КОМПЛЕКСНІ НОМЕРИ

Натисніть або торкніться прикладної схеми нижче, щоб викликати TINACloud і вибрати режим інтерактивного постійного струму для аналізу в Інтернеті.
Отримайте низький доступ до TINACloud для редагування прикладів або створення власних схем

МЕТОДИ І ТОЧНІ МЕТОДИ МЕТА

ПРИНЦИПИ АЛЬТЕРНАТУЮЧОГО ПОТОКУ

У цій та наступних розділах ми представимо дуже важливу тему: AC або змінного струму. Назва змінного струму не дуже точна і зазвичай охоплює схеми з синусоїдальними напругами і струмами; однак змінного струму може також означати будь-яка довільна форма струму. Важливість змінної напруги полягає в тому, що цей тип напруги використовується для основного джерела електричної енергії в будинках і промисловості по всьому світу. Він також є основою для багатьох електронних, телекомунікаційних та промислових застосувань.

Для обробки синусоїдальних форм хвиль і пов'язаних з ними схем ми будемо використовувати простий і елегантний метод, який називається методом фазорів. Фазори засновані на властивостях комплексних чисел, які ідеально підходять для представлення синусоїдальних величин. У цьому розділі ми підсумуємо основні факти про складні числа та їхні операції. Ми також покажемо, як інтерпретатор TINA дозволяє легко робити розрахунки з комплексними числами.

Комплексні числа складаються з двох частин: a реальна частина (x), що є дійсним числом, і так званим уявна частина (y), що є дійсним числом, помноженим на , уявна одиниця. Комплексне число zотже, можна описати як:

z = x + jy

де .

Приклади складних номерів:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Складні числа спочатку були введені у XVII столітті для відображення коренів многочленів, які не могли бути представлені лише реальними числами. Наприклад, коріння рівняння х²+ 2x + 2 = 0 можна описати лише як та або за допомогою позначення , z₁= 1 + j та z₂= 1- j. Використовуючи нове позначення для дослідження властивостей виразів, математики змогли довести теореми та вирішити задачі, які до цього було важко, якщо не неможливо вирішити. Це призвело до розробки складної алгебри та складних функцій, які зараз широко використовуються в математиці та техніці.

Геометричне представлення комплексних чисел

Прямокутна форма

Оскільки складне число завжди можна розділити на його реальну та складну частини, ми можемо представляти складне число у вигляді точки на двовимірній площині. Реальна частина комплексного числа - це проекція точки на реальну вісь, а уявна частина числа - проекція на уявну вісь. Коли складне число представлено як суму реальної та уявної частин, ми говоримо, що воно є прямокутний or алгебраїчна форма.

Наступний малюнок показує комплексне число z = 2 + 4j

Полярна і експоненціальна форма

Як видно з малюнка вище, точка А також може бути представлена довжиною стрілки, r (також називається абсолютним значенням, величиною або амплітудою) та його кутом (або фазою), φ відносно проти годинникової стрілки до позитивної горизонтальної осі. Це полярний форма комплексного числа. Він позначається як r ∠ φ.

Наступний крок є дуже важливим. Комплексне число в полярній формі також можна записати експонентний форма:

Цей простий вираз відрізняється тим, що він має уявне число в експоненті замість звичайного дійсного числа. Цей складний показник поводиться дуже інакше від експоненціальної функції з реальним аргументом. У той час як e^x швидко зростає за величиною для збільшення x> 0 і зменшується для x <0, функція має однакову величину (z = 1) для будь-якого φ. Крім того, його складні значення лежать на одиничному колі.

Формула Ейлера забезпечує уніфікуючу зв'язок між прямокутними, полярними і експоненціальними формами комплексних чисел:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j гріх φ )

де

та φ = загар^-1(y / x).

Для нашого прикладу вище, z = 2 + 4j:

φ = загар^-1(4 / 2) = 63.4 °

отже .

Або навпаки:

Вам потрібно буде вміло використовувати обидві форми, залежно від програми. Наприклад, додавання або віднімання, очевидно, простіше зробити, коли числа мають прямокутну форму, тоді як множення і ділення легше зробити, коли числа знаходяться в експоненціальній формі.

Операції з комплексними числами

Операції, які можна виконати зі складними числами, аналогічні операціям для дійсних чисел. Правила та деякі нові визначення наведені нижче.

Операції з j

Операції з j просто випливати з визначення уявної одиниці,

Щоб мати можливість працювати швидко і точно, ви повинні запам'ятати ці правила:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Доказ:

j² = -1 просто випливає з визначення , з

Для 1 /j, ми помножимо 1 /jby j / j = 1 і отримати j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Комплексний кон'югат

Комплексний кон'югат комплексного числа легко виводиться і є досить важливим. Щоб отримати складне спряження складного числа в прямокутній формі, просто змініть знак уявної частини. Щоб зробити це для числа в експоненційній формі, змініть знак кута комплексного числа, зберігаючи при цьому його абсолютне значення.

Комплексний кон'югат комплексного числа z часто позначається z^*.

Дано комплексне число z= a + jb, його комплексний кон'югат z^*= a– jb.

If z дається в експоненціальній формі, , його комплексний кон'югат

Використовуючи вищевикладені визначення, неважко бачити, що комплексне число, помножене на його складне спряжене, дає квадрат абсолютного значення комплексного числа:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Також, шляхом додавання або віднімання будь-якого комплексного числа і його сполученого, отримуємо наступні співвідношення:

z + z ^* = 2a

отже

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Аналогічно:

z - z ^* =j2b

отже

Im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Доказ:

або множення реальної і уявної частин і використання j²= -1

zz^* = (a + jб) (a - jb) = a²+a jб - а jб - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Числові приклади:

У прямокутній формі:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

У полярній формі

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

У експоненціальній формі:

Додавання і віднімання

Додавання і віднімання складних чисел просте - нам потрібно лише додати реальні та уявні частини окремо. Наприклад, якщо

z₁ = 3 - 4j та z₂= 2 + 3j

потім

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Очевидно, що для цих операцій нам слід використовувати прямокутну форму. Якщо числа задані в експоненціальній або полярній формі, ми повинні перетворити їх спочатку в прямокутну форму, використовуючи формулу Ейлера, як було зазначено раніше.

Множення

Існує два методи множення комплексних чисел -

Множення складних чисел дано в прямокутній формі

Щоб здійснити операцію, просто помножте реальну та уявну частини одного числа по черзі на реальну та уявну частини іншого числа та використовуйте тотожність j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - б₁b₂ = a₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Коли комплексні числа наводяться чисельно, не потрібно використовувати формулу вище. Наприклад, нехай

z₁ = 3 - 4j та z₂= 2 + 3j

При прямому множенні компонентів:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

або за допомогою формули: z₁z₂ = a₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Ми вважаємо, що ви, скоріше за все, зробите помилку, якщо ви використовуєте формулу, ніж якщо безпосередньо помножити компоненти.

{Рішення перекладача TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Рішення від Python:
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Множення складних чисел задається в полярній або експоненціальній формі

Щоб виконати цю операцію, помножте абсолютні значення і додайте кути двох комплексних чисел. Дозволяє:

Потім за допомогою правила множення експоненційних функцій:

або в полярній формі

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Примітка: Ми вже використовували це правило, коли розраховували zz ^*вище. Оскільки кут сполучника має протилежний знак початкового кута, складне число, помножене на власний сполучник, завжди є дійсним числом; а саме квадрат його абсолютної величини: zz ^*= r²

Наприклад, нехай:

z₁ = 5 ∠ 30 ° і z₂ = 4 ∠ -60 °

потім

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

або в експоненціальній формі

Множення, очевидно, простіше, коли числа знаходяться в полярній або експоненціальній формі.

Однак, якщо складні числа задані у прямокутній формі, слід розглянути можливість виконання множення безпосередньо, як показано вище, оскільки є додаткові кроки, якщо ви перетворите числа на полярну форму, перш ніж помножувати їх. Ще один фактор, який слід враховувати, чи потрібно, щоб відповіді були у прямокутній формі або в полярній / експоненціальній формі. Наприклад, якщо ці два числа мають прямокутну форму, але ви хочете, щоб їх добуток був у полярній формі, має сенс їх перетворити відразу, а потім помножити.

Роздільна

Існує два методи ділення комплексних чисел–

Поділ комплексних чисел дається в прямокутній формі

Для проведення операції помножте чисельник та знаменник на сполучник знаменника. Знаменник стає реальним числом, а ділення зводиться до множення двох складних чисел і ділення на реальне число, квадрат абсолютного значення знаменника.

Наприклад:

z₁ = 3 - 4j та z₂= 2 + 3j

Давайте перевіримо цей результат з Інтерпретатором TINA:

{Рішення перекладача TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Рішення від Python:
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Поділ комплексних чисел дається в полярній або експоненціальній формі

Щоб виконати операцію, поділіть абсолютні значення (величини) і відняти кут знаменника від кута чисельника. Дозволяє:

потім використовують правило розподілу експоненційних функцій

або в полярній формі

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Наприклад, нехай:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° і z ₂ = 2 ∠ -60 °

потім

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

або в експоненціальних і прямокутних формах

Давайте перевіримо цей результат з Інтерпретатором TINA:

{Рішення перекладача TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Рішення від Python:
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radians(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Ділення, очевидно, простіше, коли числа знаходяться в полярній або експоненціальній формі.

Однак якщо складні числа задані у прямокутній формі, слід розглянути можливість виконання ділення безпосередньо, використовуючи складний метод спряженого, як показано вище, оскільки є додаткові кроки, якщо ви перетворюєте числа в полярну форму, перш ніж ділити їх. Ще один фактор, який слід враховувати, чи потрібно, щоб відповіді були у прямокутній формі або в полярній / експоненціальній формі. Наприклад, якщо два числа мають прямокутну форму, але ви хочете, щоб їх коефіцієнт був у полярній формі, має сенс негайно їх перетворити, а потім розділити.

Тепер проілюструємо використання складних чисел більш чисельними проблемами. Як завжди, ми перевіримо наші рішення за допомогою інтерпретатора TINA. Інтерпретатор працює з радіанами, але він має стандартні функції для перетворення радіанів в градуси або навпаки.

Приклад 1 Знайти полярне зображення:

z = 12 - j 48

або 49.48 ∠ - 75.96 °

{Рішення перекладача TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Рішення від Python:
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c

z=12-комплекс (48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“degrees(arc(z))=”,m.degrees(c.phase(z)))

Приклад 2 Знайти прямокутне зображення:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Рішення перекладача TINA}
z: = 25 * exp (j * (дегональ (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Рішення від Python:
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c

z=25*c.exp(complex(0,m.radians(125)))
print(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Приклад 3 Знайти полярне представлення таких комплексних чисел:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Абсолютні значення всіх чотирьох чисел однакові, оскільки абсолютне значення не залежить від знаків. Тільки кути різні.

{Рішення перекладача TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Рішення від Python:
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c

z1=complex('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“degrees(arc(z1))=”,m.degrees(c.phase(z1)))

z2=complex('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“degrees(arc(z2))=”,m.degrees(c.phase(z2)))

z3=complex('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“degrees(arc(z3))=”,m.degrees(c.phase(z3)))

z4=complex('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“degrees(arc(z4))=”,m.degrees(c.phase(z4)))

Функція дуги () TINA визначає кут будь-якого складного числа, автоматично розміщуючи його правильно в одному з чотирьох квадрантів.

Проте будьте обережні, використовуючи загар^-1 функція для знаходження кута, оскільки вона обмежена повертаючими кутами лише в першому та четвертому квадрантах (–90 °φ<90 °).

З z₁розташований у першому квадранті системи координат, розрахунок:

α₁ = загар^-1(48 / 12) = загар^-1(4) = 75.96 °

З z₄розташований в третьому квадранті системи координат, tan^-1не повертає правильний кут. Розрахунок кута:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° або -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, що є тим самим, що розрахували за TINA.

z₂розташований у четвертому квадранті системи координат Розрахунок кута:

α₂ = загар^-1(-48 / 12) = загар^-1(-4) = -75.96 °

z_3,однак знаходиться в квадранті 2nd системи координат, тому загар^-1не повертає правильний кут. Розрахунок кута:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Приклад 4 У нас є два складних числа: z₁= 4 - j 6 і z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

знайти z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Спочатку ми вирішимо проблему за допомогою інтерпретатора TINA

{Рішення перекладача TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Зверніть увагу на те, як TINA без зусиль обробляє два складних числа, що подаються в різних формах.

Рішення складніше без перекладача. Щоб ми могли порівняти різні методи множення і ділення, спочатку визначимо полярну форму z₁ і прямокутної форми z₂.

Далі ми знаходимо чотири рішення спочатку, використовуючи найпростіші форми: прямокутні для додавання та віднімання та експоненціальні для множення та ділення: