ЗАКОНОДАВСТВА КІРЧОФА

Натисніть або торкніться прикладної схеми нижче, щоб викликати TINACloud і вибрати режим інтерактивного постійного струму для аналізу в Інтернеті.
Отримайте низький доступ до TINACloud для редагування прикладів або створення власних схем

Теорема суперпозиції

МЕТОД ПОТЕНЦІЙНОГО УЗОРУ

Багато схем занадто складні, щоб їх вирішити, використовуючи правила для послідовних або паралельних схем або методи перетворення на більш прості схеми, описані в попередніх главах. Для цих схем потрібні більш загальні методи рішення. Найбільш загальний метод дається законами Кірхгофа, які дозволяють обчислювати всі напруги ланцюга і струми ланцюгів рішенням системи лінійних рівнянь.

Є два Закони Кірхгофа, закон напруги і поточний закон. Ці два закони можна використовувати для визначення всіх напруг і струмів ланцюгів.

Закон про напругу Кірхгофа (KVL) зазначає, що алгебраїчна сума напруги зростає і падіння напруги навколо петлі має бути дорівнює нулю.

Цикл у наведеному вище визначенні означає замкнутий шлях у ланцюзі; тобто шлях, який залишає вузол в одному напрямку і повертається до цього ж вузла з іншого напрямку.

У наших прикладах ми будемо використовувати напрямки за петлями за годинниковою стрілкою; однак такі ж результати будуть отримані, якщо буде використаний напрямок проти годинникової стрілки.

Для того, щоб застосовувати KVL без помилок, ми повинні визначити так званий опорний напрямок. Опорний напрямок невідомих напруг вказує від знаку + до - припущених напруг. Уявіть, що використовуєте вольтметр. Ви б розмістили позитивний зонд вольтметра (як правило, червоний) на довідковому + терміналі компонента. Якщо реальна напруга позитивна, вона буде в тому ж напрямку, що ми припускали, і наше рішення, і вольтметр покажуть позитивне значення.

Виводячи алгебраїчну суму напруг, ми повинні призначити знак плюс тим напругам, де опорний напрямок узгоджується з напрямком циклу, і негативні знаки в протилежному випадку.

Ще один спосіб викласти закон про напругу Кірхгофа: прикладена напруга послідовного ланцюга дорівнює сумі падіння напруги на елементах серії.

Наступний короткий приклад показує використання закону напруги Кірхгофа.

Знайдіть напругу на резисторі R_2, враховуючи, що джерело напруги, V_S = 100 В і що напруга на резисторі R₁є V₁ = 40 V.

На малюнку нижче можна створити за допомогою TINA Pro версії 6 та вище, в якій інструменти для малювання доступні в редакторі схем.

Рішення з використанням закону напруги Кірхгофа: -V_S + V₁ + V₂= 0, або V_S = V₁ + V₂

отже: V₂ = V_S - В.₁ = 100-40 = 60V

Зверніть увагу, що зазвичай ми не знаємо напруги резисторів (якщо тільки їх не вимірювати), і нам потрібно використовувати обидва закони Кірхгофа для рішення.

Чинний закон Кірхгофа (KCL) зазначає, що алгебраїчна сума всіх струмів, що входять і залишають будь-який вузол ланцюга, дорівнює нулю.

Далі ми даємо знак + струмам, що залишають вузол, і знак - струмам, що входять у вузол.

Ось основний приклад, що демонструє чинне законодавство Кірхгофа.

Знайти струм I₂ якщо джерело струму I_S = 12 A, і я₁ = 8 A.

Використання діючого закону Кірхгофа на обведеному вузлі: -I_S + Я₁ + Я₂ = 0, отже: I₂= I_S - Я₁ = 12 - 8 = 4 A, як ви можете перевірити за допомогою TINA (наступна цифра).

У наступному прикладі ми будемо використовувати обидва закони Кірхгофа плюс закон Ома для обчислення струму та напруги на резисторах.

На малюнку нижче ви помітите Стрілка напруги над резисторами. Це новий компонент, доступний у Версія 6 TINA і працює як вольтметр. Якщо ви з'єднаєте його через компонент, стрілка визначає опорний напрямок (для порівняння з вольтметром, уявіть, як розмістити червоний зонд у хвостовій частині стрілки, а чорний зонд на кінчику). При запуску аналізу постійного струму фактична напруга на компоненті відображатиметься на стрілці.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Для початку використання діючого закону Кірхгофа ми бачимо, що струми через усі компоненти однакові, тому позначимо цей струм через I.

Відповідно до закону про напругу Кірхгофа: V_S = V₁+V₂+V₃

Тепер, використовуючи закон Ома: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

А звідси струм ланцюга:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Нарешті напруги резисторів:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Ті ж результати будуть помічені і на стрілках напруги, просто запустивши інтерактивний аналіз постійного струму TINA.

У наступному, більш складному контурі, ми також використовуємо і закони Кірхгофа, і закон Ома, але ми виявляємо, що ми найбільше вирішуємо лінійну систему рівнянь.

Загальна кількість незалежних застосувань законів Кірхгофа в ланцюзі - це кількість гілок ланцюга, тоді як загальна кількість невідомих (струм і напруга кожної гілки) вдвічі більша. Однак, використовуючи також закон Ома на кожному резисторі і простими рівняннями, що визначають застосовувані напруги та струми, ми отримуємо систему рівнянь, де кількість невідомих однакова кількості рівнянь.

Знайдіть струми гілки I1, I2, I3 у схемі нижче.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Випливає набір рівнянь:

Вузлове рівняння для обведеного вузла:

- I₁- I₂- Я₃ = 0

або множення на -1

I₁+ I₂+ Я₃ = 0

Рівняння циклу (використовуючи напрямок за годинниковою стрілкою) для циклу L1, що містить V₁, Р₁ і R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

і для петлі L2, що містить V₂, Р₂ і R₃

I₃*R₃ - Я₂*R₂ +V₂ = 0

Підставляючи значення компонентів:

I₁+ Я₂+ Я₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ –20 * I₂ + 16 = 0

Експрес I₁ з використанням вузлового рівняння: I₁ = -I₂ - Я₃

потім підставляють його до другого рівняння:

-V₁- (я₂ + Я₃) * R₁ –I₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + Я₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Експрес I₂ і замініть його на третє рівняння, з якого ви вже можете обчислити I₃:

I₂ = - (V₁ + Я₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + Я₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

І: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Тому I₃ = - 0.25 А; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A та I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 А

Або: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 мА.

Тепер давайте розв’яжемо ті самі рівняння з перекладачем TINA:

{Рішення перекладача TINA}
Сис I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Рішення від Python
імпортувати numpy як np, sympy як s
#У нас лінійна система
#рівняння, які ми хочемо розв'язати:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
print(sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
# I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
# I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
# I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Нарешті перевіримо результати за допомогою TINA:

Далі давайте проаналізуємо наступну ще складнішу схему та визначимо її гілки струмів та напруг.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Позначимо невідомі напруги та струми, додавши до компонентів стрілки напруги та струму, а також покажемо петлі (L1, L2, L3) та вузли (N1, N2), де ми будемо використовувати рівняння Кірхгофа.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Ось набір Рівняння Кірхгофа для петель (за напрямком годинникової стрілки) та вузлів.

-I_L+ Я_R1- Я_s= 0(для N1)

- Я_R1+ Я_R2+ Я_s3 = 0 (для N2)

-V_s1- В._R3+ V_Is+ V_L = 0 (для L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (для L2)

-V_R2- В._s2+ V_s3 = 0 (для L3)

Застосування закону Ома:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Я_L*R₃

Це 9 невідомих і 9 рівнянь. Найпростіший спосіб вирішити це - використовувати засоби TINA

перекладач. Однак якщо нас натискають на використання ручних обчислень, зазначимо, що цей набір рівнянь можна легко звести до системи з 5 невідомих, замінивши останні 4 рівняння в рівняння циклу L1, L2, L3. Також, додаючи рівняння (L1) і (L2), ми можемо усунути V_Is, що зменшує проблему до системи рівнянь 4 для невідомих 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Коли ми знайшли ці струми, ми можемо легко визначити V_L, V_R1, V_R2, і V_R3 використовуючи останні чотири рівняння (закон Ома).

Підставляючи V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ Я_R1- Я_s= 0(для N1)

- Я_R1+ Я_R2+ Я_s3 = 0 (для N2)

-V_s1+ Я_L*R₃+ V_Is+ Я_L*R_L = 0 (для L1)

-V_Is+ V_s2 + Я_R2*R₂+ Я_R1*R₁ = 0 (Для L2)

- Я_R2*R₂- В._s2+ V_s3 = 0 (для L3)

Додавання (L1) і (L2) ми отримуємо

-I_L+ Я_R1- Я_s= 0(для N1)

- Я_R1+ Я_R2+ Я_s3 = 0 (для N2)

-V_s1+ Я_L*R₃+ Я_L*R_L + V_s2 + Я_R2*R₂+ Я_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Я_R2*R₂- В._s2+ V_s3 = 0 (для L3)

Після підстановки значень компонентів рішення цих рівнянь надходить легко.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (для N1)

-I_R1 + Я_R2 + Я_S3 = 0 (для N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (Л₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (для L₃)

від L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

від N₂ I_S3 - Я_R1 = - 5.25 (II),

від L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

і для N₁ I_R1 - Я_L = 2 (IV)

Помножте (IV) на –30 і додайте до (III) 140 I_L = -210 отже I_L = - 1.5 А

Замініть I_L в (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

і я_R1 в (II), I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

І напруги: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Я_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 В; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Рішення вихідних рівнянь Інтерпретатором TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Рішення від Python
#Ax=b
імпортувати numpy як np, sympy як s
#Символове рішення за допомогою numpy.solve
#Рівняння:
#IL=-Є+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Розв'язати:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Є+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
print(sol)

#Інший метод вирішення за допомогою numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Розв’язання скороченого набору рівнянь за допомогою інтерпретатора:

{Рішення скороченого набору рівнянь Інтерпретатором TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Ми також можемо ввести вирази для напруг і попросити перекладача TINA обчислити їх:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Ми можемо перевірити результат за допомогою TINA, просто включивши інтерактивний режим постійного струму TINA або використовуючи аналіз / аналіз постійного струму / вузлові напруги

Теорема суперпозиції

МЕТОД ПОТЕНЦІЙНОГО УЗОРУ