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XNUMXD덴탈의 푸리에 정리 다양한 주파수의 적절한 가중 사인 및 코사인 항을 추가하여 모든주기 파형을 합성 할 수 있음을 나타냅니다. 정리는 다른 교과서에서 잘 다루므로 결과를 요약하고 몇 가지 예를 보여줍니다.
주기 함수를 f (t) = f (t ±nT) 여기서 T는 한주기의 시간이고 n은 정수입니다.
w0= 2p/ T 기본 각 주파수.
으로 푸리에 정리, 주기 함수는 다음 합계로 쓸 수 있습니다.
어디에 
An 및 Bn 있는 푸리에 계수 그 합은 푸리에 급수.
또 다른 형태는 아마도 좀 더 실용적입니다.
어디에
A0 = C0 DC 또는 평균값, A1, B1 및 C1 기본 구성 요소이고 다른 구성 요소는 고조파 용어입니다.
일부 파형을 근사화하는 데 몇 개의 용어 만 필요하지만 다른 용어에는 많은 용어가 필요합니다.
일반적으로 항이 많을수록 근사치가 좋아 지지만 직사각형 임펄스와 같은 단계를 포함하는 파형의 경우 깁스 현상 놀이에 온다. 용어 수가 증가함에 따라 오버 슈트는 훨씬 더 짧은 시간에 집중됩니다.
An 심지어 함수 f (t) = f (-t) (축 대칭)에는 코사인 항만 필요합니다.
An 홀수 함수 f (t) = – f (-t) (점 대칭)에는 사인 항만 필요합니다.
파형과 함께 거울 또는 반파 대칭 ~ 만있다. 이상한 푸리에 표현의 고조파.
여기서는 푸리에 시리즈 확장을 다루지 않고 주어진 사인과 코사인을 회로의 여기로만 사용할 것입니다.
이 책의 앞 장에서 우리는 사인파 여기를 다루었습니다. 회로가 선형이면 중첩 정리 유효합니다. 비 정현파 주기적 여기가있는 네트워크의 경우 중첩을 통해 각 푸리에 정현파 항으로 인한 전류와 전압을 한 번에 하나씩 계산합니다. 모든 것이 계산되면 마지막으로 응답의 고조파 성분을 요약합니다.
주기적 전압 및 전류의 다른 항을 결정하는 것은 약간 복잡하며 실제로 정보 과부하가 발생할 수 있습니다. 실제로, 우리는 단순히 측정하기를 원합니다. 우리는 a를 사용하여 다른 고조파 항을 측정 할 수 있습니다 고조파 분석기, 스펙트럼 분석기, 파동 분석기 또는 푸리에 분석기. 이 모든 것들은 복잡하고 아마도 필요한 것보다 많은 데이터를 산출 할 수 있습니다. 때로는 평균값으로 만 주기적 신호를 설명하는 것으로 충분합니다. 그러나 몇 가지 종류의 평균 측정이 있습니다.
평균 Values
단순 평균 or DC 푸리에 표현에서 A라는 용어0
이 평균은 Deprez와 같은 도구로 측정 할 수 있습니다 DC 기기.
유효 가치 or RMS (제곱 평균 제곱)은 다음과 같은 정의를 갖습니다.
이것은 저항에서 소산되는 열이 유효 값에 비례하기 때문에 가장 중요한 평균값입니다. 많은 디지털 및 일부 아날로그 전압계는 전압 및 전류의 유효 값을 측정 할 수 있습니다.
절대 평균
이 평균은 더 이상 중요하지 않습니다. 초기 계측기는 이러한 형태의 평균을 측정했습니다.
전압 또는 전류 파형의 푸리에 표현을 알고 있으면 다음과 같이 평균값을 계산할 수도 있습니다.
단순 평균 or DC 푸리에 표현에서 A라는 용어0 = C0
유효 가치 or RMS (근 평균 제곱)은 푸리에 계열의 전압을 적분 한 후입니다.
XNUMXD덴탈의 클리어 요인 평균값의 매우 중요한 비율입니다.
고조파 항의 유효 값의 비율입니다 기본 고조파의 유효 값으로 :
여기에 모순이있는 것 같습니다. 고조파 성분으로 네트워크를 해결하지만 평균 수량을 측정합니다.
간단한 예를 들어 설명해 보겠습니다.
예제 1
전압 v의 시간 함수와 유효 (rms) 값을 찾습니다.C(티)
R = 5 옴이면 C = 10 mF 및 v (t) = (100 + 200cos (w0t) + 30 cos (3 w0t – 90 °)) V, 여기서 기본 각 주파수는 w0= 30 krad / s.
중첩 정리를 사용하여 문제를 해결해보십시오.
첫 번째 단계는 전달 함수를 주파수의 함수로 찾는 것입니다. 간단하게하기 위해 치환을 사용하십시오 : s = j w
이제 구성 요소 값을 대체하고 s = jk w0여기서 k = 0; 1; 이 예제에서 3 w0= 30 krad / s. V, A, 옴, mF 및 Mrad / s 단위 :
수치 솔루션의 단계를 구성하기 위해 테이블을 사용하는 것이 도움이됩니다.
k | W (jk) = |
0 |
|
1 |
|
3 |
|
중첩 솔루션의 단계를 다른 표에 요약 할 수 있습니다. 이미 살펴본 바와 같이 구성 요소의 복소 피크 값을 찾으려면 여기 성분의 복소 피크 값에 복소 전달 함수 값을 곱해야합니다.:
k | V | W | VCk |
0 | 100 | 1 | 100 |
1 | 200 | 0.55e-j56.3° | 110e-j56.3° |
3 | 30e-j90° | 0.217e-j77.5° | 6.51e-j167.5° |
마지막으로 컴포넌트의 복잡한 피크 값을 알고있는 시간 함수를 제공 할 수 있습니다.
vC(t) = 100 + 110 cos (w0t - 56.3°) + 6.51 cos (3w0t - 167.5°) V
전압의 rms (실효) 값은 다음과 같습니다.
보시다시피 TINA의 측정기는이 rms 값을 측정합니다.
예제 2
현재 i (t)의 시간 함수와 유효 (rms) 값을 찾습니다
R = 5 옴이면 C = 10 mF 및 v (t) = (100 + 200cos (w0t) + 30 cos (3w0t – 90 °)) V 여기서 기본 각 주파수는 w0= 30 krad / s.
중첩 정리를 사용하여 문제를 해결하십시오.
 |
솔루션의 단계는 예 1과 유사하지만 전송 기능이 다릅니다.
이제 숫자 값으로 대체하고 s = jk w0,여기서 k = 0; 1; 이 예에서는 3입니다.
V, A, 옴, mF 및 Mrad / s 단위 :
수치 해법 중에 표를 사용하는 것이 유용합니다.
k | W (jk) = |
0 | |
1 | |
3 | |
다른 테이블에서 중첩 단계를 요약 할 수 있습니다. 이미 살펴본 것처럼 구성 요소의 최대 값을 찾으려면 여기 요소의 해당 구성 요소의 복합 피크 값에 복합 전달 함수의 값을 곱해야합니다. 여기 요소의 복합 피크 값을 사용하십시오.
k | VSk | W(jk) | Ik |
0 | 100 | 0 | 0 |
1 | 200 | 0.162 및j33.7° | 32.4 및j33.7° |
3 | 30 및-j90° | 0.195 및j12.5° | 5.85 및-j77.5° |
마지막으로 구성 요소의 복잡한 피크 값을 알면 시간 함수를 지정할 수 있습니다.
i (t) = 32.4 cosw0t + 33.7°) + 5.85 cos (3w0t - 77.5°) [에이]
T그는 현재의 가치를 RMS :
솔루션의 일부에 대한 상태 점검을 수행 할 수 있습니다. 예를 들어, 커패시터는 DC 전압은 가질 수 있지만 DC 전류는 가질 수 없습니다.
예제 3
전압 V의 시간 함수 구하기ab if R1= 12 옴, R2 = 14 옴, L = 25 mH 및
C = 200 mF. 발전기 전압은 v (t) = (50 + 80 cos (w0t) + 30 cos (2 w0t + 60 °)) V, 여기서 기본 주파수는 f0 = 50Hz.
첫 번째 단계는 전달 함수를 찾는 것입니다.
V, A, ohm, mH, mF, kHz 단위의 숫자 값으로 대체 :
두 테이블 병합 :
| 케이 V Sk |  | V ABK |
|---|---|---|
| 0 50 |  | 50 |
| 1 80 |  | 79.3 및-j66.3 |
| 2 30j60 |  | 29.7 및-j44.7 |
마지막으로 시간 함수 :
vab(t) = 50 + 79.3 cos (w1t - 66.3°) + 29.7 cos (2w1t - 44.7°) [V]
그리고 rms 값 :
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