КИРЦХХОФФОВИ ЗАКОНИ У АЦ КРУГОВИМА

Кликните или додирните Пример кола испод да бисте позвали ТИНАЦлоуд и изаберите Интерактивни ДЦ режим да бисте их анализирали на мрежи.
Набавите јефтин приступ ТИНАЦлоуд-у да бисте уредили примере или креирали сопствена кола

ТХЕВЕНИН И НОРТОН ЕКУИВАЛЕНТ ЦИРЦУИТС

ПОТЕНЦИЈАЛ НОДЕ И МЕТОДА ТЕКУЋЕГ ТЕКСТА У АЦ КРУГОВИМА

Као што смо већ видели, склопови са синусоидним побуђењима могу се решити употребом комплексне импедансе за елементе и комплексни врх or комплекс рмс вредности за струје и напоне. Користећи верзију Кирцххофф-ових сложених вредности, технике чвора и мреже могу се применити за решавање кругова наизменичне струје на начин сличан ДЦ круговима. У овом поглављу ћемо то показати кроз примере Кирцххофф-ових закона.

Пример

Пронађите амплитуду и фазни угао струје и_vs(т) if
v_S(т) = В_SM цос КСНУМКСpфт; и (т) = И_SM цос КСНУМКСpфт; V_SM = КСНУМКС В; И_SM = КСНУМКС А; ф = КСНУМКС кХз;

Р = КСНУМКС охм; Л = КСНУМКС мХ; C₁ = КСНУМКС mF; C₂ = КСНУМКС mF

Кликните / додирните горњи круг да бисте анализирали он-лине или кликните на ову везу да бисте сачували под Виндовсом

Свеукупно имамо 10 непознатих напона и струја, наиме: и, и_C1,_R,_L,_C2у_C1у_Rу_Lу_C2 и в_IS. (Ако користимо сложене вршне или рмс вредности за напоне и струје, укупно имамо 20 стварних једначина!)

Једначине:

Лооп или месх једнаџбе: за M₁- V_SM +V_{ЦКСНУМКСМ}+V_RM = КСНУМКС

M₂ - V_RM + V_LM = КСНУМКС

M₃ - V_LM + V_{ЦКСНУМКСМ} = КСНУМКС

M₄ - V_{ЦКСНУМКСМ} + V_ИсМ = КСНУМКС

Охмови закони V_RM = Р *I_RM

V_LM = j*w* Л *I_LM

I_{ЦКСНУМКСМ} = j*w*C₁*V_{ЦКСНУМКСМ}

I_{ЦКСНУМКСМ} = j*w*C₂*V_{ЦКСНУМКСМ}

Нодална једначина за Н₁ - I_{ЦКСНУМКСМ} - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_{ЦКСНУМКСМ} = КСНУМКС

за елементе серије I = I_{ЦКСНУМКСМ}

Решавањем система једначина можете пронаћи непознату струју:

i_vs (т) = КСНУМКС цос (wт + КСНУМКС°)

Решавање тако великог система сложених једначина је веома сложено, па га нисмо детаљно приказали. Свака сложена једначина доводи до две стварне једначине, па решење приказујемо само вредностима израчунатим помоћу ТИНА-овог тумача.

Решење помоћу ТИНА-овог тумача:

{Решење ТИНА-овог тумача}
ом: = КСНУМКС * пи;
Вс: = КСНУМКС;
Је: = КСНУМКС;
Сис ИцКСНУМКС, Ир, ИЛ, ИцКСНУМКС, ВцКСНУМКС, Вр, ВЛ, ВцКСНУМКС, Вис, Ивс
Вс=Вц1+Вр {М1}
Вр=ВЛ {М2}
Вр=Вц2 {М3}
Вц2=Види {М4}
Ивс=Ир+ИЛ+Иц2-Је {Н1}
{Охмова правила}
ИцКСНУМКС = ј * ом * ЦКСНУМКС * ВцКСНУМКС
Вр = Р * Ир
ВЛ = ј * ом * Л * ИЛ
ИцКСНУМКС = ј * ом * ЦКСНУМКС * ВцКСНУМКС
Ивс = ИцКСНУМКС
енд;
Ивс = [КСНУМКСЕ-КСНУМКС + КСНУМКСЕКСНУМКС * ј]
абс (Ивс) = [КСНУМКС]
фиИвс: = КСНУМКС * арц (Ивс) / пи
фиИвс = [КСНУМКС]

#Решење од Питхон-а
импорт симпи као с
импорт цматх као ц
цп= ламбда З : “{:.4ф}”.формат(З)
ом=20000*ц.пи
Вс=10
Ис=1
Иц1,Ир,ИЛ,Иц2,Вц1,Вр,ВЛ,Вц2,Вис,Ивс=с.симболс('Иц1 Ир ИЛ Иц2 Вц1 Вр ВЛ Вц2 Вис Ивс')
А=[с.Ек(Вц1+Вр,Вс),с.Ек(ВЛ,Вр),с.Ек(Вц2,Вр),с.Ек(Вис,Вц2), #М1, М2, М3, М4
с.Ек(Ир+ИЛ+Иц2-Ис,Ивс), #Н1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
штампа (Ивс)
принт(“абс(Ивс)=”,цп(абс(Ивс)))
принт(“180*ц.пхасе(Ивс)/ц.пи=”,цп(180*ц.пхасе(Ивс)/ц.пи))

Решење помоћу ТИНА:

Да бисте решили овај проблем ручно, радите са сложеним импеданцијама. На пример, Р, Л и Ц₂ повезани су паралелно, тако да круг можете поједноставити рачунањем њиховог паралелног еквивалента. || значи паралелни еквивалент импеданције:

Нумерички:

Поједностављено коло помоћу импеданце:

Једнаџбе у уређеном облику: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Постоје четири непознате- I; I_Z; V_C1; V_Z - и имамо четири једначине, па је решење могуће.

Експресни I након замене других непознаница из једначина:

Нумерички

Према резултатима ТИНА-овог тумача.

{Решење помоћу импеданце З}
ом: = КСНУМКС * пи;
Вс: = КСНУМКС;
Је: = КСНУМКС;
З: = реплус (Р, реплус (ј * ом * Л, КСНУМКС / ј / ом / ЦКСНУМКС));
З = [КСНУМКСЕКСНУМКС-КСНУМКСЕКСНУМКС * ј]
сис И
И = ј * ом * ЦКСНУМКС * (Вс-З * (И + Ис))
енд;
И = [КСНУМКСЕ-КСНУМКС + КСНУМКСЕКСНУМКС * ј]
абс (И) = [КСНУМКС]
КСНУМКС * арц (И) / пи = [КСНУМКС]

#Решење од Питхон-а
импорт симпи као с
импорт цматх као ц
Реплус= ламбда Р1, Р2 : Р1*Р2/(Р1+Р2)
ом=20000*ц.пи
Вс=10
Ис=1
З=Реплус(Р,Реплус(1ј*ом*Л,1/1ј/ом/Ц2))
принт('З=',цп(З))
И=с.симболс('И')
А=[с.Ек(1ј*ом*Ц1*(Вс-З*(И+Ис)),И),]
И=[комплекс(З) за З у тупле(с.линсолве(А,И))[0]][0]
принт(“И=”,цп(И))
принт(“абс(И)=”,цп(абс(И)))
принт(“180*ц.пхасе(И)/ц.пи=”,цп(180*ц.пхасе(И)/ц.пи))

Временска функција струје је:

и (т) = КСНУМКС цос (wт + КСНУМКС°)

Кирцххофф-ово тренутно правило можете проверити помоћу фазорских дијаграма. Слика испод развијена је провером једначине чвора у и_Z = и + и_G1форма. Први дијаграм приказује фазоре додате правилом паралелограма, други приказује трокутасто правило додавања фасора.

Хајде сада да демонстрирамо КВР користећи ТИНА-ину функцију фазорског дијаграма. Будући да је напон извора негативан у једначини, волтметар смо повезали „уназад“. Фазорски дијаграм илуструје изворни облик Кирцххофф-овог напонског правила.

Први фазор дијаграм користи правило паралелограма, док други користи правило троугла.

Да илуструјем КВР у облику В_C1 + В_Z - В_S = 0, опет смо прикључили волтметар на извор напона. Можете видети да је троугао фасора затворен.

Имајте на уму да вам ТИНА омогућава употребу синусне или косинусне функције као основне функције. У зависности од изабране функције, сложене амплитуде које се виде на фазорским дијаграмима могу се разликовати за 90º. Основну функцију можете подесити под „Приказ“ „Опције“ „Основна функција за АЦ“. У нашим примерима смо увек користили косинусну функцију као базу.

Пример

Пронађите напоне и струје свих компоненти ако:

v_S(т) = КСНУМКС цос wТВ, i_S(т) = КСНУМКС цос (w т + КСНУМКС °) мА;

C₁ = КСНУМКС нФ, C₂ = КСНУМКС нФ, R₁ = Р₂ = КСНУМКС к; Л = КСНУМКС Х, ф = КСНУМКС кХз.

Нека непознате буду сложене вршне вредности напона и струја „пасивних“ елемената, као и струја извора напона (и_VS) и напон извора струје (в_IS). Свеукупно постоји дванаест сложених непознаница. Имамо три независна чвора, четири независне петље (означене као М_I) и пет пасивних елемената који се могу окарактерисати са пет „Омових закона“ - свеукупно постоје 3 + 4 + 5 = 12 једначине:

Нодалне једначине фор Н₁ I_ВсМ = И_{РКСНУМКСМ} + И_{ЦКСНУМКСМ}

фор Н₂ I_{РКСНУМКСМ} = И_LM + И_{ЦКСНУМКСМ}

фор Н₃ I_{ЦКСНУМКСМ} + И_LM + И_{ЦКСНУМКСМ} +I_sM = И_{РКСНУМКСМ}

Лооп екуатионс фор М₁ V_SM = В_{ЦКСНУМКСМ} + В_{РКСНУМКСМ}

фор М₂ V_SM = В_{ЦКСНУМКСМ} + В_{РКСНУМКСМ}+ В_{РКСНУМКСМ}

фор М₃ V_LM = В_{ЦКСНУМКСМ}

фор М₄ V_{РКСНУМКСМ} = В_ИсМ

Охмови закони V_{РКСНУМКСМ} = Р₁*I_{РКСНУМКСМ}

V_{РКСНУМКСМ} = Р₂*I_{РКСНУМКСМ}

I_{ЦКСНУМКСм} = ј *w*C₁*V_{ЦКСНУМКСМ}

I_{ЦКСНУМКСм} = ј *w*C₂*V_{ЦКСНУМКСМ}

V_LM = ј *w* Л * И_LM

Не заборавите да било која сложена једначина може довести до две стварне једначине, тако да Кирцххофф-ова метода захтева много прорачуна. Много је једноставније решити временске функције напона и струја помоћу система диференцијалних једначина (о којима овде није реч). Прво приказујемо резултате израчунате од стране ТИНА-овог тумача:

{Решење ТИНА-овог тумача}
ф: = КСНУМКС;
Вс: = КСНУМКС;
с: = КСНУМКС * екп (ј * пи / КСНУМКС);
ом: = КСНУМКС * пи * ф;
иКСНУМКС, ирКСНУМКС, ицКСНУМКС, ицКСНУМКС, иЛ, врКСНУМКС, врКСНУМКС, вцКСНУМКС, вцКСНУМКС, вЛ, вис, ивс
ивс=ир1+иц2 {1}
ир1=иЛ+иц1 {2}
иц2+иЛ+иц1+Ис=ир2 {3}
Вс=вц2+вр2 {4}
Вс=вр1+вр2+вц1 {5}
вц1=вЛ {6}
вр2=вис {7}
вр1=ир1*Р1 {8}
вр2=ир2*Р2 {9}
иц1=ј*ом*Ц1*вц1 {10}
иц2=ј*ом*Ц2*вц2 {11}
вЛ=ј*ом*Л*иЛ {12}
енд;
абс (врКСНУМКС) = [КСНУМКСм]
абс (врКСНУМКС) = [КСНУМКС]
абс (ицКСНУМКС) = [КСНУМКСу]
абс (ицКСНУМКС) = [КСНУМКСм]
абс (вцКСНУМКС) = [КСНУМКСм]
абс (вцКСНУМКС) = [КСНУМКСм]
абс (иЛ) = [КСНУМКСу]
абс (вЛ) = [КСНУМКСм]
абс (ивс) = [КСНУМКСм]
КСНУМКС + радтодег (арц (ивс)) = [КСНУМКС]
абс (вис) = [КСНУМКС]
радтодег (арц (вис)) = [- КСНУМКС]
радтодег (арц (врКСНУМКС)) = [КСНУМКС]
радтодег (арц (врКСНУМКС)) = [- КСНУМКС]
радтодег (арц (ицКСНУМКС)) = [КСНУМКС]
радтодег (арц (ицКСНУМКС)) = [- КСНУМКС]
радтодег (арц (вцКСНУМКС)) = [КСНУМКС]
радтодег (арц (вцКСНУМКС)) = [КСНУМКС]
радтодег (арц (иЛ)) = [- КСНУМКС]
радтодег (арц (вЛ)) = [КСНУМКС]

#Решење од Питхон-а
импорт симпи као с
увези математику као м
импорт цматх као ц
цп= ламбда З : “{:.4ф}”.формат(З)
ф = КСНУМКС
Вс=10
С=0.005*ц.екп(1ј*ц.пи/6)
ом=2*ц.пи*ф
ир1,ир2,иц1,иц2,иЛ,вр1,вр2,вц1,вц2,вЛ,вис,ивс=с.симболс('ир1 ир2 иц1 иц2 иЛ вр1 вр2 вц1 вц2 вЛ вис ивс')
А=[с.Ек(ир1+иц2,ивс), #1
с.Ек(иЛ+иц1,ир1), #2
с.Ек(иц2+иЛ+иц1+Ис,ир2), #3
с.Ек(вц2+вр2,Вс), #4
с.Ек(вр1+вр2+вц1,Вс), #5
с.Ек(вЛ,вц1), #6
с.Ек(вис,вр2), #7
с.Ек(ир1*Р1,вр1), #8
с.Ек(ир2*Р2,вр2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
с.Ек(1ј*ом*Л*иЛ,вЛ)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
принт(“абс(вр1)=”,цп(абс(вр1)))
принт(“абс(вр2)=”,цп(абс(вр2)))
принт(“абс(иц1)=”,цп(абс(иц1)))
принт(“абс(иц2)=”,цп(абс(иц2)))
принт(“абс(вц1)=”,цп(абс(вц1)))
принт(“абс(вц2)=”,цп(абс(вц2)))
принт(“абс(иЛ)=”,цп(абс(иЛ)))
принт(“абс(вЛ)=”,цп(абс(вЛ)))
принт(“абс(ивс)=”,цп(абс(ивс)))
принт(“180+степени(фаза(ивс))=”,цп(180+м.дегреес(ц.пхасе(ивс))))
принт(“абс(вис)=”,цп(абс(вис)))
принт(“степени(пхасе(вис))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(вис))))
принт(“степени(пхасе(вр1))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(вр1))))
принт(“степени(пхасе(вр2))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(вр2))))
принт(“степени(пхасе(иц1))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(иц1))))
принт(“степени(пхасе(иц2))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(иц2))))
принт(“степени(пхасе(вц2))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(вц2))))
принт(“степени(пхасе(вц1))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(вц1))))
принт(“степени(фаза(иЛ))=”,цп(м.степени(ц.пхасе(иЛ))))
принт(“степени(фаза(вЛ))=”,цп(м.дегреес(ц.пхасе(вЛ))))

Сада покушајте поједноставити једнаџбе руком користећи супституцију. Прва замјена ек.9. у екв 5.

V_S = В_C2 + Р₂ I_R2а.)

затим ек.КСНУМКС и ек.КСНУМКС. у ек КСНУМКС.

V_S = В_C1 + Р₂ I_R2 + Р₁ I_R1 б.)

затим ек КСНУМКС., ек. КСНУМКС. и ја_Lиз ек. КСНУМКС у ек.КСНУМКС.

V_C1 = В_L = јwЛИ_L = јwЛ (И_R1 - Ја_C1) = јwЛИ_R1 - јwЛ јwC₁ V_C1