Нажмите или коснитесь приведенных ниже примеров схем, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим DC, чтобы проанализировать их в Интернете.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем

Ассоциация Теорема Фурье утверждает, что любую периодическую форму сигнала можно синтезировать путем добавления соответствующим образом взвешенных синусоидальных и косинусоидальных составляющих различных частот. Теорема хорошо освещена в других учебниках, поэтому мы лишь суммируем результаты и приведем несколько примеров.

Пусть нашей периодической функцией будет f (t) = f (t ±nT), где T — время одного периода, а n — целое число.

w₀= 2p/ T основная угловая частота.

По Теорема Фурье, периодическую функцию можно записать в виде следующей суммы:

в котором

A_n и B_n являются Коэффициенты Фурье и сумма является Ряд Фурье.

Другая форма, вероятно, немного более практичная:

в котором

A₀ = C₀ — постоянное или среднее значение, А₁, В₁ и C₁ являются фундаментальными компонентами, а остальные являются гармоническими членами.

Хотя для аппроксимации некоторых сигналов может потребоваться всего несколько членов, для других потребуется много членов.

Обычно, чем больше членов включено, тем лучше аппроксимация, но для сигналов, содержащих ступеньки, таких как прямоугольные импульсы, Феномен Гиббса вступает в игру. По мере увеличения числа членов выброс концентрируется во все меньшем периоде времени.

An четная функция f(t) = f(-t) (осевая симметрия) требует только косинусоидальных членов.

An нечетная функция f(t) = – f(-t) (точечная симметрия) требует только синусоидальных членов.

Форма волны с зеркальная или полуволновая симметрия имеет только странный гармоники в ее Фурье-представлении.

Здесь мы не будем заниматься разложением в ряд Фурье, а будем использовать лишь заданную сумму синусов и косинусов в качестве возбуждения цепи.

В предыдущих главах этой книги мы имели дело с синусоидальным возбуждением. Если схема линейная, то теорема о суперпозиции действует. Для сети с несинусоидальным периодическим возбуждением суперпозиция позволяет рассчитайте токи и напряжения, обусловленные каждым членом синусоиды Фурье по одному. Когда все подсчитано, мы окончательно суммируем гармонические составляющие ответа.

Определить различные члены периодических напряжений и токов немного сложно, и фактически это может привести к перегрузке информации. На практике нам хотелось бы просто произвести измерения. Мы можем измерить различные гармонические составляющие, используя анализатор гармоник, анализатор спектра, волновой анализатор или анализатор Фурье. Все это сложен и, вероятно, даст больше данных, чем необходимо. Иногда достаточно описать периодический сигнал только его средними значениями. Но существует несколько видов средних измерений.

СРЕДНЯЯ ЦЕННОСТИ:

Простое среднее or DC термин рассматривался в представлении Фурье как A₀

Это среднее значение можно измерить с помощью таких инструментов, как Deprez. Инструменты постоянного тока.

Эффективное значение or RMS (среднеквадратичное значение) имеет следующее определение:

Это наиболее важное среднее значение, поскольку тепло, рассеиваемое в резисторах, пропорционально эффективному значению. Многие цифровые и некоторые аналоговые вольтметры могут измерять действующие значения напряжений и токов.

Абсолютное среднее

Это среднее значение больше не имеет значения; более ранние инструменты измеряли эту форму среднего значения.

Если мы знаем представление Фурье формы сигнала напряжения или тока, мы также можем вычислить средние значения следующим образом:

Простое среднее or DC термин рассматривался в представлении Фурье как A₀ = C₀

Эффективное значение or RMS (среднеквадратичное значение) после интегрирования ряда Фурье напряжения:

Ассоциация фактор клирра – очень важное соотношение средних значений:

Это отношение эффективного значения членов высших гармоник к эффективному значению основной гармоники:

Здесь, кажется, есть противоречие – мы решаем сеть в терминах гармонических составляющих, но измеряем средние величины.

Давайте проиллюстрируем метод на простых примерах:

Пример 1

Найдите функцию времени и эффективное (действующее) значение напряжения v._C(Т)

если R = 5 Ом, C = 10 mF и v (t) = (100 + 200, потому что (w₀t) + 30, потому что (3 w₀t - 90 °)) V, где основная угловая частота равна w₀= 30 крад / с.

Попробуйте использовать теорему суперпозиции для решения задачи.

Первым шагом является нахождение передаточной функции как функции частоты. Для простоты воспользуемся заменой: s = j w

Теперь подставим значения компонентов и s = jk w₀где k = 0; 1; 3 в этом примере и w₀= 30 крад/с, В V, A, ом, mЕдиницы F и Мрад / с:

Для организации этапов численного решения полезно использовать таблицу:

Мы можем суммировать этапы решения суперпозиции в другой таблице. Как мы уже видели, чтобы найти комплексное пиковое значение компонента, нам следует умножить комплексное пиковое значение компонента возбуждения на значение комплексной передаточной функции:

И, наконец, мы можем задать функцию времени, зная комплексные пиковые значения компонентов:

v_C(t) = 100 + 110 соз(w₀т - 56.3°) + 6.51, потому что (3w₀т - 167.5°) V

Действующее (действующее) значение напряжения составляет:

Как видите, измерительный прибор TINA измеряет это среднеквадратичное значение.

Пример 2

Найдите функцию времени и эффективное (среднеквадратичное) значение тока i(t).

если R = 5 Ом, C = 10 mF и v (t) = (100 + 200, потому что (w₀t) + 30, потому что (3w₀t - 90 °)) V, где основная угловая частота равна w₀= 30 крад / с.

Попробуйте решить задачу, используя теорему суперпозиции.

Шаги решения аналогичны примеру 1, но передаточная функция другая.

Теперь подставим числовые значения и s = jk w_0,где k = 0; 1; 3 в этом примере.

В V, A, ом, mЕдиницы F и Мрад / с:

При численном решении полезно использовать таблицу:

Мы можем суммировать этапы суперпозиции в другой таблице. Как мы уже видели, чтобы найти пиковое значение компонента, мы должны умножить комплексное пиковое значение этого компонента возбуждения на значение комплексной передаточной функции. Используйте комплексные пиковые значения компонентов возбуждения:

И, наконец, зная комплексные пиковые значения компонентов, мы можем сформулировать функцию времени:

i (t) = 32.4, потому что (w₀t + 33.7°) + 5.85, потому что (3w₀т - 77.5°) [А]

TДействующее значение тока:

Часто вы можете выполнить проверку работоспособности части решения. Например, конденсатор может иметь постоянное напряжение, но не постоянный ток.

Пример 3

Получить временную функцию напряжения V_ab if R₁= 12 Ом, R₂ = 14 Ом, L = 25 мГн, и

C = 200 mF. Напряжение генератора v(t)=(50 + 80 cos(w₀t) + 30, потому что (2 w₀t + 60 °)) V, где основная частота f₀ = 50 Гц.

Первым делом нужно найти передаточную функцию:

Подставляя числовые значения в единицы В, А, Ом, мГн, мФ, кГц:

Слияние двух таблиц:

кВ Sk		V АБК
0 50		50
1 80		79.3 и-j66.3
2 30 ej60		29.7 и-j44.7

Наконец, функция времени:

v_ab(t) = 50 + 79.3, потому что (w₁т - 66.3°) + 29.7, потому что (2w₁т - 44.7°) [В]

и среднеквадратичное значение:

---