Натисніть або торкніться прикладної схеми нижче, щоб викликати TINACloud і вибрати режим інтерактивного постійного струму для аналізу в Інтернеті.
Отримайте низький доступ до TINACloud для редагування прикладів або створення власних схем

Повний набір рівнянь Кірхгофа можна значно спростити методом потенціалу вузла, описаним у цій главі. За допомогою цього методу закон напруги Кірхгофа виконується автоматично, і нам потрібно лише записати рівняння вузлів, щоб задовольнити поточний закон Кірхгофа. Задоволення закону напруги Кірхгофа досягається за допомогою використання потенціалів вузлів (також званих вузловими або вузловими напругами) щодо конкретного вузла, який називається посилання вузол. Іншими словами, всі напруги в ланцюзі відносні до довідковий вузол, який зазвичай вважається потенціалом 0. Неважко помітити, що за допомогою цих визначень напруги закон напруги Кірхгофа виконується автоматично, оскільки запис рівнянь циклу з цими потенціалами призводить до ідентичності. Зверніть увагу, що для схеми, що має N вузлів, слід писати лише рівняння N - 1. Зазвичай рівняння вузла для еталонного вузла не використовується.

Сума всіх струмів у ланцюзі дорівнює нулю, оскільки кожен струм тече в вузол і виходить з нього. Тому рівняння N-го вузла не є незалежним від попередніх рівнянь N-1. Якби ми включили всі N рівнянь, у нас була б нерозв’язна система рівнянь.

Метод потенціалу вузла (також званий вузловим аналізом) - це метод, який найкраще підходить для комп'ютерних програм. Більшість програм аналізу схем - включаючи TINA - засновані на цьому методі.

Етапи вузлового аналізу:

1. Виберіть опорний вузол з 0 потенціалом вузла та позначте кожен залишився вузол V₁, V₂ or j₁, j₂і так далі.

2. Застосувати поточний закон Кірхгофа на кожному вузлі, крім опорного вузла. Використовуйте закон Ома для вираження невідомих струмів від потенціалів вузла та напруги джерела напруги, коли це необхідно. Для всіх невідомих струмів припустімо однаковий опорний напрямок (наприклад, вказуючи на вузол) для кожного застосування чинного закону Кірхгофа.

3. Вирішіть отримані рівняння вузлів для вузла напруги.

4. Визначте будь-який запитуваний струм або напругу в ланцюзі, використовуючи напруги вузла.

Проілюструємо крок 2, написавши рівняння вузла для вузла V₁ наступного фрагмента ланцюга:

Спочатку знайдіть струм від вузла V1 до вузла V2. Ми будемо використовувати закон Ома в R1. Напруга на R1 - V₁ - В.₂ - В._S1

А струм через R1 (і від вузла V1 до вузла V2) є

Зауважте, що цей струм має опорний напрямок, що вказує на V₁ вузол. Використовуючи конвенцію для струмів, що вказують на вузол, його слід враховувати в рівнянні вузла з позитивним знаком.

Поточний вираз гілки між V₁ і V₃ буде подібним, але оскільки V_S2 знаходиться в протилежному напрямку від V_S1 (що означає потенціал вузла між V_S2 і R₂ є V₃-V_S2), струм є

Нарешті, через вказаний опорний напрямок я_S2 повинен мати позитивний знак і я_S1 знак негативного рівняння у вузлі.

Рівняння вузла:

Тепер давайте подивимось повний приклад для демонстрації використання методу потенціалу вузла.

Знайдіть напругу V та струми через резистори в ланцюзі нижче

Чисельно:

Помножити на 30: 7.5 + 3 В - 30 + 1.5 В + 7.5. + В - 40 = 0 5.5 V - 55 = 0

Звідси: V = 10 V

Тепер визначимо струми через резистори. Це легко, оскільки ті самі струми використовуються в вузловому рівнянні вище.

Ми можемо перевірити результат за допомогою TINA, просто включивши інтерактивний режим постійного струму TINA або скориставшись командою Analysis / DC Analysis / Nodal Voltings.

Далі давайте вирішимо проблему, яка вже використовувалася як останній приклад Закони Кірхгофа главу

Знайдіть напруги і струми кожного елемента контуру.

Вибираючи нижній вузол як опорний вузол 0 потенціалу, вузлова напруга N₂ буде дорівнювати V_S3,: j₂ = тому у нас є лише одна невідома вузлова напруга. Ви можете пам’ятати, що раніше, використовуючи повний набір рівнянь Кірхгофа, навіть після деяких спрощень у нас була лінійна система рівнянь із 4 невідомих.

Запис рівнянь вузла для вузла N₁, позначимо вузлову напругу N₁ by j₁

Просте рівняння для вирішення:

Чисельно:

Помножити на 330, ми отримаємо:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

Після розрахунку j_1, легко обчислити інші величини в ланцюзі.

Струми:

I_S3 = I_R1 - Я_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 А

І напруги:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - В._S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - В._S2) = 270 - 60 = 210 В

V_L = - ((j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 В

Ви можете зауважити, що для методу потенціалу вузла вам все ще потрібен додатковий розрахунок для визначення струмів і напруг ланцюга. Однак ці обчислення дуже прості, набагато простіші, ніж рішення лінійних рівнянь рівнянь для всіх величин ланцюга одночасно.

Ми можемо перевірити результат за допомогою TINA, просто включивши інтерактивний режим постійного струму TINA або скориставшись командою Analysis / DC Analysis / Nodal Voltings.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Подивимося далі.

Приклад 1

Знайти поточну І.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

У цій схемі є чотири вузли, але оскільки у нас є ідеальне джерело напруги, яке визначає напругу вузла на його позитивному полюсі, слід обрати його негативний полюс як опорний вузол. Тому у нас дійсно є лише два невідомих потенціала вузла: j₁ та j₂ .

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

Рівняння для вузлів потенціалів j₁ та j₂:

Чисельно:

тому система лінійних рівнянь:

Щоб вирішити це, помножте перше рівняння на 3, а друге на 2, а потім додайте два рівняння:

11j₁ = 220

і отже j₁= 20V, j₂ = (50 + 5j₁) / 6 = 25 В

Нарешті, невідомий струм:

Розв’язання системи лінійних рівнянь можна також обчислити, використовуючи Правило Крамера.

Давайте проілюструємо використання правила Крамера, вирішивши систему вище заново ..

1. Заповніть матрицю коефіцієнтів невідомих:

2. Розрахуйте значення детермінант матриці D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Помістіть значення правої сторони в стовпці коефіцієнтів невідомої змінної, потім обчисліть значення детермінанта:

4.Divide нещодавно знайдені детермінанти від початкового детермінанта, щоб знайти наступні співвідношення:

Звідси j₁ = 20 V та j₂ = 25 V

Щоб перевірити результат за допомогою TINA, просто увімкніть інтерактивний режим постійного струму TINA або скористайтесь командою Analysis / DC Analysis / Nodal Voltings. Зауважте, що за допомогою Напруга контактний Компонент TINA, ви можете безпосередньо показати потенціали вузла, припускаючи, що Земля компонент підключений до опорного вузла.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

{Рішення перекладача TINA}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
end;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Рішення від Python!
імпортувати numpy як n
#У нас є система
#лінійні рівняння, що
#ми хочемо вирішити fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Складіть матрицю коефіцієнтів:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Складіть матрицю констант:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(“I= %.3f”%I)

Приклад 2.

Знайти напругу резистора R₄.

R₁ = R₃ = 100 ом, R₂ = R₄ = 50 ом, R₅ = 20 ом, R₆ = 40 ом, R₇ = 75 ом

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

У цьому випадку практично вибирати негативний полюс джерела напруги V_S2 як опорний вузол, оскільки тоді позитивний полюс V_S2 джерело напруги буде мати V_S2 = 150 потенційних можливостей вузла. Однак через цей вибір необхідна напруга V протилежна напрузі вузла вузла N_4; тому V₄ = - В.

Рівняння:

Тут ми не представляємо ручних обчислень, оскільки рівняння можуть бути легко вирішені перекладачем TINA.

{Рішення перекладача TINA}
{Використовуйте метод потенціалу вузла!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
end;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Рішення від Python!
імпортувати numpy як n
#Використовуйте метод потенціалу вузла!
#У нас є система лінійних рівнянь, яку ми хочемо розв’язати
#для V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Складіть матрицю коефіцієнтів:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Складіть матрицю констант:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(“V= %.4f”%V)

Щоб перевірити результат, TINA просто увімкніть інтерактивний режим постійного струму TINA або скористайтесь командою Analysis / DC Analysis / Nodal Vol Vols. Зауважте, що нам потрібно розмістити кілька штифтів напруги на вузлах, щоб показати напруги вузла.

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

---