Натисніть або торкніться прикладної схеми нижче, щоб викликати TINACloud і вибрати режим інтерактивного постійного струму для аналізу в Інтернеті.
Отримайте низький доступ до TINACloud для редагування прикладів або створення власних схем

ПОДВІДНІ ІНДУКТОРИ

ПЛАТИ БОДА

Команда Теорема Фур'є стверджує, що будь-яка періодична форма хвилі може бути синтезована шляхом додавання відповідно зважених синусоїдальних і косинусних термінів різних частот. Теорема добре висвітлена в інших підручниках, тому ми лише узагальнимо результати та покажемо деякі приклади.

Нехай наша періодична функція буде f (t) = f (t ±nT) де T - час одного періоду, а n - ціле число.

w₀= 2p/ Т основна кутова частота.

За Теорема Фур'є, періодичну функцію можна записати у вигляді такої суми:

де

A_n і B_n є Коефіцієнти Фур'є і сума є Ряди Фур'є.

Ще одна форма, напевно, трохи практичніша:

де

A₀ = C₀ - значення постійного струму або середнє значення, A₁, У₁ і С₁ є основними складовими, а інші - гармонічними термінами.

Хоча для наближення деяких форм сигналів може знадобитися лише кілька термінів, для інших знадобиться багато термінів.

Як правило, чим більше включених термінів, тим краще наближення, але для форм хвиль, що містять етапи, такі як прямокутні імпульси, Явище Гіббса вступає в гру. Зі збільшенням кількості термінів перебіг концентрується з дедалі меншим періодом часу.

An функція f (t) = f (-t) (симетрія осі) вимагає лише косинусних доданків.

An непарна функція f (t) = - f (-t) (точкова симетрія) вимагає лише синусоїдів.

Форма сигналу з дзеркальна або півхвильова симетрія має тільки непарний гармоніки в його зображенні Фур'є.

Тут ми не будемо мати справу з розширенням ряду Фур'є, а будемо використовувати лише задану суму синусів і косинусів як збудження для ланцюга.

У попередніх розділах цієї книги ми розглядали синусоїдальне збудження. Якщо схема лінійна, то теорема про суперпозицію є дійсним. Для мережі з несинусоїдальним періодичним збудженням суперпозиція дозволяє нам обчислюють струми та напруги, обумовлені кожним синусоїдним терміном Фур'є, по одному. Коли все обчислено, ми нарешті підсумуємо гармонічні компоненти відповіді.

Визначити різні терміни періодичних напруг і струмів дещо складніше і, фактично, це може спричинити перевантаження інформації. На практиці ми хотіли б просто зробити вимірювання. Ми можемо виміряти різні гармонічні терміни, використовуючи a гармонічний аналізатор, спектральний аналізатор, хвильовий аналізатор або аналізатор Фур'є. Все це складні і, ймовірно, дають більше даних, ніж потрібно. Іноді достатньо описати періодичний сигнал лише середніми його значеннями. Але є кілька видів середніх вимірів.

СЕРЕДНЯ ЗНАЧЕННЯ

Просте середнє or DC Термін розглядався в представленні Фур'є як A₀

Цей середній показник можна виміряти за допомогою таких інструментів, як Deprez Інструменти постійного струму.

Ефективне значення or rms (середній квадрат кореня) має таке визначення:

Це найважливіше середнє значення, оскільки тепло, що розсіюється в резисторах, пропорційне ефективній величині. Багато цифрових і деякі аналогові вольтметри можуть вимірювати ефективне значення напруг і струмів.

Абсолютна середня

Це середнє значення вже не важливе; раніше інструменти вимірювали цю форму середнього.

Якщо ми знаємо подання Фур'є у формі хвилі напруги чи струму, ми можемо також обчислити середні значення наступним чином:

Просте середнє or DC Термін розглядався в представленні Фур'є як A₀ = C₀

Ефективне значення or rms (середньоквадратичний квадрат) після інтеграції ряду Фур'є напруги:

Команда Клірр фактор є дуже важливим співвідношенням середніх значень:

Це відношення ефективного значення вищих гармонічних термінів до ефективного значення основної гармоніки:

Здається, тут є суперечність - ми вирішуємо мережу з точки зору гармонійних компонентів, але вимірюємо середні величини.

Проілюструємо метод простими прикладами:

Приклад 1

Знайдіть функцію часу та ефективне (rms) значення напруги v_C(Т)

Натисніть / торкніться вищезазначеної схеми, щоб проаналізувати он-лайн або натисніть це посилання, щоб зберегти під Windows

якщо R = 5 ом, C = 10 mF і v (t) = (100 + 200 cos (w₀t) + 30 cos (3 w₀t - 90 °)) V, де основна кутова частота становить w₀= 30 krad / s.

Спробуйте використати теорему суперпозиції для вирішення задачі.

Перший крок - знайти функцію передачі як функцію частоти. Для простоти використовуйте підстановку: s = j w

Тепер замініть значення компонентів і s = jk w₀де k = 0; 1; 3 в цьому прикладі і w₀= 30 krad / s. У V, A, ом, mОдиниці F і Mrad / s:

Для організації етапів чисельного рішення корисно використовувати таблицю:

k	W (jk) =
0
1
3

Ми можемо узагальнити етапи рішення суперпозиції в іншій таблиці. Як ми вже бачили, щоб знайти комплексне пікове значення компонента, нам слід помножити комплексне пікове значення компонента збудження на значення складної функції передачі:

k	V	W	V_Ck
0	100	1	100
1	200	0.55e^-j56.3^°	110e^-j56.3^°
3	30e^-j90^°	0.217e^-j77.5^°	6.51e^-j167.5^°

І нарешті, ми можемо дати функцію часу, знаючи складні пікові значення компонентів:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

Rms (ефективне) значення напруги:

Як бачите, вимірювальний прилад TINA вимірює це середньоквадратичне значення.

Приклад 2

Знайдіть функцію часу та ефективне (rms) значення поточного i (t)

якщо R = 5 ом, C = 10 mF і v (t) = (100 + 200 cos (w₀t) + 30 cos (3w₀t - 90 °)) V, де дорівнює основна кутова частота w₀= 30 krad / s.

Спробуйте вирішити задачу за допомогою теореми про суперпозицію.

Етапи рішення подібні до Прикладу 1, але функція передачі відрізняється.

Тепер замініть числові значення і s = jk w_0,де k = 0; 1; 3 в цьому прикладі.

У V, A, ом, mОдиниці F і Mrad / s:

Корисно використовувати таблицю під час числового рішення:

k	W (jk) =
0
1
3

Ми можемо узагальнити етапи суперпозиції в іншій таблиці. Як ми вже бачили, щоб знайти пікове значення компонента, нам слід помножити комплексне пікове значення компонента збудження на значення складної функції перенесення. Використовуйте складні пікові значення компонентів збудження:

k	V_Sk	W(jk)	I_k
0	100	0	0
1	200	0.162 е^j33.7^°	32.4 е^j33.7^°
3	30 е^-j90^°	0.195 е^j12.5^°	5.85 е^-j77.5^°

І нарешті, знаючи складні пікові значення компонентів, ми можемо констатувати функцію часу:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [A]

Tзначення rms струму:

Часто ви можете зробити перевірку стану здоров'я на частину рішення. Наприклад, конденсатор може мати напругу постійного струму, але не постійний струм.

Приклад 3

Отримайте функцію часу напруги V_ab if R₁= 12 ом, R₂ = 14 Ом, L = 25 мГн, і