ЗАКОНИТЕ НА КИРХОФОТ

Кликнете или допрете ги Примерните кола подолу за да го повикате TINACloud и да го одберете интерактивниот DC режим за да ги анализирате Online.
Добијте низок пристап до TINACloud за да ги уредите примерите или да креирате сопствени кола

ТЕОРЕМ ЗА НАДВОРЕЊЕ

НОТ ПОТЕНЦИЈАЛЕН МЕТОД

Многу кола се премногу комплексни за да бидат решени со употреба на правилата за серии или паралелни кола или техники за претворање во поедноставни кола опишани во претходните поглавја. За овие кола ни се потребни поопшти методи за решение. Најчестиот метод е даден со законите на Кирхоф, кои овозможуваат пресметување на сите напони на струјата и струите на кола со раствор на систем на линеарни равенки.

Постојат два Закони за Кирхоф, закон за напон и струја закон. Овие два закона можат да се користат за да се утврдат сите напони и струи на кола.

За законот за напон на Кирхоф (KVL) се вели дека алгебарскиот збир на напонот се крева и падот на напонот околу јамка мора да биде нула.

Јамка во горенаведената дефиниција значи затворена патека во колото; тоа е, патека што остава јазол во една насока и се враќа на истиот јазол од друга насока.

Во нашите примери, ние ќе користиме насока од стрелките на часовникот за петелки; сепак, истите резултати ќе се добијат ако се користи насоката спротивно од стрелките на часовникот.

За да примениме KVL без грешка, треба да ја дефинираме т.н. референтна насока. Референтната насока на непознатите напони покажува од + до - знакот на претпоставените напони. Замислете дека користите волтметар. Wouldе ја поставите сондата за позитивната сонда на волтметарот (обично црвена) на терминалот на референцата + на компонентата. Ако реалниот напон е позитивен, тој е во иста насока како што претпоставивме, и нашето решение и волтметарот ќе покажат позитивна вредност.

Кога се изведува алгебарската сума на напоните, мора да доделиме плус знак на оние напони каде референтната насока се согласува со насоката на јамката, и негативните знаци во спротивен случај.

Друг начин да се изрече законот за напон на Кирхоф е: применетиот напон на сериското коло е еднаков на збирот на падовите на напонот низ елементите на серијата.

Следниот краток пример ја покажува употребата на законот за напон на Кирхоф.

Пронајдете го напонот преку резисторот Р_2, имајќи предвид дека изворот на напонот, V_S = 100 V и дека напонот низ резисторот R₁е V₁ = 40 V.

Сликата подолу може да се создаде со TINA Pro Верзија 6 и погоре, во која алатките за цртање се достапни во шематски уредник.

Решението користејќи го законот за напон на Кирхоф: -V_S + V₁ + V₂= 0, или V_S = V₁ + V₂

Оттука: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Забележете дека нормално не ги знаеме напоните на отпорниците (освен ако не ги мериме) и треба да ги користиме двата закони на Кирхоф за решението.

Сегашниот закон на Кирхоф (KCL) наведува дека алгебарскиот збир на сите струи што влегуваат и оставаат каков било јазол во коло е нула.

Во следното, им даваме знак + на струите што оставаат јазол и знак - на струите што влегуваат во јазол.

Еве еден основен пример кој го демонстрира сегашниот закон на Кирхоф.

Најди ги тековните јас₂ ако изворот струја I_S = 12 A, и јас₁ = 8 А.

Користење на сегашниот закон на Кирхоф во кружниот јазол: -I_S + Јас₁ + Јас₂ = 0, па оттука: I₂= Јас_S - Јас₁ = 12 - 8 = 4 A, како што можете да проверите користејќи TINA (следна слика).

Во следниот пример, ние ќе ги користиме и двата закони на Кирхоф, плус законот на Ом, за да ги пресметаме струјата и напонот преку отпорниците.

На сликата подолу, ќе забележите на Стрелка стрелка погоре отпорници. Ова е нова компонента достапна во Верзија 6 на TINA и работи како волтметар. Ако ја поврзете преку компонента, стрелката ја одредува референтната насока (да се спореди со волтметар, замислете ставајќи ја црвената сонда на опашката на стрелата и црната сонда на врвот). Кога извршувате DC анализа, вистинскиот напон на компонентата ќе се прикаже на стрелката.

Кликнете / допрете го горе наведеното коло за да ги анализирате on-line или кликнете на овој линк за да зачувате под Windows

За да започнеме со употреба на тековниот закон на Кирхоф, гледаме дека струите низ сите компоненти се исти, па ајде да ја означиме таа струја од И.

Според законот за напон на Кирхоф: V_S = V₁+V₂+V₃

Сега користејќи го законот на Ом: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

И од тука струјата на колото:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Конечно напоните на отпорниците:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Истите резултати ќе се видат на стрелките за напон со едноставно извршување на интерактивната DC анализа на ТИНА.

Во ова следно, посложено коло, ние исто така ги користиме и двата закони на Кирхоф и законот на Ом, но откриваме дека најмногу решаваме линеарен систем на равенки.

Вкупниот број на независни апликации на законите на Кирхоф во едно коло е бројот на струјни гранки, додека вкупниот број на непознати (струја и напон на секоја гранка) е двојно поголем од тој. Сепак, со користење на законот на Ом кај секој отпорник и едноставните равенки што ги дефинираат применетите напони и струи, добиваме систем на равенка каде што бројот на непознати е ист како и бројот на равенки.

Пронајдете ги струењата на гранките I1, I2, I3 во колото подолу.

Кликнете / допрете го горе наведеното коло за да ги анализирате on-line или кликнете на овој линк за да зачувате под Windows

Следува множество равенки:

Нодалната равенка за кружниот јазол:

- I₁- I₂- Јас₃ = 0

или множење со -1

I₁+ I₂+ Јас₃ = 0

Равенките на јамката (користејќи ја насоката на стрелките на часовникот) за јамката L1, што содржи V₁, Р.₁ и Р₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

и за јамка L2, која содржи V₂, Р.₂ и Р₃

I₃*R₃ - Јас₂*R₂ +V₂ = 0

Заменување на вредностите на компонентата:

I₁+ Јас₂+ Јас₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ -20 * Јас₂ + 16 = 0

Експрес јас₁ користејќи ја нодалната равенка: I₁ = -I₂ - Јас₃

потоа заменете ја во втората равенка:

-V₁- (јас₂ + Јас₃) * Р₁ -И₃*R₃ = 0 or -8- (I.₂ + Јас₃) * 40 - јас₃* 40 = 0

Експрес јас₂ и заменете го во третата равенка, од која веќе можете да пресметате I₃:

I₂ = - (В.₁ + Јас₃* (Р.₁+R₃)) / Р₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + Р₂* (V₁ + Јас₃* (Р.₁+R₃)) / Р₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

И: I₃ = - (В.₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (Р₁+R₃) * Р₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Затоа I₃ = - 0.25 А; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 А.

Или: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Сега ајде да ги решиме истите равенки со толкувачот на ТИНА:

{Решение на толкувачот на ТИНА}
Сис I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Решение од Python
увезете numpy како np, sympy како s
#Имаме линеарен систем на
#равенки што сакаме да ги решиме:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
сол = с.реши([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
печатење (сол)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array ([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
печатење („I1= %.3f“%x[0])
#I2
печатење („I2= %.3f“%x[1])
#I3
печатење („I3= %.3f“%x[2])

Конечно, да го провериме резултати користејќи TINA:

Следно, ајде да ги анализираме следниве уште покомплексно коло и да ги одредиме неговите струи и напони на гранките.

Кликнете / допрете го горе наведеното коло за да ги анализирате on-line или кликнете на овој линк за да зачувате под Windows

Ајде да ги означиме непознатите напони и струи со додавање на стрели на напон и струја на компонентите, а исто така да ги покажеме и петелките (L1, L2, L3) и јазлите (N1, N2) каде што ќе ги користиме равенките на Kirchhoff.

Кликнете / допрете го горе наведеното коло за да ги анализирате on-line или кликнете на овој линк за да зачувате под Windows

Еве го множеството на Равенки на Кирхоф за петелките (користејќи ја насоката на стрелките на часовникот) и јазлите.

-I_L+ Јас_R1- Јас_s= 0(за N1)

- Јас_R1+ Јас_R2+ Јас_s3 = 0 (за N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (за L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (за L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (за L3)

Применување на законот на Ом:

V_L= Јас_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = Јас_R2*R₂

V_R3 = - јас_L*R₃

Ова е 9 непознати и 9 равенки. Најлесен начин да се реши ова е да се користат TINA's

толкувач. Меѓутоа, ако сме притиснати да користиме пресметки за рака, забележуваме дека овој збир на равенки може лесно да се намали на систем од 5 непознати со заменување на последните 4 равенки во равенките за јамки L1, L2, L3. Исто така, со додавање равенки (L1) и (L2), можеме да го елиминираме V_Is, намалувајќи го проблемот со систем на 4 равенки за 4 непознати (I_L,I_R1 I_R2,I_s3) Кога ги најдовме овие струи, можеме лесно да го одредиме V_L, V_R1, V_R2, и V_R3 користејќи ги последните четири равенки (закон Ом).

Заменување на V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ Јас_R1- Јас_s= 0(за N1)

- Јас_R1+ Јас_R2+ Јас_s3 = 0 (за N2)

-V_s1+ Јас_L*R₃+ V_Is+ Јас_L*R_L = 0 (за L1)

-V_Is+ V_s2 + Јас_R2*R₂+ Јас_R1*R₁ = 0 (За L2)

- Јас_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (за L3)

Додаваме (L1) и (L2) добиваме

-I_L+ Јас_R1- Јас_s= 0(за N1)

- Јас_R1+ Јас_R2+ Јас_s3 = 0 (за N2)

-V_s1+ Јас_L*R₃+ Јас_L*R_L + V_s2 + Јас_R2*R₂+ Јас_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Јас_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (за L3)

По заменувањето на вредностите на компонентата, решението за овие равенки доаѓа веднаш.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (за N1)

-I_R1 + Јас_R2 + Јас_S3 = 0 (за N2)

-120 - + јас_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (Л₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (за Л₃)

од Л₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

од Н₂ I_S3 - Јас_R1 = - 5.25 (II)

од Л₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

и за Н₁ I_R1 - Јас_L = 2 (IV)

Множете се (IV) со -30 и додадете во (III) 140 I_L = -210 оттука I_L = - 1.5 А.

Заменик јас_L во (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

и јас_R1 во (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

И напоните: V_R1 = Јас_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = Јас_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - јас_L*R₃= 135 V; V_L = Јас_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Решение за оригиналните равенки од толкувачот на ТИНА}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Решение од Python
#Секира=б
увезете numpy како np, sympy како s
#Симболично решение со користење numpy.реши
#Равенки:
#IL=-Е+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Реши за:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
# VR1, VR3, VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
сол = с.реши([
- Дали + IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
печатење (сол)

#Друг метод за решавање со помош на numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
печатење („IL= %.3f“%x[0])
печатење („IR1= %.3f“%x[1])
печатење („IR2= %.3f“%x[2])
print(„Is3= %.3f“%x[3])
print(„Vis= %.3f“%x[4])
печатење („VL= %.3f“%x[5])
печатење („VR1= %.3f“%x[6])
печатење („VR2= %.3f“%x[8])
печатење („VR3= %.3f“%x[7])

Решение за намалениот збир на равенки со помош на толкувачот:

{Решение на намалениот збир на равенки од толкувачот на ТИНА}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Можеме исто така да внесеме изрази за напони и да ги преведеме толкувачот на ТИНА:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-VL + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Можеме да го провериме резултатот со TINA со едноставно вклучување на интерактивниот режим на TINA DC или со помош на анализа / DC анализа / нодални напони

ТЕОРЕМ ЗА НАДВОРЕЊЕ

НОТ ПОТЕНЦИЈАЛЕН МЕТОД