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　 푸리에 정리 다양한 주파수의 적절한 가중치 사인 및 코사인 항을 추가하여 모든 주기적인 파형을 합성할 수 있다고 명시합니다. 해당 정리는 다른 교과서에도 잘 나와 있으므로 결과만 요약하고 몇 가지 예만 보여드리겠습니다.

주기 함수를 f(t) = f(t)로 설정합니다. ±nT) 여기서 T는 한 주기의 시간이고 n은 정수입니다.

w₀= 2p/ T 기본 각주파수.

으로 푸리에 정리, 주기 함수는 다음과 같은 합으로 쓸 수 있습니다.

어디에

A_n 및 B_n 는 푸리에 계수 그 합은 푸리에 급수.

아마도 좀 더 실용적인 또 다른 형태는 다음과 같습니다.

어디에

A₀ = C₀ DC 또는 평균값, A₁, B₁ 및 C₁ 는 기본 구성 요소이고 나머지는 고조파 용어입니다.

일부 파형을 근사화하는 데는 몇 가지 항만 필요할 수 있지만 다른 파형에는 많은 항이 필요할 수 있습니다.

일반적으로 포함된 항이 많을수록 근사치가 더 좋아지지만 직사각형 임펄스와 같은 단계가 포함된 파형의 경우 깁스 현상 작용합니다. 항의 수가 증가함에 따라 오버슈트는 더 짧은 시간 내에 집중됩니다.

An 심지어 함수 f(t) = f(-t)(축 대칭)에는 코사인 항만 필요합니다.

An 홀수 함수 f(t) = – f(-t) (점 대칭)에는 사인 항만 필요합니다.

파형과 함께 거울 또는 반파 대칭 ~ 만있다. 이상한 푸리에 표현의 고조파.

여기서는 푸리에 급수 확장을 다루지 않고 주어진 사인과 코사인의 합을 회로의 여기로 사용합니다.

이 책의 이전 장에서 우리는 정현파 여기를 다루었습니다. 회로가 선형이라면, 중첩 정리 유효합니다. 비정현파 주기적 여기가 있는 네트워크의 경우 중첩을 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 각 푸리에 정현파 항으로 인한 전류와 전압을 한 번에 하나씩 계산합니다. 모두 계산되면 최종적으로 응답의 고조파 구성 요소를 요약합니다.

주기적인 전압과 전류의 다양한 조건을 결정하는 것은 다소 복잡하며 실제로 정보의 과부하가 발생할 수 있습니다. 실제로는 간단히 측정만 하고 싶습니다. 우리는 다음을 사용하여 다양한 고조파 항을 측정할 수 있습니다. 고조파 분석기, 스펙트럼 분석기, 파동 분석기 또는 푸리에 분석기. 이 모든 것들은 복잡하고 아마도 필요한 것보다 더 많은 데이터를 생성할 수 있습니다. 때로는 평균값만으로 주기적인 신호를 설명하는 것만으로도 충분합니다. 그러나 평균 측정에는 여러 종류가 있습니다.

평균 Values

단순 평균 or DC 용어는 푸리에 표현에서 A로 표시되었습니다.₀

이 평균은 Deprez와 같은 장비로 측정할 수 있습니다. DC 장비.

유효 가치 or RMS (제곱평균제곱근)은 다음과 같이 정의됩니다.

저항기에서 발산되는 열은 실효값에 비례하기 때문에 이는 가장 중요한 평균값입니다. 많은 디지털 및 일부 아날로그 전압계는 전압 및 전류의 유효 값을 측정할 수 있습니다.

절대 평균

이 평균은 더 이상 중요하지 않습니다. 이전 장비는 이러한 형태의 평균을 측정했습니다.

전압 또는 전류 파형의 푸리에 표현을 알고 있으면 다음과 같이 평균값을 계산할 수도 있습니다.

단순 평균 or DC 용어는 푸리에 표현에서 A로 표시되었습니다.₀ = C₀

유효 가치 or RMS (제곱 평균 제곱근)은 전압의 푸리에 계열을 통합한 후입니다.

　 클리어 요인 평균값의 매우 중요한 비율은 다음과 같습니다.

더 높은 고조파 항의 유효 값의 비율입니다. 기본 고조파의 유효 값:

여기에는 모순이 있는 것 같습니다. 우리는 고조파 성분 측면에서 네트워크를 해결하지만 평균 수량을 측정합니다.

간단한 예를 들어 설명해 보겠습니다.

실시예 1

시간 함수와 전압 v의 유효(rms) 값을 구합니다._C(티)

R = 5 옴이면 C = 10 mF 및 v (t) = (100 + 200cos (w₀t) + 30 cos (3 w₀t – 90 °)) V, 여기서 기본 각 주파수는 w₀= 30 krad / s.

중첩 정리를 사용해 문제를 해결해 보세요.

첫 번째 단계는 주파수의 함수로서 전달 함수를 찾는 것입니다. 단순화를 위해 대체를 사용합니다: s = j w

이제 구성 요소 값을 대체하고 s = jk w₀여기서 k = 0; 1; 이 예제에서 3 w₀= 30크라드/초. V, A, 옴, mF 및 Mrad / s 단위 :

수치 해법의 단계를 정리하기 위해 표를 사용하는 것이 도움이 됩니다.

중첩 솔루션의 단계를 다른 표에 요약할 수 있습니다. 이미 살펴본 바와 같이, 성분의 복소 피크 값을 찾으려면 여기 성분의 복소 피크 값에 복소 전달 함수의 값을 곱해야 합니다.:

마지막으로 구성 요소의 복잡한 피크 값을 아는 시간 함수를 제공할 수 있습니다.

v_C(t) = 100 + 110 cos(w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

전압의 rms(유효) 값은 다음과 같습니다.

보시다시피 TINA의 측정기는 이 rms 값을 측정합니다.

예제 2

현재 i(t)의 시간 함수와 유효(rms) 값을 구합니다.

R = 5 옴이면 C = 10 mF 및 v (t) = (100 + 200cos (w₀t) + 30 cos (3w₀t – 90 °)) V 여기서 기본 각 주파수는 w₀= 30 krad / s.

중첩 정리를 사용하여 문제를 해결해 보세요.

솔루션의 단계는 예제 1과 유사하지만 전달 함수가 다릅니다.

이제 숫자 값을 대체하고 s = jk w_0,여기서 k = 0; 1; 이 예에서는 3입니다.

V, A, 옴, mF 및 Mrad / s 단위 :

수치해석 중에 표를 사용하는 것이 도움이 됩니다.

중첩의 단계를 다른 표에 요약할 수 있습니다. 이미 살펴보았듯이 성분의 피크 값을 찾으려면 여기 성분의 복소 피크 값에 복소 전달 함수의 값을 곱해야 합니다. 여기 구성요소의 복소 피크 값을 사용합니다.

마지막으로 구성 요소의 복잡한 피크 값을 알면 시간 함수를 기술할 수 있습니다.

i (t) = 32.4 cosw₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [에이]

T그는 전류의 실효값:

솔루션의 일부에 대해 온전성 검사를 수행할 수 있는 경우가 많습니다. 예를 들어, 커패시터는 DC 전압을 가질 수 있지만 DC 전류는 가질 수 없습니다.

예제 3

전압 V의 시간 함수를 구합니다._ab if R₁= 12 옴, R₂ = 14Ω, L = 25mH,

C = 200 mF. 발전기 전압은 v(t)=(50 + 80 cos(w₀t) + 30 cos (2 w₀t + 60 °)) V, 여기서 기본 주파수는 f₀ = 50Hz.

첫 번째 단계는 전달 함수를 찾는 것입니다.

V, A, ohm, mH, mF, kHz 단위의 숫자 값 대체:

두 테이블 병합 :

케이 V Sk		V ABK
0 50		50
1 80		79.3 및-j66.3
2 30j60		29.7 및-j44.7

마지막으로 시간 함수는 다음과 같습니다.

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

rms 값은 다음과 같습니다.

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