ՀԱՄԱԼՍԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Կտտացրեք կամ Ստուգեք Ստորին օրինակելի սխեմաները, TINACloud- ին կանչելու համար եւ ընտրեք Interactive DC ռեժիմը `դրանք վերլուծելու համար:
Ստացեք ցածր գներով մուտք դեպի TINACloud, օրինակները խմբագրել կամ ստեղծել ձեր սեփական սխեմաները

MESH եւ LOOP ընթացիկ մեթոդները

ԱՅԼԸՆՏՐԱՆՔԱՅԻՆ ԱՄԲՈՂՋՈՒԹՅԱՆ ՍԿԶԲՈՒՆՔՆԵՐԸ

Այս եւ հաջորդ գլուխներում մենք կներկայացնենք շատ կարեւոր թեման, AC կամ փոփոխվող ընթացիկ: Անունը փոխարինող հոսանքը շատ հստակ չէ եւ սովորաբար ծածկում է սինուսոիդային հոսանքների եւ հոսանքների սխեմաները. սակայն փոխարինող տերմինը կարող է նաեւ նշանակել ցանկացած կամայական ընթացիկ ալիքի ձեւ: AC լարման կարեւորությունը այն է, որ նման լարումը օգտագործվում է տների եւ արդյունաբերության հիմնական էլեկտրաէներգիայի աղբյուրի համար ամբողջ աշխարհում: Դա նաեւ հիմք է բազմաթիվ էլեկտրոնիկայի, հեռահաղորդակցության եւ արդյունաբերական ծրագրերի համար:

Սինուսոիդային ալիքի ձեւերի եւ դրանց հետ կապված սխեմաների գործածման համար մենք կօգտագործենք պարզ եւ էլեգանտ մեթոդ, որը կոչվում է ֆազորների մեթոդ: Ֆազերը հիմնված են բարդ թվերի հատկությունների վրա, որոնք իդեալական են սինուսոիդային քանակների ներկայացման համար: Այս գլխում մենք ամփոփում ենք բարդ թվերի եւ դրանց գործառնությունների մասին հիմնական փաստերը: Մենք նաեւ ցույց կտանք, թե ինչպես TINA- ի թարգմանիչը հեշտացնում է հաշվարկներ կատարել համալիր թվերով:

Համալիր համարները բաղկացած են երկու մասից, ա իրական մասը (x), որը իրական թիվ է եւ այսպես կոչված երեւակայական մասը (y), որը իսկական թիվ է բազմապատկած , երեւակայական միավորը. Բարդի համարը z, հետեւաբար, կարելի է նկարագրել որպես հետեւյալը.

z = x + jy

որտեղ .

Բարդ թվերի օրինակներ.

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Բարդ թվերը սկզբնապես ներկայացվել են տասնյոթերորդ դարում ՝ բազմամոլների արմատները ներկայացնելու համար, որոնք միայն իրական թվերով չէին կարող ներկայացվել: Օրինակ ՝ x հավասարման արմատները²+ 2x + 2 = 0- ը կարող է նկարագրվել որպես միայն և , կամ օգտագործելով նշումը , z₁= 1 + j և z₂= 1- j. Օգտագործելով նոր նշումը `ուսումնասիրելու արտահայտությունների հատկությունները, մաթեմատիկոսները կարողացան ապացուցել թեորեմները և լուծել այն խնդիրները, որոնք մինչ այդ դժվար էր, եթե ոչ անհնարին լուծել: Սա հանգեցրեց բարդ հանրահաշիվների և բարդ գործառույթների մշակմանը, որոնք այժմ լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայի և ճարտարագիտության ոլորտում:

Բարդ թվերի երկրաչափական ներկայացում

Ուղղանկյուն ձեւ

Քանի որ բարդ թիվը միշտ կարող է տարանջատվել իր իրական և բարդ մասերի մեջ, մենք կարող ենք բարդ համարը ներկայացնել որպես կետ երկաչափ հարթության վրա: Բարդ համարի իրական մասը կետի պրոյեկտումն է իրական առանցքի վրա, իսկ համարի երևակայական մասը երևակայական առանցքի վրա պրոյեկտն է: Երբ բարդ թիվը ներկայացված է որպես իրական և երևակայական մասերի գումար, մենք ասում ենք, որ այն գտնվում է ուղղանկյուն or հանրահաշվական ձեւ.

Հետեւյալ նկարը ցույց է տալիս համալիրի համարը z = 2 + 4j

Բեւեռային եւ արտապատկերային ձեւ

Ինչպես տեսնում եք վերը նկարից, A կետը կարող է ներկայացվել նաև սլաքի երկարությամբ, r (կոչվում է նաև բացարձակ արժեք, մեծություն կամ լայնություն) և դրա անկյունը (կամ փուլը), φ հարաբերական `հակառակ սլաքի ուղղությամբ դեպի դրական հորիզոնական առանցք: Սա է բեւեռ բարդ թվի ձև: Նշվում է որպես r φ.

Հաջորդ քայլը շատ կարեւոր է: Բեւեռային ձեւով համալիր թիվ կարելի է գրել նաեւ ցուցադրական ձեւ:

Այս պարզ արտահայտությունն առանձնահատուկ է նրանով, որ իր մեջ երևակայական թիվ ունի սովորական իրական համարի փոխարեն: Այս բարդ էքսպոնենցիալը շատ տարբերվում է էքսպոնենցիալ գործառույթից ՝ իրական փաստարկով: Մինչ ե^x աճում է արագությամբ մեծությամբ x> 0 մեծացնելու համար և նվազում x <0 ֆունկցիան ցանկացած ֆ-ի համար ունի նույն մեծությունը (z = 1): Ավելին, դրա բարդ արժեքները ընկած են միավորի շրջանակի վրա:

Euler- ի բանաձեւը ապահովում է միացնող կապ `համալիր թվերի ուղղանկյուն, բեւեռային եւ արտապատկերային ձեւերի միջեւ.

z = x + jy = կրկին ^jφ = r (cos φ + j առանց φ )

որտեղ

և φ = tan^-1(y / x):

Վերոնշյալ մեր օրինակին համար, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

հետեւաբար .

Կամ հակառակը.

Անհրաժեշտ կլինի զգույշ լինել երկու ձևերի օգտագործման վրա ՝ կախված դիմումից: Օրինակ, հավելումն կամ հանումը ակնհայտորեն ավելի հեշտ է անել, երբ թվերը ուղղանկյուն ձևի մեջ են, մինչդեռ բազմապատկումը և բաժանումը ավելի հեշտ է անել, երբ թվերը գտնվում են էքսպոնենտալ վիճակում:

Գործառնություններ համալիր թվերով

Գործառույթները, որոնք կարելի է կատարել բարդ թվերով, նման են իրական թվերի: Կանոնները և որոշ նոր սահմանումներ ամփոփված են ստորև:

Գործարքներ j

Գործողություններ j պարզապես հետեւեք երեւակայական միավորի սահմանմանը,

Կարող են աշխատել արագ եւ ճշգրիտ, դուք պետք է անգիր այս կանոնները:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Ապացուցված է.

j² = -1 պարզապես պարզվում է , քանի որ

1 /j, մենք բազմապատկում ենք 1 /jby j / j = 1 եւ ստացեք j/ (ժժ) = j / (- 1) = -j.

Կոմբինացված համադրություն

Համալիր համալիրի բարդ կոնվուլտուրան հեշտությամբ բխում է եւ շատ կարեւոր է: Ուղղանկյուն ձեւով համալիրի համալիրի համադրություն ձեռք բերելու համար պարզապես փոխեք պատկերային մասի նշանը: Որպեսզի դա ցույց տա, որ մի շարք էքսպոնենցիալ ձեւով, փոխեք բարդի համարի անկյունը, իսկ բացարձակ արժեքը նույնը պահելով:

Համալիր բարդի համադրություն z հաճախ նշվում է z^*.

Հաշվի առնելով համալիրը z= a + jբ, դրա բարդ կոնվիգատանն է z^*= a- jb.

If z ներկայացվում է exponential ձեւով, , դրա բարդ համատեքստը

Օգտագործելով վերը նշված հասկացությունները, հեշտ է տեսնել, որ համալիրի բազմապատիկը իր բազմապատկված համատեքստով բազմապատկվում է `համալիրի բացարձակ արժեքի քառակուսին.

zz^* = r²= ա^{2 +}b²

Բացի այդ, ավելացնելով կամ հանել ցանկացած բարդ թվաքանակի եւ դրա համադրությունը, մենք ստանում ենք հետեւյալ հարաբերությունները.

z + z ^* = 2a

հետեւաբար

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Նմանապես `

z - z ^* =j2b

հետեւաբար

Ես(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Ապացուցված է.

կամ բազմապատկելով իրական եւ երեւակայական մասերը եւ օգտագործելով j²= -1

zz^* = (a + jբ) (ա - jբ) = ա²+a jբ - ա jբ - jbjb = a²j2 = ա^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jբ - ա + jբ =j2b

Թվային օրինակներ.

Ուղղանկյուն ձեւով.

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Բեւեռային ձեւով

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Արտոնագրային ձեւով.

Լրացում և հանում

Բարդ թվերի լրումն ու հանումը պարզ է. Մեզ հարկավոր է միայն ավելացնել իրական և երևակայական մասերը: Օրինակ, եթե

z₁ = 3 - 4j և z₂= 2 + 3j

ապա

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Ակնհայտ է, որ այս գործողությունների համար մենք պետք է օգտագործենք ուղղանկյուն ձև: Եթե համարները տրված են էքսպոզիցիոն կամ բևեռային տեսքով, ապա մենք դրանք առաջին հերթին պետք է վերածենք ուղղանկյուն ձևի ՝ օգտագործելով Euler's բանաձևը, ինչպես տրված է ավելի վաղ:

Բազմապատկում

Բարդ թվերի բազմապատկման երկու եղանակ կա.

Ուղղանկյուն ձեւով տրված բարդ թվերի բազմապատկում

Գործողությունը իրականացնելու համար պարզապես բազմապատկեք մեկ համարի իրական և երևակայական մասերը, իր հերթին, մյուս համարի իրական և երևակայական մասերով և օգտագործեք ինքնությունը j²= -1:

z₁z₂ = (ա₁ + jb₁) (ա₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - բ₁b₂ = ա₁ a₂- բ₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Երբ բարդ թվերը տրվում են թվային, անհրաժեշտ չէ օգտագործել վերը նշված բանաձեւը: Օրինակ `թող

z₁ = 3 - 4j և z₂= 2 + 3j

Ուղղակի բազմապատկելով բաղադրիչները `

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

կամ օգտագործելով բանաձեւը. z₁z₂ = ա₁ a₂- բ₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Մենք կարծում ենք, որ ավելի մեծ հավանականություն կունենաք, եթե դուք օգտագործում եք բանաձեւը, եթե դուք ուղղակիորեն բազմապատկեք բաղադրիչները:

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z1: = 3-4 * ժ
z2: = 2 + 3 * ժ
z1 * z2 = [18 + 1 * ժ]

# Լուծում Python-ի կողմից.
ներմուծել մաթեմատիկան որպես մ
ներմուծել cmath որպես c

z1=բարդ ('3-4j')
z2=բարդ ('2+3j')
տպել (“z1*z2=”,z1*z2)

Բեւեռային կամ ցուցադրական ձեւով տրված բարդ թվերի բազմապատկում

Այս գործողությունը իրականացնելու համար ավելացրեք բացարձակ արժեքները եւ ավելացրեք երկու բարդ թվերի անկյունները: Թողեք.

Այնուհետեւ օգտագործում էքսպոնենտալ գործառույթների բազմապատկման կանոն.

կամ բեւեռային ձեւով

z₁ z₂ = r₁ r₂ Φ₁+ φ₂

Նշում. Մենք հաշվարկել ենք այս կանոնը zz ^*վերևում: Քանի որ կոնյունգատի անկյունն ունի բնօրինակ անկյունի հակառակ նշան, ապա իր սեփական կոնյուկատներով բազմապատկված բարդ թիվը միշտ իսկական թիվ է. մասնավորապես ՝ դրա բացարձակ արժեքի քառակուսին. zz ^*= r²

Օրինակ, թույլ տվեք.

z₁ = 5 ∠ 30 ° և z₂ = 4 ∠ -60 °

ապա

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

կամ արտոնագրային ձեւով

Բազմապատկումը ակնհայտորեն ավելի պարզ է, երբ թվերը բեւեռային կամ արտապատկերային ձեւով են:

Այնուամենայնիվ, եթե բարդ համարները տրված են ուղղանկյուն ձևով, ապա պետք է հաշվի առնեք բազմապատկումը ուղղակիորեն կատարելը, ինչպես ցույց է տրված վերևում, քանի որ կան լրացուցիչ քայլեր, եթե դրանք բազմապատկելուց առաջ փոխեք թվերը բևեռային ձևի: Քննարկման մեկ այլ գործոն նաև այն է, որ դուք ուզում եք, որ պատասխանները լինեն ուղղանկյուն տեսքով, կամ բևեռային / էքսպոզիցիոն ձևով: Օրինակ, եթե երկու համարները ուղղանկյուն տեսքով են, բայց կցանկանայիք, որ դրանց արտադրանքը բևեռային տեսքով, իմաստ ունի դրանք անմիջապես փոխարկել, ապա բազմապատկել:

բաժին

Բարդ թվերի բաժանման երկու եղանակ կա.

Ուղղանկյուն ձեւով տրված բարդ թվերի բաժին

Գործողությունը իրականացնելու համար բազմապատկեք համարիչը և նշանակիչը `նշողի կոնյուգատի միջոցով: Դիմորդը դառնում է իրական թիվ, իսկ բաժանումը կրճատվում է երկու բարդ թվերի բազմապատկման վրա և բաժանում իրական թվով ՝ նշանակողի բացարձակ արժեքի քառակուսի:

Օրինակ `

z₁ = 3 - 4j և z₂= 2 + 3j

Այս արդյունքը ստուգենք TINA- ի թարգմանչի հետ.

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z1: = 3-4 * ժ
z2: = 2 + 3 * ժ
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * ժ]

# Լուծում Python-ի կողմից.
ներմուծել մաթեմատիկան որպես մ
ներմուծել cmath որպես c

z1=բարդ ('3-4j')
z2=բարդ ('2+3j')
տպել (“z1/z2=”,z1/z2)

Բեւեռային կամ արտոնագրային ձեւով տրված բարդ թվերի բաժին

Գործողությունը իրականացնելու համար բաժանեք բացարձակ արժեքները (մագնիտուդներ) եւ վերցրեք դինոմինատորի անկյունը, նահանջի տեսանկյունից: Թողեք.

ապա օգտագործելով արտոնյալ գործառույթների բաժանման կանոնը

կամ բեւեռային ձեւով

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Օրինակ, թույլ տվեք.

z ₁ = 5 ∠ 30 ° և z ₂ = 2 ∠ -60 °

ապա

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

կամ երկրաչափական եւ ուղղանկյուն ձեւերով

Այս արդյունքը ստուգենք TINA- ի թարգմանչի հետ.

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z1: = 5 * exp (ժ * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (ժ * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * ժ]

# Լուծում Python-ի կողմից.
ներմուծել մաթեմատիկան որպես մ
ներմուծել cmath որպես c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radians(-60))))
տպել (“z1/z2=”,z1/z2)

Բաժանումը ակնհայտորեն ավելի պարզ է, երբ թվերը բևեռային կամ էքսպոզիցիոն ձևով են:

Այնուամենայնիվ, եթե բարդ համարները տրված են ուղղանկյուն ձևով, ապա դուք պետք է հաշվի առնեք բաժանումը ուղղակիորեն օգտագործելով բարդ կոնյուգատային մեթոդ, ինչպես ցույց է տրված վերևում, քանի որ կան լրացուցիչ քայլեր, եթե դրանք բաժանելուց առաջ թվերը փոխեք բևեռային ձևի: Քննարկման մեկ այլ գործոն նաև այն է, որ դուք ուզում եք, որ պատասխանները լինեն ուղղանկյուն տեսքով, կամ բևեռային / էքսպոզիցիոն ձևով: Օրինակ, եթե երկու համարները ուղղանկյուն վիճակում են, բայց կցանկանայիք, որ դրանց քամիչը բևեռային տեսքով լիներ, իմաստ ունի դրանք անմիջապես փոխարկել, ապա բաժանել:

Այժմ եկեք ցույց տանք, որ համալիր թվերի օգտագործումը ավելի շատ թվային խնդիրներ է: Ինչպես միշտ, մենք ստուգելու ենք մեր լուծումները TINA- ի թարգմանչի միջոցով: Թարգմանիչը աշխատում է ռադիացիների հետ, սակայն այն ունի ստանդարտ ֆունկցիան ռադիանցի փոխակերպման աստիճանին կամ հակառակը:

Օրինակ 1 Գտեք բեւեռային ներկայացուցչությունը.

z = 12 - j 48

կամ 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

# Լուծում Python-ի կողմից.
ներմուծել մաթեմատիկան որպես մ
ներմուծել cmath որպես c

z=12-բարդ (48j)
տպել («abs(z)=», abs(z))
տպել («arc(z)=», c.phase(z))
տպել («աստիճաններ (arc(z))=», m.degrees(c.phase(z)))

Օրինակ 2 Գտեք ուղղանկյուն ներկայացուցչությունը.

z = 25 էլ ^j¹²⁵ ^°

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z: = 25 * exp (ժ * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * ժ]
Re (z) = [- 14.3394]
Իմ (z) = [20.4788]

# Լուծում Python-ի կողմից.
ներմուծել մաթեմատիկան որպես մ
ներմուծել cmath որպես c

z=25*c.exp(complex(0,m.radians(125)))
տպել (“z=”, z)
տպել («իրական (z)=», z.real)
տպել («imag(z)=»,z.imag)

Օրինակ 3 Գտեք հետեւյալ բարդ թվերի բեւեռային ներկայացուցչությունը.

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Բոլոր չորս համարների բացարձակ արժեքները նույնն են, քանի որ բացարձակ արժեքը անկախ է նշաններից: Միայն անկյունները տարբեր են:

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

# Լուծում Python-ի կողմից.
ներմուծել մաթեմատիկան որպես մ
ներմուծել cmath որպես c

z1=բարդ ('12+48j')
տպել ("abs(z1)=",abs(z1))
տպել ("arc(z1)=",c.phase(z1))
տպել («աստիճաններ (arc(z1))=», m.degrees(c.phase(z1)))

z2=բարդ ('12-48j')
տպել ("abs(z2)=",abs(z2))
տպել ("arc(z2)=",c.phase(z2))
տպել («աստիճաններ (arc(z2))=», m.degrees(c.phase(z2)))

z3=բարդ ('-12+48j')
տպել ("abs(z3)=",abs(z3))
տպել ("arc(z3)=",c.phase(z3))
տպել («աստիճաններ (arc(z3))=», m.degrees(c.phase(z3)))

z4=բարդ ('-12-48j')
տպել ("abs(z4)=",abs(z4))
տպել ("arc(z4)=",c.phase(z4))
տպել («աստիճաններ (arc(z4))=», m.degrees(c.phase(z4)))

TINA- ի կամարի () գործառույթը որոշում է ցանկացած բարդ համարի անկյունը ՝ ավտոմատ կերպով այն ճիշտ տեղադրելով չորս քառանկյուններից մեկում:

Ուշադիր եղեք, սակայն օգտագործելով tan- ը^-1 անկյունը գտնելու գործառույթ, քանի որ այն սահմանափակվում է միայն առաջին և չորրորդ քառորդներում (–90 °φ<90 °)

Հետո z₁գտնվում է կոորդինատային համակարգի առաջին քառադանում, հաշվարկը հետեւյալն է.

α₁ = tan^-1(48 / 12) = տան^-1(4) = 75.96 °

Հետո z₄գտնվում է կոորդինատների համակարգի երրորդ կադաստրում, tan^-1չի վերադարձնում անկյունը ճիշտ: Անկյունի հաշվարկը հետեւյալն է.

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° կամ -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, ինչը նույնն է, ինչ հաշվարկված է TINA- ի կողմից:

z₂գտնվում է կոորդինատային համակարգի չորրորդ կադաստրում: Անկյունի հաշվարկը հետեւյալն է.

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = տան^-1(-4) = -75.96 °

z_3,սակայն, գտնվում է համակարգային համակարգի 2nd քառակուսի մեջ, այսինքն, tan^-1անկյունը ճիշտ չի վերադարձնում: Անկյունի հաշվարկը հետեւյալն է.

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Օրինակ 4 Մենք ունենք երկու բարդ թվեր. z₁= 4 - j 6 եւ z₂ = 5 էլ^j⁴⁵ ^° .

Գտնել z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Նախ, մենք լուծում ենք խնդիրը, օգտագործելով TINA- ի թարգմանիչը

{TINA- ի թարգմանչի լուծում}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (ժ * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * ժ]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * ժ]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * ժ]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * ժ]

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես TINA- ն հեշտորեն գործադրում է տարբեր ձեւերով տրված երկու բարդ թվերը:

Լուծումը ավելի բարդ է առանց թարգմանչի: Որպեսզի մենք կարողանանք համեմատել բազմապատկման և բաժանման տարբեր մեթոդներ, նախ որոշելու ենք բևեռային ձևը z₁ եւ ուղղանկյուն ձեւը z₂.

Հաջորդը, մենք գտնում ենք չորս լուծումները `առաջին հերթին օգտագործելով ամենահեշտ ձևերը` ուղղանկյուն հավելման և հանման համար, և բազմացման և բաժանման էքսպոնենտալ: