KIRCHHOFF: N SÄÄNNÖT AC CIRCUITSissa

Voit käynnistää TINACloudin valitsemalla tai napauttamalla alla olevia esimerkkipiirejä ja valitsemalla Interactive DC -tilan niiden analysoimiseksi verkossa.
Saat edullisen pääsyn TINACloudiin muokata esimerkkejä tai luoda omia piirejäsi

THÉVENIN JA NORTON EQUIVALENT CIRCUITS

NODE POTENTIAL JA MESH CURRENT MENETELMÄ AC CIRCUITSissa

Kuten olemme jo nähneet, sinimuotoisella virityksellä varustetut piirit voidaan ratkaista käyttämällä monimutkaiset impedanssit elementtien ja monimutkainen huippu or monimutkainen rms-arvot virroille ja jännitteille. Kirchhoffin lakien kompleksiarvoversiota käyttämällä voidaan käyttää solmu- ja verkkoanalyysitekniikoita ratkaisemaan vaihtovirtapiirit samalla tavalla kuin tasavirtapiirit. Tässä luvussa näytämme tämän esimerkkien avulla Kirchhoffin laeista.

Esimerkki 1

Löydä virran i amplitudi ja vaihekulma_vs(T) if
v_S(t) = V_SM cos 2pft; i (t) = I_SM cos 2pft; V_SM = 10 V; minä_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 ohmi; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Kaikkiaan meillä on 10 tuntematonta jännitettä ja virtaa, nimittäin: i, i_C1,_R,_L,_C2sisään_C1sisään_Rsisään_Lsisään_C2 ja v_IS. (Jos jännitteille ja virroille käytetään kompleksisia huippu- tai rms-arvoja, meillä on yhteensä 20 todellista yhtälöä!)

Yhtälöt:

Silmukka- tai mesh-yhtälöt: M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_Ismi = 0

Ohmin lait V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

Nodaaliyhtälö N: lle₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

sarjaelementtejä varten I = I_C1M

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi löydät tuntemattoman virran:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A

Tällaisen suuren monimutkaisten yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen on hyvin monimutkaista, joten emme ole esittäneet sitä yksityiskohtaisesti. Jokainen monimutkainen yhtälö johtaa kahteen todelliseen yhtälöön, joten näytämme ratkaisun vain TINA: n tulkin avulla lasketuilla arvoilla.

Ratkaisu TINAn tulkin avulla:

{TINAn tulkin ratkaisu}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
On: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr = Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-On {N1}
{Ohmin säännöt}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
IVS = Ic1
end;
IVS = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (IVS) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * kaari (IVS) / pi
fiIvs = [79.9613]

#Pythonin ratkaisu
tuonti sympy nimellä s
tuonti cmath nimellä c
cp= lambda Z : "{:.4f}".muoto(Z)
om=20000*c.pi
Vs = 10
Is = 1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
tulostaa (Ivs)
print("abs(Ivs)=",cp(abs(Ivs)))
print("180*c.phase(Ivs)/c.pi=",cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

TINA-ratkaisu:

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Ratkaise tämä ongelma käsin työskentelemällä monimutkaisilla impedanssilla. Esimerkiksi R, L ja C₂ on kytketty rinnakkain, joten voit yksinkertaistaa piiriä laskemalla niiden rinnakkaiset ekvivalentit. || tarkoittaa impedanssien rinnakkaista ekvivalenttia:

Numeerisesti:

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Yksinkertaistettu piiri impedanssilla:

Yhtälöt tilatussa muodossa: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

On olemassa neljä tuntematonta- I; I_Z; V_C1; V_Z - ja meillä on neljä yhtälöä, joten ratkaisu on mahdollinen.

Ilmaista I sen jälkeen, kun muut tuntemattomat on korvattu yhtälöistä:

Numeerisesti

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

TINAn tulkin tuloksen mukaan.

{Ratkaisu impedanssilla Z}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
On: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys minä
I = J * om * C1 * (VS-Z * (I + on))
end;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * kaaren (I) / pi = [79.9613]

#Pythonin ratkaisu
tuonti sympy nimellä s
tuonti cmath nimellä c
Replus = lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
Vs = 10
Is = 1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[kompleksi(Z) Z:lle monikko(s.linsolve(A,I))[0]][0]
tulosta ("I=", cp(I))
print("abs(I)=",cp(abs(I)))
print("180*c.phase(I)/c.pi=",cp(180*c.phase(I)/c.pi))

Virran aikafunktio on sitten:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A

Voit tarkistaa Kirchhoffin nykyisen säännön vaihekaavioiden avulla. Alla oleva kuva on kehitetty tarkistamalla solmun yhtälö i: ssä_Z = i + i_G1muodostavat. Ensimmäisessä kaaviossa on esitetty parallelogrammisäännöllä lisätyt phaorit, toisessa kaaviossa kuvataan phasor-lisäyksen kolmionsääntö.

Esitellään nyt KVR TINA: n vaihekaavion avulla. Koska lähdejännite on yhtälössä negatiivinen, liitimme volttimittarin "taaksepäin". Vaihekaavio kuvaa Kirchhoffin jännitesäännön alkuperäisen muodon.

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Ensimmäisessä vaihekaaviossa käytetään rinnansuuntaussääntöä, kun taas toisessa käytetään kolmion sääntöä.

Kuvailla KVR: ää muodossa V_C1 + V_Z - V_S = 0, kytkeimme volttimittarin jälleen taaksepäin jännitelähteeseen. Voit nähdä, että vaihekolmio on suljettu.

Huomaa, että TINA antaa sinun käyttää joko sini- tai kosini-funktiota perustoimintona. Valitusta toiminnosta riippuen vaihekaavioissa näkyvät kompleksiset amplitudit voivat vaihdella 90 astetta. Voit asettaa perustoiminnon kohdasta 'Näytä' 'Asetukset' 'AC-toiminto' '. Esimerkissämme käytimme aina kosinifunktiota perustana.

Esimerkki 2

Löydä kaikkien komponenttien jännitteet ja virrat, jos:

v_S(t) = 10 cos wt V, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Olkoon tuntemattomat 'passiivisten' elementtien jännitteiden ja virtojen sekä jännitelähteen virran (i_VS) ja virtalähteen jännite (v_IS). Kaikkiaan on kaksitoista monimutkaista tuntematonta. Meillä on kolme itsenäistä solmua, neljä itsenäistä silmukkaa (merkitty M: llä)_I), ja viisi passiivista elementtiä, jotka voidaan luonnehtia viidellä "Ohmin lailla" - yhtälöitä on 3 + 4 + 5 = 12:

Nodaaliyhtälöt N: lle₁ I_VSM I =_R1M + I_C2M

N: lle₂ I_R1M I =_LM + I_C1M

N: lle₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM I =_R2M

Silmukkayhtälöt M: lle₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

M: lle₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

M: lle₃ V_LM = V_C1M

M: lle₄ V_R2M = V_Ismi

Ohmin lait V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

Älä unohda, että mikä tahansa monimutkainen yhtälö voi johtaa kahteen todelliseen yhtälöön, joten Kirchhoffin menetelmä vaatii monia laskelmia. On paljon yksinkertaisempaa ratkaista jännitteiden ja virtojen aikatoiminnot käyttämällä differentiaaliyhtälöjärjestelmää (ei käsitellä tässä). Ensin näytetään TINAn tulkin laskemat tulokset:

{TINAn tulkin ratkaisu}
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
end;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (VL) = [39.0965m]
abs (IVS) = [3.0697m]
180 + radtodeg (kaari (IVS)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (kaari (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (kaari (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (kaari (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (kaari (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (kaari (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (kaari (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (kaari (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (kaari (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (kaari (VL)) = [65.1092]

#Pythonin ratkaisu
tuonti sympy nimellä s
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c
cp= lambda Z : "{:.4f}".muoto(Z)
f = 10000
Vs = 10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print("abs(vr1)=",cp(abs(vr1)))
print("abs(vr2)=",cp(abs(vr2)))
print("abs(ic1)=",cp(abs(ic1)))
print("abs(ic2)=",cp(abs(ic2)))
print("abs(vc1)=",cp(abs(vc1)))
print("abs(vc2)=",cp(abs(vc2)))
print("abs(iL)=",cp(abs(iL)))
print("abs(vL)=",cp(abs(vL)))
print("abs(ivs)=",cp(abs(ivs)))
print("180+astetta(vaihe(ivs))=",cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print("abs(vis)=",cp(abs(vis)))
print("asteet(vaihe(vis))=",cp(m.degrees(c.phase(vis))
print("asteet(vaihe(vr1))=",cp(m.degrees(c.phase(vr1))))
print("asteet(vaihe(vr2))=",cp(m.degrees(c.phase(vr2))))
print("asteet(vaihe(ic1))=",cp(m.degrees(c.phase(ic1))))
print("asteet(vaihe(ic2))=",cp(m.degrees(c.phase(ic2))))
print("asteet(vaihe(vc2))=",cp(m.degrees(c.phase(vc2))))
print("asteet(vaihe(vc1))=",cp(m.degrees(c.phase(vc1))))
print("asteet(vaihe(iL))=",cp(m.degrees(c.phase(iL))))
print("asteet(vaihe(vL))=",cp(m.degrees(c.phase(vL))))

Yritä nyt yksinkertaistaa yhtälöitä käsin korvaamalla. Ensimmäinen korvaava ekv.9. osaksi eq 5.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2a.)

sitten eq.8 ja eq.9. eq 5: iin.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b.)

sitten ekv. 12., ekv. 10. ja minä_Leq. 2 osaksi eq.6.

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (I_R1 - Minä_C1) = jwLI_R1 - jwL jwC₁ V_C1