázory.

Fázor môže byť spracovaný ako komplexné číslo alebo môže byť graficky znázornený ako planárna šípka v komplexnej rovine. Grafické znázornenie sa nazýva fázorový diagram. Pomocou fázových diagramov môžete pridať alebo odčítať fázory v zložitej rovine pravidlom trojuholníka alebo paralelogramu.

Existujú dve formy zložitých čísel: obdĺžnikový a polárne.

Obdĺžnikové znázornenie je v tvare + jb, kde j = Ö-1 je imaginárna jednotka.

Polárna reprezentácia je vo forme Ae^j ^j , kde A je absolútna hodnota (amplitúda) a f je uhol fázora od kladnej reálnej osi v smere proti smeru hodinových ručičiek.

Budeme používať kolík písmen pre zložité množstvá.

Teraz sa pozrime, ako odvodiť príslušný fázor z časovej funkcie.

Po prvé, predpokladajme, že všetky napätia v obvode sú vyjadrené vo forme kosínusových funkcií. (Všetky napätia môžu byť prevedené na tento formulár.) Potom Phasor zodpovedajúce napätiu v (t) = V_M cos ( w t+f) je: V_M= V_Me ^jf, ktorá sa tiež nazýva komplexná vrcholová hodnota.

Zvážte napríklad napätie: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Zodpovedajúci fázor je: V

Časovú funkciu môžeme vypočítať z fázora rovnakým spôsobom. Najprv napíšeme fázora v polárnej forme napr V_M= V_Me ^j^ra potom zodpovedajúca časová funkcia je

v (t) = V_M (Cos (wt+r).

Zoberme si napríklad fázor V_M= 10 - jV 20

Uvedenie do polárneho tvaru:

A preto je časová funkcia: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Fázory sa často používajú na definovanie komplexnej efektívnej alebo rms hodnoty napätí a prúdov v AC obvodoch. Dané v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

číselne:

v (t) = 10 * cos (w30°)

Hodnota komplexného efektívneho efektu (rms): V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

Naopak: ak je komplexná efektívna hodnota napätia:

V = - 10 a viac j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

potom komplexná vrcholová hodnota:

a časová funkcia: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Krátke zdôvodnenie vyššie uvedených techník je nasledovné. Vzhľadom na časovú funkciu
V_M (Cos ( w t+r), definujme komplexná časová funkcia ako:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (Cos (r) + j sin (r)) E ^j^wt

kde V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (Cos (r) + j sin (r)) je len fázor zavedený vyššie.

Napríklad komplexná časová funkcia v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j sin (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

Zavedením komplexnej časovej funkcie máme reprezentáciu s reálnou aj imaginárnou časťou. Pôvodnú reálnu funkciu času môžeme vždy obnoviť tým, že vezmeme skutočnú časť nášho výsledku: v (t) = Re {v(T)}

Komplexná časová funkcia má však veľkú výhodu v tom, že keďže všetky zložité časové funkcie v uvažovaných obvodoch striedavého prúdu majú rovnaké e^j^w^tmultiplikátora, môžeme to vyčísliť a pracovať len s fázormi. Okrem toho v praxi nepoužívame e^j^w^tčasť vôbec - iba transformácie z časových funkcií na fázory a späť.

Aby sme demonštrovali výhodu používania fázorov, pozrite si nasledujúci príklad.

Príklad 6 Nájdite súčet a rozdiel napätí:

v₁ = 100 cos (314 * t) a v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Najprv napíšte fázory oboch napätí:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Z toho dôvodu:

V_pridať = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_nižšie = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e ^{j 28.67}^°

a potom funkcie času:

v_pridať(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_nižšie(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Ako ukazuje tento jednoduchý príklad, metóda phasors je extrémne mocný nástroj na riešenie AC problémov.

Problém vyriešime pomocou nástrojov tlmočníka TINA.

{Riešenie od tlmočníka TINA}
{výpočet v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (oblúk (v1add)) = [- 14.6388]

{výpočet v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (oblúk (v1sub)) = [28.6751]

#Riešenie od Pythonu!
#výpočet v1+v2
importovať matematiku ako m
importovať cmath ako c
v1=100
v2=50*c.exp(komplex(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stupne(oblúk(vadd))=”,m.stupne(c.fáza(vadd)))
#výpočet v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“stupne(oblúk(vsub))=”,m.stupne(c.fáza(vsub)))

Výsledky amplitúdy a fázy potvrdzujú ručné výpočty.

Teraz môžete skontrolovať výsledok pomocou AC analýzy spoločnosti TINA.

Pred vykonaním analýzy sa uistite, že Základná funkcia pre AC ia nastavená kosínus v Možnosti editora v ponuke View / Option. Vysvetlíme úlohu tohto parametra na Príklad 8.

Okruhy a výsledky:

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Výsledok je opäť rovnaký. Tu sú grafy časových funkcií:

Príklad 7 Nájdite súčet a rozdiel napätí:

v₁ = 100 hriech (314 * t) a v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Tento príklad prináša novú otázku. Doteraz sme požadovali, aby všetky časové funkcie boli dané ako kosinové funkcie. Čo budeme robiť s časovou funkciou danou ako sínus? Riešením je transformácia funkcie sínus na funkciu kosínus. Pomocou goniometrického vzťahu sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), náš príklad možno preformulovať nasledovne:

v₁ = 100 cos (314 t - 90°) a v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Teraz sú fázory napätí:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Z toho dôvodu:

V _pridať = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _nižšie = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

a potom funkcie času:

v_pridať(t) = 139.8966 cos (w75.36°)

v_nižšie(t) = 73.68 cos (w118.68°)

Problém vyriešime pomocou nástrojov tlmočníka TINA.

{Riešenie od tlmočníka TINA}
{výpočet v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (oblúk (v1add)) = [- 75.3612]

{výpočet v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (oblúk (v1sub)) = [- 118.6751]

Pozrime sa na výsledok pomocou analýzy AC TINA

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Príklad 8

Nájdite súčet a rozdiel napätí:

v₁ = 100 hriech (314 * t) a v₂ = 50 hriech (314 * t-45°)

Tento príklad prináša ešte jednu otázku. Čo ak sú všetky napätia uvedené ako sínusové vlny a chceme tiež vidieť výsledok ako sínusovú vlnu ?. Mohli by sme samozrejme previesť obe napätia na kosínusové funkcie, vypočítať odpoveď a potom výsledok previesť späť na sínusovú funkciu - ale to nie je potrebné. Môžeme vytvoriť fázory zo sínusových vĺn rovnakým spôsobom, ako sme to urobili z kosínových vĺn, a potom vo výsledku jednoducho použiť ich amplitúdu a fázy ako amplitúdu a fázu sínusových vĺn.

To samozrejme prinesie rovnaký výsledok ako premena sínusových vĺn na kosínusové vlny. Ako sme videli v predchádzajúcom príklade, je to ekvivalentné násobením -j a potom pomocou cos (x) = sin (x-90°) vzťah k jej transformácii na sínusovú vlnu. Toto je ekvivalentné násobením j, Inými slovami, pretože -j × j = 1, mohli by sme použiť fázory odvodené priamo z amplitúd a fáz sínusových vĺn, aby reprezentovali funkciu a potom sa k nim vrátili priamo. Taktiež by sme mohli uvažovať rovnakým spôsobom o zložitých časových funkciách, že by sme mohli považovať sínusové vlny za imaginárne časti zložitých časových funkcií a doplniť ich funkciou cosine, aby sme vytvorili plnohodnotnú časovú funkciu.

Pozrime sa na riešenie tohto príkladu, keď použijeme sínusové funkcie ako základňu fázorov (transformujúci hriech ( w t) phasor reálnej jednotky (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Z toho dôvodu:

V _pridať = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _nižšie = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Všimnite si, že fázory sú presne rovnaké ako v príklade 6, ale nie časové funkcie:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Ako vidíte, je veľmi ľahké získať výsledok pomocou sínusových funkcií, najmä keď sú našimi počiatočnými údajmi sínusové vlny. Mnoho učebníc dáva prednosť použitiu sínusoidy ako základnej funkcie fázorov. V praxi môžete použiť ktorúkoľvek z týchto metód, ale nezamieňajte ich.

Pri vytváraní fázorov je veľmi dôležité, aby sa všetky časové funkcie najprv konvertovali na sínus alebo kosínus. Ak ste začali sínusovými funkciami, vaše riešenia by mali byť reprezentované sínusovými funkciami pri návrate z fázorov na časové funkcie. To isté platí, ak začnete s funkciami cosine.

Riešime ten istý problém pomocou interaktívneho režimu TINA. Pretože chceme používať sínusové funkcie ako základ pre vytváranie fázorov, uistite sa, že Základná funkcia pre AC je nastavené na sinus v Možnosti editora dialógové okno z ponuky View / Option.