ПРИНЦИПИ АЛЬТЕРНАТУЮЧОГО ПОТОКУ

Натисніть або торкніться прикладної схеми нижче, щоб викликати TINACloud і вибрати режим інтерактивного постійного струму для аналізу в Інтернеті.
Отримайте низький доступ до TINACloud для редагування прикладів або створення власних схем

КОМПЛЕКСНІ НОМЕРИ

ПАСИВНІ КОМПОНЕНТИ В КОНТУРАХ AC

Синусоїдальна напруга може бути описана рівнянням:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) або v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

де	v (t)	Миттєве значення напруги, в вольтах (V).
	V_M	Максимальне або пікове значення напруги, в вольтах (V)
	T	Період: Час, витрачений на один цикл, в секундах
	f	Частота - кількість періодів у секундах 1, в Гц (Герц) або 1 / s. f = 1 / T
	ω	Кутова частота, виражена в радіанах / с ω = 2 * π * f або ω = 2 * π / T.
	Φ	Початкова фаза наведена в радіанах або градусах. Ця величина визначає значення синусоїдальної або косинусної хвилі att = 0.
		Примітка: Амплітуда синусоїдальної напруги іноді виражається як V_Eff, ефективне або середньоквадратичне значення. Це пов'язано з V_M відповідно до відносини V_M= UM2V_Eff,або приблизно V_Eff= 0.707 V_M

Ось кілька прикладів, щоб проілюструвати вищевказані терміни.

Властивості напруги змінного струму 220 V в побутових електричних розетках Європи:

Ефективне значення: V_Eff= 220 V
Пікове значення: V_M= √2 * 220 В = 311 В

Частота: f = 50 1 / s = 50 Гц
Кутова частота: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 рад / с
Період: T = 1 / f = 20 мс
Функція часу: v (t) = 311 sin (314 t)

Давайте розглянемо функцію часу за допомогою команди TINA Analysis / AC Analysis / Time Function.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Ви можете перевірити, що період T = 20m і що V_M= 311 V.

Властивості напруги змінного струму 120 V в побутовій електричній розетці в США:

Ефективне значення: V_Eff= 120 V
Пікове значення: V_M= UM2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Частота: f = 60 1 / s = 60 Гц
Кутова частота: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Період: T = 1 / f = 16.7 мс
Функція часу: v (t) = 170 sin (377 t)

Зауважимо, що в цьому випадку функція часу може бути задана або як v (t) = 311 sin (314 t + Φ) або v (t) = 311 cos (314 t + Φ), оскільки у випадку напруги на виході ми не знаю початкового етапу.

Початкова фаза відіграє важливу роль, коли кілька напруг присутні одночасно. Хорошим практичним прикладом є трифазна система, де присутні три напруги одного пікового значення, форми і частоти, кожен з яких має фазовий зсув 120 ° щодо інших. У мережі 60 Hz функції часу:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 гріх (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Наступний малюнок з TINA показує схему з цими функціями часу як генератори напруги TINA.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Різниця напруг v_AB= v_A(t) - v_B(t) показана як вирішена командою TINA's Analysis / AC Analysis / Time Function.

Зауважимо, що пік v_AB (t) приблизно 294 V, більший, ніж пік 170 V в v_A(t) або v_B(t) напруги, а й не просто сума їх пікових напруг. Це пов'язано з різницею фаз. Ми обговоримо, як розрахувати результуюче напруга (яке є Ö3 * 170 @ 294 в даному випадку) пізніше в цьому розділі, а також в окремому Трифазні системи глави.

Характерні значення синусоїдальних сигналів

Хоча сигнал змінного струму постійно змінюється протягом свого періоду, легко визначити кілька характеристичних значень для порівняння однієї хвилі з іншою: це пікові, середні та середньоквадратичні значення (rms).

Ми вже досягли пікового значення V_M , що є просто максимальним значенням функції часу, амплітудою синусоїдальної хвилі.

Іноді використовується значення «від піку до піку». Для синусоїдальних напруг і струмів пік-пік є подвійним піковим значенням.

Команда середнє значення синусоїдальної хвилі - середнє арифметичне значень для позитивного напівперіоду. Його також називають абсолютна середня оскільки воно є таким же, як середнє значення абсолютного значення форми сигналу. На практиці ми стикаємося з цією хвилею випрямляючий синусоїдальної ланцюга з ланцюгом називається повний випрямляч хвилі.

Можна показати, що абсолютне середнє значення синусоїдальної хвилі:

V_AV= 2 / π V_M 0.637 V_M

Зауважимо, що середнє значення всього циклу дорівнює нулю.
ДЧ або ефективне значення синусоїдальної напруги або струму відповідає еквівалентному значенню постійного струму, який виробляє ту ж саму потужність нагріву. Наприклад, напруга з ефективним значенням 120 V виробляє однакову потужність нагрівання і освітлення в лампочці, так само як і 120 V від джерела постійної напруги. Можна показати, що середньоквадратичне або ефективне значення синусоїдальної хвилі:

V_rms = V_M/ UM2 N 0.707 V_M

Ці значення можна обчислити однаково для напруг і струмів.

Значення RMS дуже важливо на практиці. Якщо не вказано інше, напруга змінного струму в електромережі (наприклад, 110V або 220V) наведено в середньоквадратичних значеннях. Більшість лічильників змінного струму відкалібруються в середньоквадратичних показниках і вказують середньоквадратичний рівень.

Приклад 1 Знайдіть пікове значення синусоїдальної напруги в електричній мережі з ефективним значенням 220 V.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Приклад 2 Знайдіть пікове значення синусоїдальної напруги в електричній мережі з ефективним значенням 110 V.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Приклад 3 Знайдіть (абсолютне) середнє значення синусоїдальної напруги, якщо її середньоквадратичне значення 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Приклад 4 Знайдіть абсолютне середнє значення синусоїдальної напруги, якщо її середньоквадратичне значення 110 V.

Пік напруги з прикладу 2 is155.58 V і, отже:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Приклад 5 Знайти співвідношення між абсолютним середнім (V_a) і значення rms (V) для синусоїдальної форми сигналу.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Зауважте, що середні значення в ланцюзі змінного струму не можна додавати, оскільки це призводить до неправильних результатів.

ФАЗОРИ

Як ми вже бачили в попередньому розділі, часто потрібно в ланцюгах змінного струму додавати синусоїдальні напруги і струми однієї і тієї ж частоти. Хоча можна додавати сигнали чисельно з використанням TINA, або використовуючи тригонометричні відносини, зручніше використовувати так звані \ t phasor метод. Фазором є комплексне число, що представляє амплітуду і фазу синусоїдального сигналу. Важливо відзначити, що фазор не представляє частоту, яка повинна бути однаковою для всіх фазорів.

Фазор може оброблятися як комплексне число або представлено графічно у вигляді плоскої стрілки в комплексній площині. Графічне зображення називається фазовою діаграмою. Використовуючи фазові діаграми, ви можете додавати або віднімати фазори в складній площині за допомогою трикутника або паралелограмного правила.

Існує дві форми складних чисел: прямокутний та полярний.

Прямокутне представлення у форматі + jб, де j = Ö-1 - це уявна одиниця.

Полярне представлення у формі Ae^j ^j , де А - абсолютна величина (амплітуда) і f - кут нахилу фазора від позитивної реальної осі, в напрямку проти годинникової стрілки.

Ми будемо використовувати сміливий літери для складних величин.

Тепер подивимося, як вивести відповідний фазор з часової функції.

По-перше, припустимо, що всі напруги в ланцюзі виражаються у вигляді косинусних функцій. (Всі напруги можуть бути перетворені в цю форму.) Тоді phasor що відповідає напрузі v (t) = V_M cos ( w t+f): V_M= V_Me ^jf, який також називають комплексним піковим значенням.

Наприклад, розглянемо напругу: v (t) = 10 cos ( w т + 30°)

Відповідним фазором є: V

Аналогічно можна обчислити функцію часу від фазора. Спочатку запишемо phasor в полярній формі, наприклад V_M= V_Me ^j^rа потім відповідна функція часу

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Наприклад, розглянемо фазор V_M= 10 - j20 V

Приведення його до полярної форми:

А отже, функція часу: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Фазори часто використовуються для визначення комплексного ефективного або ефективного значення напруг і струмів в ланцюгах змінного струму. З урахуванням v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wт + 30°)

Чисельно:

v (t) = 10 * cos (wT-30°)

Складне ефективне значення (rms): V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

І навпаки: якщо комплексне ефективне значення напруги:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

потім комплексне пікове значення:

і функція часу: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Короткий виклад вищезазначених методів полягає в наступному. Дана функція часу
V_M (cos ( w t+r), визначимо складні функції часу як:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (cos (r) + j гріх (r)) e ^j^wt

де V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (cos (r) + j гріх (r)) є лише введеним вище фазором.

Наприклад, комплексна функція часу v (t) = 10 cos (wт + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j sin (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

Вводячи складну функцію часу, ми маємо представлення як з реальною частиною, так і з уявною частиною. Ми завжди можемо відновити початкову реальну функцію часу, взявши реальну частину нашого результату: v (t) = Re {v(t)}

Однак комплексна функція часу має велику перевагу, що, оскільки всі складні функції часу в розглянутій ланцюга змінного струму мають однакові е^j^w^tмультиплікатор, ми можемо виразити це і просто працювати з phasors. Більше того, на практиці ми не використовуємо e^j^w^tчастина взагалі - лише перетворення від функцій часу до фазорів і назад.

Щоб продемонструвати перевагу використання фазорів, давайте розглянемо наступний приклад.

Приклад 6 Знайти суму і різницю напруг:

v₁ = 100 cos (314 * t) та v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Спочатку записують фазори обох напруг:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Звідси:

V_{додавати} = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_нижче = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 е ^{j 28.67}^°

а потім функції часу:

v_{додавати}(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_нижче(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Як показує цей простий приклад, метод phasors.s є надзвичайно потужним інструментом для вирішення проблем змінного струму.

Давайте вирішимо проблему, використовуючи інструменти інтерпретатора ТІНА.

{Рішення перекладача TINA}
{розрахунок v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]

{розрахунок v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]

#Рішення від Python!
#розрахунок v1+v2
імпортувати математику як m
імпортувати cmath як c
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“degrees(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#розрахунок v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“degrees(arc(vsub))=”,m.degrees(c.phase(vsub)))

Результати амплітуди і фази підтверджують ручні розрахунки.

Тепер давайте перевіримо результат за допомогою аналізу AC TINA.

Перш ніж виконати аналіз, давайте переконаємося, що Базова функція для змінного струму ia встановлено на косинус в Параметри редактора у меню Перегляд / Параметри. Пояснимо роль цього параметра в Приклад 8.

Схеми і результати:

Знову ж таки результат такий самий. Ось графіки функції часу:

Приклад 7 Знайти суму і різницю напруг:

v₁ = 100 sin (314 * t) і v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Цей приклад викликає нове питання. До цих пір ми вимагали, щоб всі функції часу були задані як косинусні функції. Що робити з функцією часу, даною як синус? Рішення полягає в тому, щоб перетворити функцію синуса на косинусную функцію. Використовуючи тригонометричне відношення sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), наш приклад можна перефразувати так:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) та v₂ = 50 cos (314 * т - 45°)

Тепер фазорами напруг є:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Звідси:

V _{додавати} = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _нижче = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

а потім функції часу:

v_{додавати}(t) = 139.8966 cos (wT-75.36°)

v_нижче(t) = 73.68 cos (wT-118.68°)

Давайте вирішимо проблему, використовуючи інструменти інтерпретатора ТІНА.

{Рішення перекладача TINA}
{розрахунок v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]

{розрахунок v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]

Давайте перевіримо результат за допомогою аналізу AC TINA

Приклад 8

Знайти суму і різницю напруг:

v₁ = 100 sin (314 * t) та v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Цей приклад викликає ще одну проблему. Що робити, якщо всі напруги подаються як синусоїди, і ми також хочемо бачити результат як синусоїда? Звичайно, ми могли б перетворити обидві напруги на косинусні функції, обчислити відповідь, а потім перетворити результат назад на синусоїду - але це не потрібно. Ми можемо створити фазори з синусоїд так само, як це зробили з косинусних хвиль, а потім просто використовувати їх амплітуду та фази як амплітуду та фазу синусоїд в результаті.

Це, очевидно, дасть той самий результат, як і перетворення синусоїди на косинусні хвилі. Як ми могли бачити в попередньому прикладі, це еквівалентно множенням на -j а потім використовуючи cos (x) = sin (x-90°) відношення до перетворення його на синусоїду. Це еквівалентно множення на j. Іншими словами, оскільки -j × j = 1, ми могли б використовувати фазори, отримані безпосередньо з амплітуд і фаз синусоїдних хвиль для представлення функції, а потім повертатися до них безпосередньо. Також, міркуючи таким же чином про складні функції часу, ми могли б розглядати синусоїди як уявні частини складних функцій часу і доповнювати їх функцією косинуса для створення повної комплексної функції часу.

Побачимо рішення цього прикладу з використанням функцій синуса як основи фазорів (перетворення гріха ( w t) до реального одиничного фазора (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Звідси:

V _{додавати} = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _нижче = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Зауважте, що фактори точно такі ж, як у прикладі 6, але не тимчасові функції:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Як бачите, отримати результат за допомогою синусоїдних функцій дуже просто, особливо коли наші початкові дані - це синусоїди. Багато підручників вважають за краще використовувати синусоїду як базову функцію фазорів. На практиці ви можете використовувати будь-який метод, але не плутайте їх.

Коли ви створюєте фазори, дуже важливо, що всі функції часу спочатку перетворюються на синус або косинус. Якщо ви починали з синусоїдних функцій, ваші рішення повинні бути представлені синусоїдними функціями при поверненні з phasors до функцій часу. Те ж саме вірно, якщо ви починаєте з косинусних функцій.

Давайте вирішимо цю ж проблему за допомогою інтерактивного режиму ТІНА. Оскільки ми хочемо використовувати синусні функції як основу для створення фазорів, переконайтеся, що Базова функція для змінного струму встановлений в синус в Параметри редактора діалогове вікно з меню Перегляд / Параметри.