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La Théorème de Fourier indique que toute forme d'onde périodique peut être synthétisée en ajoutant des termes sinus et cosinus correctement pondérés de différentes fréquences. Le théorème est bien couvert dans d’autres manuels, nous nous contenterons donc de résumer les résultats et de montrer quelques exemples.

Soit notre fonction périodique f (t) = f (t ±nT) où T est le temps d'une période et n est un nombre entier.

w₀= 2p/ T la fréquence angulaire fondamentale.

Par l' Théorème de Fourier, la fonction périodique peut s'écrire sous la forme suivante :

De

A_n et B_n sont les Coefficients de Fourier et la somme est la Série de Fourier.

Autre forme, sans doute un peu plus pratique :

De

A₀ = C₀ est la valeur DC ou moyenne, A₁, B₁ et C₁ sont les composants fondamentaux, et les autres sont les termes harmoniques.

Même si quelques termes seulement peuvent être nécessaires pour approximer certaines formes d'onde, d'autres nécessiteront de nombreux termes.

Généralement, plus il y a de termes inclus, meilleure est l'approximation, mais pour les formes d'onde contenant des étapes, telles que les impulsions rectangulaires, le Phénomène Gibbs entre en jeu. À mesure que le nombre de termes augmente, le dépassement se concentre sur une période de temps de plus en plus courte.

An Même fonction f(t) = f(-t) (symétrie des axes) ne nécessite que des termes cosinus.

An fonction étrange f(t) = – f(-t) (symétrie ponctuelle) ne nécessite que des termes sinusoïdaux.

Une forme d'onde avec symétrie miroir ou demi-onde a seulement impair harmoniques dans sa représentation de Fourier.

Ici, nous ne traiterons pas du développement en série de Fourier, mais utiliserons uniquement une somme donnée de sinus et de cosinus comme excitation pour un circuit.

Dans les chapitres précédents de ce livre, nous avons traité de l’excitation sinusoïdale. Si le circuit est linéaire, le théorème de superposition est valable. Pour un réseau à excitation périodique non sinusoïdale, la superposition permet de calculer les courants et les tensions dus à chaque terme sinusoïdal de Fourier un à la fois. Lorsque tout est calculé, nous résumons enfin les composantes harmoniques de la réponse.

Il est un peu compliqué de déterminer les différents termes des tensions et courants périodiques et, en fait, cela peut donner lieu à une surcharge d’informations. En pratique, on voudrait simplement faire des mesures. Nous pouvons mesurer les différents termes harmoniques à l'aide d'un analyseur d'harmoniques, analyseur de spectre, analyseur d'ondes ou analyseur de Fourier. Tous ceux-ci sont compliqué et produit probablement plus de données que nécessaire. Parfois, il suffit de décrire un signal périodique uniquement par ses valeurs moyennes. Mais il existe plusieurs types de mesures moyennes.

MOYENNE VALEURS

Moyenne simple or DC terme était vu dans la représentation de Fourier comme A₀

Cette moyenne peut être mesurée avec des instruments tels que le Deprez Instruments à courant continu.

Valeur effective or rms (racine moyenne quadratique) a la définition suivante :

C'est la valeur moyenne la plus importante car la chaleur dissipée dans les résistances est proportionnelle à la valeur efficace. De nombreux voltmètres numériques et certains analogiques peuvent mesurer la valeur effective des tensions et des courants.

Moyenne absolue

Cette moyenne n'a plus d'importance ; les instruments antérieurs mesuraient cette forme de moyenne.

Si nous connaissons la représentation de Fourier d'une forme d'onde de tension ou de courant, nous pouvons également calculer les valeurs moyennes comme suit :

Moyenne simple or DC terme était vu dans la représentation de Fourier comme A₀ = C₀

Valeur effective or rms (moyenne quadratique) est, après intégration de la série de Fourier de la tension :

La facteur Klirr est un rapport très important des valeurs moyennes :

C'est le rapport de la valeur efficace des termes harmoniques supérieurs à la valeur efficace de l'harmonique fondamentale :

Il semble y avoir une contradiction ici : nous résolvons le réseau en termes de composantes harmoniques, mais nous mesurons des quantités moyennes.

Illustrons la méthode par des exemples simples:

Exemple 1

Trouver la fonction temporelle et la valeur efficace (rms) de la tension v_C(T)

si R = 5 ohm, C = 10 mF et v (t) = (100 + 200 cos (w₀t) + cos 30 (3 w₀t - 90 °)) V, où la fréquence angulaire fondamentale est w₀= 30 krad / s.

Essayez d'utiliser le théorème de superposition pour résoudre le problème.

La première étape consiste à trouver la fonction de transfert en fonction de la fréquence. Pour plus de simplicité, utilisez la substitution : s = j w

Remplacez maintenant les valeurs des composants et s = jk w₀où k = 0; 1; 3 dans cet exemple et w₀= 30 krads/s. En V, A, ohm, mUnités F et Mrad / s:

Il est utile d'utiliser un tableau pour organiser les étapes de la solution numérique :

Nous pouvons résumer les étapes de la solution de superposition dans un autre tableau. Comme nous l'avons déjà vu, pour trouver la valeur de crête complexe d'une composante, il faut multiplier la valeur de crête complexe de la composante de l'excitation par la valeur de la fonction de transfert complexe.:

Et enfin on peut donner la fonction temps connaissant les valeurs crêtes complexes des composants :

v_C(t) = 100 + 110 cos(w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

La valeur efficace (efficace) de la tension est :

Comme vous pouvez le constater, l'instrument de mesure de TINA mesure cette valeur efficace.

Exemple 2

Trouver la fonction temporelle et la valeur efficace (rms) du courant i(t)

si R = 5 ohm, C = 10 mF et v (t) = (100 + 200 cos (w₀t) + cos 30 (3w₀t - 90 °)) V où la fréquence angulaire fondamentale est w₀= 30 krad / s.

Essayez de résoudre le problème en utilisant le théorème de superposition.

Les étapes de la solution sont similaires à celles de l'exemple 1, mais la fonction de transfert est différente.

Remplacez maintenant les valeurs numériques et s = jk w_0,où k = 0; 1; 3 dans cet exemple.

En V, A, ohm, mUnités F et Mrad / s:

Il est utile d'utiliser un tableau lors de la solution numérique :

On peut résumer les étapes de la superposition dans un autre tableau. Comme nous l'avons déjà vu, pour trouver la valeur maximale d'une composante, nous devons multiplier la valeur maximale complexe de cette composante de l'excitation par la valeur de la fonction de transfert complexe. Utiliser les valeurs de crête complexes des composantes de l'excitation :

Et enfin, connaissant les valeurs de crête complexes des composants, nous pouvons énoncer la fonction temporelle :

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [UNE]

Tsa valeur efficace du courant :

Vous pouvez souvent effectuer une vérification de cohérence pour une partie de la solution. Par exemple, un condensateur peut avoir une tension continue mais pas un courant continu.

Exemple 3

Obtenir la fonction temporelle de la tension V_ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 ohms, L = 25 mH et

C = 200 mF. La tension du générateur est v(t)=(50 + 80 cos(w₀t) + cos 30 (2 w₀t + 60 °)) V, où la fréquence fondamentale est f₀ = 50 Hz.

La première étape consiste à trouver la fonction de transfert :

Remplacement des valeurs numériques en unités V, A, ohm, mH, mF, kHz :

Fusion des deux tables:

k V Sk		V abk
+0 (50)XNUMX XNUMX		50
+1 (80)XNUMX XNUMX		79.3 e-j66.3
2 30 ej60		29.7 e-j44.7

Enfin la fonction temps :

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

et la valeur efficace :

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