КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ

Кликните или додирните Пример кола испод да бисте позвали ТИНАЦлоуд и изаберите Интерактивни ДЦ режим да бисте их анализирали на мрежи.
Набавите јефтин приступ ТИНАЦлоуд-у да бисте уредили примере или креирали сопствена кола

У овом и наредним поглављима представићемо веома важну тему: АЦ, или наизменична струја. Назив наизменичне струје није веома прецизан и обично покрива кола са синусоидним напонима и струјама; међутим, наизменична струја може да значи и било који произвољни таласни облик. Важност измјеничног напона је да се овај тип напона користи за главни извор електричне енергије у домовима и индустрији широм свијета. То је такође основа за многе електронике, телекомуникације и индустријске апликације.

Да бисмо обрадили синусоидне таласне облике и кола повезана са њима, користићемо једноставну и елегантну методу названу методу фазора. Фазори се заснивају на својствима комплексних бројева, који су идеални за представљање синусоидалних величина. У овом поглављу сумират ћемо главне чињенице о комплексним бројевима и њиховим операцијама. Такође ћемо показати како ТИНА-ин Интерпретер олакшава израчунавање са комплексним бројевима.

Комплексни бројеви се састоје од два дела, а стварни део (x), који је прави број, и такозвани имагинари парт (и), што је стварни број помножен са , имагинарну јединицу. Комплексни број zстога се може описати као:

z = к + jy

где .

Примери комплексних бројева:

z ₁ = КСНУМКС + j

z ₂ = КСНУМКС-КСНУМКС j

z ₃ = КСНУМКС- 5j

Сложени бројеви су првобитно уведени у седамнаестом веку како би представљали корене полинома који нису могли бити представљени само стварним бројевима. На пример, корени једначине к² + КСНУМКСк + КСНУМКС = КСНУМКС се може описати само као , или користећи нотацију , z₁= КСНУМКС + j z₂= КСНУМКС- j. Користећи нову нотацију за испитивање својстава израза, математичари су били у стању да докажу теореме и реше проблеме које је до тада било тешко, ако не и немогуће решити. То је довело до разраде сложене алгебре и сложених функција, које се данас широко користе у математици и инжењерству.

Геометријски приказ комплексних бројева

Правокутни облик

Пошто сложен број увек можемо раздвојити на његове стварне и сложене делове, сложени број можемо представити као тачку на дводимензионалној равни. Стварни део сложеног броја јесте пројекција тачке на реалну ос, а имагинарни део броја пројекција на имагинарну ос. Када је сложен број представљен као збир реалних и имагинарних делова, кажемо да је у правоугаони or алгебарски облик.

Сљедећа слика приказује комплексни број z = КСНУМКС + КСНУМКСj

Поларна и експоненцијална форма

Као што видите са горње слике, тачка А би се такође могла представити дужином стрелице, r (која се такође назива апсолутна вредност, величина или амплитуда) и њен угао (или фаза), φ релативно у правцу супротном од казаљке на сату до позитивне хоризонталне осе. Ово је поларни облик сложеног броја. Означава се као р ∠ φ.

Следећи корак је веома важан. Комплексни број у поларном облику такође може бити написан у експоненцијалан форма:

Овај једноставан израз је карактеристичан по томе што има имагинарни број у експоненту уместо уобичајеног стварног броја. Овај сложен експоненцијал понаша се врло различито од експоненцијалне функције стварним аргументом. Док е^x брзо расте у величини за повећање к> 0 и опадање за к <0, функција има исту магнитуду (з = 1) за било који φ. Надаље, његове сложене вриједности леже на кругу јединица.

Ејлерова формула обезбеђује повезујућу везу између правоугаоног, поларног и експоненцијалног облика комплексних бројева:

z = к + jи = ре ^jφ = р (цос φ + j грех φ )

где

φ = тан^-1 (и / к).

За наш пример изнад, z = КСНУМКС + КСНУМКСj:

φ = тан^-1 (КСНУМКС / КСНУМКС) = КСНУМКС °

стога .

Или обрнуто:

Морате бити вешти у коришћењу оба формулара, зависно од апликације. На пример, додавање или одузимање очигледно је лакше кад су бројеви у правоугаоном облику, док је множење и дељење лакше обавити када су бројеви у експоненцијалном облику.

Операције са комплексним бројевима

Операције које се могу обављати сложеним бројевима сличне су операцијама за реалне бројеве. Правила и неке нове дефиниције су сумиране у наставку.

Операције са ј

Операције са j једноставно следити из дефиниције имагинарне јединице,

Да бисте могли да радите брзо и прецизно, запамтите ова правила:

j ² = -КСНУМКС

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Цомплек цоњугате

Комплексни коњугат комплексног броја се лако изводи и веома је важан. Да би добили комплексни коњугат комплексног броја у правокутном облику, једноставно промените знак имагинарног дела. Да бисте то урадили за број у експоненцијалном облику, промените знак угла комплексног броја задржавајући његову апсолутну вредност исту.

Комплексни коњугат комплексног броја z често означава z^*.

С обзиром на комплексни број z= а + jб, њен комплексни коњугат је z^*= а– jb.

If z дат је у експоненцијалном облику, његов комплексни коњугат је

Користећи горе наведене дефиниције, лако је уочити да комплексни број помножен комплексним коњугатом даје квадрат апсолутне вредности комплексног броја:

зз^* = р² = а^{КСНУМКС +} b²

Такође, додавањем или одузимањем било ког комплексног броја и његовог коњугованог, добијамо следеће релације:

z + z ^* = КСНУМКСа

стога

Ре (з) = а = ( z + z ^* ) / КСНУМКС

Слично:

z - z ^* =j2b

стога

Им (z) = б = ( z -z ^* ) / КСНУМКСj

Нумерички примери:

У правокутном облику:

z = КСНУМКС + j4

z^* = КСНУМКС– j4

зз ^* = КСНУМКС + КСНУМКС = КСНУМКС

У поларном облику

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

У експоненцијалном облику:

Сабирање и одузимање

Збрајање и одузимање сложених бројева је једноставно - стварни и замишљени делови само морамо додавати. На пример, ако

z₁ = КСНУМКС - КСНУМКСj z₂ = КСНУМКС + КСНУМКСj

онда

z₁ + z₂ = КСНУМКС - КСНУМКСj + КСНУМКС + КСНУМКСj = КСНУМКС + 2 - 4j + КСНУМКСj = КСНУМКС - j

z₁ - z₂ = КСНУМКС - КСНУМКСj - 2. - 3j = КСНУМКС - 2. - 4j - КСНУМКСj = КСНУМКС - j7

Очигледно је да за ове операције треба да користимо правоугаони облик. Ако су бројеви наведени у експоненцијалном или поларном облику, прво их морамо трансформисати у правоугаони облик користећи Еулерову формулу, као што је претходно дато.

Множење

Постоје две методе множења комплексних бројева–

Множење комплексних бројева датих у правокутном облику

Да бисте извршили операцију, једноставно множите стварне и имагинарне делове једног броја заузврат са стварним и имагинарним деловима другог броја и користите идентитет j² = -КСНУМКС.

z₁z₂ = (а₁ + jb₁) (а₂ + jb₂) = а₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - б₁b₂ = а₁ a₂- б₁b₂ + j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Када су комплексни бројеви дани нумерички, није потребно користити горњу формулу. На пример, нека

z₁ = КСНУМКС - КСНУМКСj z₂ = КСНУМКС + КСНУМКСj

Директним множењем компоненти:

z₁z₂ = (КСНУМКС - КСНУМКСj(КСНУМКС + КСНУМКСj) = КСНУМКС- КСНУМКСj +9j + КСНУМКС = КСНУМКС + j

или користећи формулу: z₁z₂ = а₁ a₂- б₁b₂ + j(b₁a₂+ б₂a₁)

z₁z₂ = КСНУМКС + КСНУМКС + j (-КСНУМКС + КСНУМКС) = КСНУМКС + j

Сматрамо да је већа вјероватноћа да ћете направити грешку ако користите формулу него ако директно помножите компоненте.

Множење комплексних бројева датих у поларној или експоненцијалној форми

Да бисте извршили ову операцију, помножите апсолутне вредности и додајте углове два комплексна броја. Дозволити:

Затим користећи правило множења експоненцијалних функција:

или у поларном облику

z₁ z₂ = р₁ r₂ ∠ φ₁ + φ₂

Напомена: Ово правило смо већ користили када смо израчунали зз ^*горе. Пошто угао коњугата има супротан знак оригиналног угла, сложен број помножен са сопственим коњугатом увек је стварни број; наиме, квадрат његове апсолутне вредности: зз ^* = р²

На пример:

z₁ = 5 ∠ 30 ° и z₂ = 4 ∠ -60 °

онда

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

или у експоненцијалном облику

Множење је очигледно једноставније када су бројеви у поларном или експоненцијалном облику.

Међутим, ако су сложени бројеви наведени у правоугаоном облику, требали бисте размотрити извођење множења директно као што је приказано горе, јер постоје додатни кораци ако претворите бројеве у поларни облик прије него што их множите. Други фактор који треба размотрити је да ли желите да одговори буду у правокутном облику или у поларном / експоненцијалном облику. На пример, ако су два броја у правоугаоном облику, али бисте желели да њихов производ буде у поларном облику, има смисла одмах их претворити и потом множити.

Подела

Постоје две методе за поделу комплексних бројева–

Подела сложених бројева дата у правоугаоном облику

Да бисте извршили операцију, помножите бројник и називник везником називника. Назив је стварни број, а дељење се своди на множење два сложена броја и дељење са стварним бројем, квадратом апсолутне вредности називника.

На пример:

z₁ = КСНУМКС - КСНУМКСj z₂ = КСНУМКС + КСНУМКСj

Провјеримо овај резултат ТИНА-иним тумачем:

Подјела комплексних бројева у поларној или експоненцијалној форми

Да бисте извршили операцију, поделите апсолутне вредности (магнитуде) и одузмите угао имениоца из угла нумератора. Дозволити:

затим користећи правило поделе експоненцијалних функција

или у поларном облику

z ₁ / z₂ = р₁ / р₂ ∠ φ ₁- φ ₂

На пример:

z ₁ = КСНУМКС ∠ 30 ° и z ₂ = КСНУМКС ∠ -60 °

онда

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

или у експоненцијалним и правокутним облицима

Провјеримо овај резултат ТИНА-иним тумачем:

Подела је очигледно једноставнија када су бројеви у поларном или експоненцијалном облику.

Међутим, ако су сложени бројеви наведени у правоугаоном облику, требало би размотрити извођење дељења директно коришћењем методе сложеног коњугата као што је приказано горе, јер постоје додатни кораци ако претворите бројеве у поларни облик пре него што их делите. Други фактор који треба размотрити је да ли желите да одговори буду у правокутном облику или у поларном / експоненцијалном облику. На пример, ако су два броја у правоугаоном облику, али желите да њихов квоцијент буде у поларном облику, има смисла одмах их претворити и затим поделити.

Сада ћемо илустровати употребу комплексних бројева помоћу више нумеричких проблема. Као и обично, ми ћемо проверити наша решења користећи ТИНА Интерпретер. Интерпретер ради са радијанима, али има стандардне функције за конверзију радијана у степене или обратно.

Пример Пронађите поларну репрезентацију:

z = КСНУМКС - j 48

или 49.48 ∠ - 75.96 °

Пример Пронађите правоугаоно представљање:

z = КСНУМКС е ^{j 125 °}

Пример Пронађите поларну репрезентацију следећих комплексних бројева:

z ₁ = КСНУМКС + j 48 z₂ = КСНУМКС - j48 z₃= -КСНУМКС + j 48 z₄= -КСНУМКС - j 48

Апсолутне вредности сва четири броја су исте јер је апсолутна вредност независна од знакова. Само су углови различити.

ТИНА функција лука () одређује угао било којег сложеног броја, аутоматски га постављајући правилно у један од четири квадранта.

Будите опрезни, међутим, користећи тан^-1 функција за проналажење угла, јер је ограничена на повратне углове само у првом и четвртом квадранту (–90 °φ<90 °).

Од z₁ налази се у првом квадранту координатног система, израчун је:

α ₁ = тан^-1(КСНУМКС / КСНУМКС) = тан^-1(КСНУМКС) = КСНУМКС °

Од z₄ налази се у трећем квадранту координатног система, тан^-1не враћа правилно угао. Израчун кута је:

α ₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° или -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, што је исто као што је израчунао ТИНА.

z₂ налази се у четвртом квадранту координатног система Калкулација кута је:

α ₂ = тан^-1(-КСНУМКС / КСНУМКС) = тан^-1(-КСНУМКС) = -КСНУМКС °

z_3, међутим, налази се у КСНУМКСнд квадранту координатног система, тако да је тан^-1 не враћа правилно угао. Израчун кута је:

α ₃ = КСНУМКС ° -КСНУМКС ° = КСНУМКС °.

Пример Имамо два комплексна броја: z₁= КСНУМКС - j КСНУМКС и z₂ = КСНУМКС е^{j45 °} .

Наћи z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Прво решавамо проблем користећи ТИНА-ин интерпретер

Обратите пажњу на то како ТИНА без напора рукује са два комплексна броја у различитим облицима.

Решење је компликованије без преводиоца. Да бисмо могли да упоредимо различите методе множења и дељења, прво ћемо одредити поларни облик z₁ и правоугаони облик z₂ .

Затим проналазимо четири решења прво користећи најлакше форме: правоугаоно за сабирање и одузимање и експоненцијално за множење и дељење:

z ₃ = z₁ + z₂ = КСНУМКС - j КСНУМКС + КСНУМКС + j КСНУМКС = КСНУМКС - j2.465

z ₄ = z₁ - z₂ = КСНУМКС - j 6 - 3.535 - j КСНУМКС = КСНУМКС - j9.535

z ₅ = z₁ * z₂ = КСНУМКС * КСНУМКС * е^{j(-КСНУМКС ° + КСНУМКС °)} = КСНУМКС е ^{-j11.31 °} = КСНУМКС * (цос (-КСНУМКС °) +j* син (-КСНУМКС °))

z ₅ = КСНУМКС - j 7.07

z ₆ = z₁/z₂= (КСНУМКС / КСНУМКС) * е ^{j (-КСНУМКС ° -КСНУМКС °)} = КСНУМКС е ^{- j 101.31 °} = КСНУМКС (цос (-КСНУМКС °) +j* син (-КСНУМКС °))

z ₆ = -КСНУМКС - j 1.414

који се слажу са резултатима добијеним са ТИНА тумачем.

Множење извршено у правокутном облику:

z ₅ =z₁*z₂ = (КСНУМКС-jКСНУМКС) * КСНУМКС * (КСНУМКС +j) = КСНУМКС * (КСНУМКС-jКСНУМКС) * (КСНУМКС +j) = КСНУМКС * (КСНУМКС-j3+jКСНУМКС + КСНУМКС) = КСНУМКС * (КСНУМКС-j) = КСНУМКС-j7.07

Коначно, подела извршена у правокутном облику:

који се слажу са претходним резултатима.