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Abbiamo già mostrato come i metodi elementari di analisi dei circuiti CC possono essere estesi e utilizzati nei circuiti CA per risolvere i valori di picco o effettivi complessi di tensione e corrente e impedenza o ammettenza complessa. In questo capitolo, risolveremo alcuni esempi di divisione di tensione e corrente nei circuiti CA.
esempio 1
Trova le tensioni v1(t) e v2(t), dato che vs(T)= 110cos (2p50t).
Otteniamo prima questo risultato calcolando manualmente utilizzando la formula della divisione della tensione.
Il problema può essere considerato come due impedenze complesse in serie: l'impedenza del resistore R1, Z1=R1 ohm (che è un numero reale) e l'impedenza equivalente di R2 e io2 in serie, Z2 = R2 + j w L2.
Sostituendo le impedenze equivalenti, il circuito può essere ridisegnato in TINA come segue:
Si noti che abbiamo utilizzato un nuovo componente, un'impedenza complessa, ora disponibile in TINA v6. È possibile definire la dipendenza in frequenza di Z mediante una tabella che è possibile raggiungere facendo doppio clic sul componente di impedenza. Nella prima riga della tabella è possibile definire l'impedenza CC o un'impedenza complessa indipendente dalla frequenza (qui abbiamo fatto quest'ultima, per l'induttore e la resistenza in serie, alla frequenza data).
Utilizzando la formula per la divisione della tensione:
V1 = Vs*Z1 / (Z1 + Z2)
V2 = Vs*Z2 / (Z1 + Z2)
Numericamente:
Z1 = R1 = 10 ohm
Z2 = R2 + j w L = 15 + j 2*p* 50 * 0.04 = 15 + j ohm 12.56
V1= 110 * 10 / (25+j12.56) = 35.13-j17.65 V = 39.31 e -j26.7 ° V
V2= 110 * (15+j12.56) / (25 +j12.56) = 74.86 +j17.65 V = 76.92 e j 13.3° V
La funzione temporale delle tensioni:
v1(t) = 39.31 cos (wt - 26.7°) V
v2(t) = 76.9 cos (wt + 13.3°) V
Controlliamo il risultato con TINA usando Analisi / Analisi AC / Calcola nodale tensioniV1
V2
Quindi controlliamo questi risultati con l'interprete di TINA:
f: = 50;
om: = 2 * pi * f;
VS: = 110;
v1:=VS*R1/(R1+R2+j*om*L2);
v2:=VS*(R2+j*om*L2)/(R1+R2+j*om*L2);
v1 = [35.1252-17.6559 * j]
v2 = [74.8748 + 17.6559 * j]
abs (v2) = [76.9283]
radtodeg (arco (v2)) = [13.2683]
abs (v1) = [39.313]
radtodeg (arco (v1)) = [- 26.6866]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
f = 50
om=2*c.pi*f
VS=110
v1=VS*R1/complex(R1+R2,om*L2)
v2=VS*complex(R2,om*L2)/complex(R1+R2,om*L2)
print("v1=",cp(v1))
print("v2=",cp(v2))
print("abs(v1)= %.4f"%abs(v1))
print("gradi(arco(v1))= %.4f"%m.gradi(c.phase(v1)))
print("abs(v2)= %.4f"%abs(v2))
print(“arc(v2)*180/pi= %.4f”%(c.phase(v2)*180/c.pi))
Si noti che quando si utilizza l'interprete non è stato necessario dichiarare i valori dei componenti passivi. Questo perché stiamo utilizzando l'interprete in una sessione di lavoro con TINA in cui lo schema è nell'editor di schemi. L'interprete di TINA cerca in questo schema la definizione dei simboli dei componenti passivi inseriti nel programma Interprete.
Infine, utilizziamo il diagramma a fasi di TINA per dimostrare questo risultato. Collegamento di un voltmetro al generatore di tensione, selezionando il Analisi / Analisi AC / Diagramma di fase Il comando, l'impostazione degli assi e l'aggiunta delle etichette produrrà il seguente diagramma. Nota che Visualizza / Stile etichetta vettoriale è stato impostato su Ampiezza per questo diagramma.
Lo schema mostra che Vs è la somma dei phaser V1 ed V2, Vs = V1 + V2.
Spostando i phaser possiamo anche dimostrarlo V2 è la differenza tra Vs ed V1, V2 = Vs - V1.
Questa figura mostra anche la sottrazione dei vettori. Il vettore risultante dovrebbe iniziare dalla punta del secondo vettore, V1.
In modo simile possiamo dimostrarlo V1 = Vs - V2. Di nuovo, il vettore risultante dovrebbe iniziare dalla punta del secondo vettore, V1.
Naturalmente, entrambi i diagrammi di fasore possono essere considerati come un semplice diagramma di regole a triangolo per Vs = V1 + V2 .
I diagrammi dei fasori sopra mostrano anche la legge della tensione di Kirchhoff (KVL).
Come abbiamo appreso nel nostro studio sui circuiti CC, la tensione applicata di un circuito in serie è uguale alla somma delle cadute di tensione attraverso gli elementi della serie. I diagrammi di fase dimostrano che KVL è vero anche per i circuiti AC, ma solo se utilizziamo phaser complessi!
esempio 2
In questo circuito, R1 rappresenta la resistenza CC della bobina L; insieme modellano un induttore del mondo reale con la sua componente di perdita. Trova la tensione attraverso il condensatore e la tensione attraverso la bobina del mondo reale.
L = 1.32 h, R1 = 2 kohms, R2 = 4 kohms, C = 0.1 mF, vS(t) = 20 cos (wt) V, f = 300Hz.
V2
Risolvere a mano usando la divisione della tensione:
= 13.91 e j 44.1° V
ed
v1(t) = 13.9 cos (w ×t + 44°) V
= 13.93 e -j 44.1° V
ed
v2(t) = 13.9 cos (w ×t - 44.1°) V
Si noti che a questa frequenza, con questi valori dei componenti, le magnitudini delle due tensioni sono quasi le stesse, ma le fasi sono di segno opposto.
Ancora una volta, lasciamo che TINA faccia il noioso lavoro risolvendo per V1 e V2 con l'interprete:
om: = 600 * pi;
V: = 20;
v1:=V*(R1+j*om*L)/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v1) = [13.9301]
180 * arco (v1) / pi = [44.1229]
v2:=V*(replus(R2,1/j/om/C))/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v2) = [13.9305]
180 * arco (v2) / pi = [- 44.1211]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
#Definisci replus utilizzando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=600*c.pi
V = 20
v1=V*complex(R1,om*L)/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
print("abs(v1)= %.4f"%abs(v1))
print(“180*arc(v1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v1)/c.pi))
v2=V*complex(Replus(R2,1/1j/om/C))/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
print("abs(v2)= %.4f"%abs(v2))
print(“180*arc(v2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v2)/c.pi))
E infine, dai un'occhiata a questo risultato usando il diagramma a fasi di TINA. Collegando un voltmetro al generatore di tensione, invocando il Analisi / Analisi AC / Diagramma di fase comando, impostazione degli assi e aggiunta delle etichette produrrà il seguente diagramma (nota che abbiamo impostato Visualizza / Stile etichetta vettoriale a Reale + j * Imag per questo diagramma):
esempio 3
L'attuale fonte iS(t) = 5 cos (wt) A, la resistenza R = 250 mohm, l'induttore L = 53 uH e la frequenza f = 1 kHz. Trova la corrente nell'induttore e la corrente nel resistore.
Utilizzando la formula per la divisione corrente:
iR(t) = 4 cos (w ×t + 37.2°) A
Allo stesso modo:
iL(t) = 3 cos (w ×t - 53.1°)
E usando l'interprete in TINA:
om: = 2 * pi * 1000;
è: = 5;
iL: = è * R / (R + j * om * L);
IL = [1.8022-2.4007 * j]
iR: = è * j * * om L / (R + j * om * L);
iR = [3.1978 + 2.4007 * j]
abs (Il) = [3.0019]
radtodeg (arco (IL)) = [- 53.1033]
abs (iR) = [3.9986]
radtodeg (arco (iR)) = [36.8967]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=2*c.pi*1000
i = 5
iL=i*R/complesso(R+1j*om*L)
print("iL=",cp(iL))
iR=complesso(i*1j*om*L/(R+1j*om*L))
print("iR=",cp(iR))
print("abs(iL)= %.4f"%abs(iL))
print("gradi(arco(iL))= %.4f"%m.gradi(c.phase(iL)))
print("abs(iR)= %.4f"%abs(iR))
print("gradi(arco(iR))= %.4f"%m.gradi(c.phase(iR)))
Possiamo anche dimostrare questa soluzione con un diagramma a fasi:
Il diagramma dei fasori mostra che la corrente del generatore IS è il vettore risultante delle correnti complesse IL e IR. Dimostra anche la legge attuale di Kirchhoff (KCL), mostrando che la corrente IS che entra nel nodo superiore del circuito è uguale alla somma di IL e IR, le correnti complesse che lasciano il nodo.
esempio 4
Determinare i0(T), i1(t) e i2(T). I valori dei componenti e la tensione, la frequenza e la fase della sorgente sono indicati nello schema seguente.
i0
i1
i2
Nella nostra soluzione, utilizzeremo il principio della divisione attuale. Innanzitutto troviamo l'espressione per la corrente totale i0:
I0M = 0.315 e j 83.2° A ed i0(t) = 0.315 cos (w ×t + 83.2°) A
Quindi, usando la divisione corrente, troviamo la corrente nel condensatore C:
I1M = 0.524 e j 91.4° A ed i1(t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) A
E la corrente nell'induttore:
I2M = 0.216 e-j 76.6° A ed i2(t) = 0.216 cos (w ×t - 76.6°) A
Con anticipazione, cerchiamo conferma dei nostri calcoli manuali utilizzando l'interprete di TINA.
V: = 10;
om: = 2 * pi * 1000;
I0: = V / ((1 / j / om / C1) + replus ((1 / j / om / C), (R + j * om * L)));
I0 = [37.4671m + 313.3141m * j]
abs (I0) = [315.5463m]
180 * arco (I0) / pi = [83.1808]
I1: = I0 * (R + j * om * L) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I1 = [- 12.489m + 523.8805m * j]
abs (I1) = [524.0294m]
180 * arco (I1) / pi = [91.3656]
I2: = I0 * (1 / j / om / C) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I2 = [49.9561m-210.5665m * j]
abs (I2) = [216.4113m]
180 * arco (I2) / pi = [- 76.6535]
{Controllo: I1 + I2 = I0}
abs (+ I1 I2) = [315.5463m]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
#Per prima cosa definisci il replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
V = 10
om=2*c.pi*1000
I0=V/complex((1/1j/om/C1)+Replus(1/1j/om/C,R+1j*om*L))
print("I0=",cp(I0))
print("abs(I0)= %.4f"%abs(I0))
print(“180*arc(I0)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I0)/c.pi))
I1=I0*complex(R,om*L)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
print("I1=",cp(I1))
print("abs(I1)= %.4f"%abs(I1))
print(“180*arc(I1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I1)/c.pi))
I2=I0*complex(1/1j/om/C)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
print("I2=",cp(I2))
print("abs(I2)= %.4f"%abs(I2))
print(“180*arc(I2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I2)/c.pi))
#Controllo: I1+I2=I0
print(“abs(I1+I2)= %.4f”%abs(I1+I2))
Un altro modo per risolvere questo sarebbe quello di trovare prima la tensione attraverso l'impedenza complessa parallela di ZLR e ZC. Conoscendo questa tensione, potremmo trovare le correnti i1 e io2 dividendo quindi prima questa tensione per ZLR e poi da ZC. Mostreremo poi la soluzione per la tensione attraverso l'impedenza complessa parallela di ZLR e ZC. Dovremo utilizzare il principale della divisione di tensione lungo il percorso:
VRLCM = 8.34 e j 1.42° V
ed
IC = I1= VRLCM*jwC = 0.524 e j 91.42° A
e quindi
iC (t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) UN.
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